知识学习等比数列教案.docx

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知识学习等比数列教案

等比数列教案

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　　2．3.1　等比数列

　　整体设计

　　教学分析　　　

　　等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，包括定义、性质、通项公式等，两个数的等差中项、两种数列在函数角度下的解释等，因此在教学时要充分利用类比的方法，以便于弄清它们之间的联系与区别．

　　等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，这是本节的中心思想方法．本节首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图象，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用．

　　等比数列概念的引入，可按教材给出的几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义．也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，由此对比地概括等比数列的定义．根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解．启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征联想到指数函数进而画出数列的图象．

　　由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，充分利用类比思想，教师只需把握课堂的节奏，真正作为一节课的组织者、引导者出现，充分发挥学生的主体作用．

　　大量的数学思想方法渗透是本章的特色，如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教学中要充分体现这些重要的数学思想方法，所有能力的体现最终归结为数学思想方法的体现．

　　三维目标　　　

　　．通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系．

　　2．通过现实生活中大量存在的数列模型，让学生充分感受到数列是反映现实生活的模型，体会数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，达到提高学生学习兴趣的目的．

　　3．通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯和严谨的科学态度．体会探究过程中的主体作用及探究问题的方法，经历解决问题的全过程．

　　重点难点　　　

　　教学重点：

掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导．

　　教学难点：

灵活应用等比数列的定义及通项公式解决相关问题，在具体问题中抽象出等比数列模型及掌握重要的数学思想方法．

　　课时安排　　　

　　2课时

　　教学过程

　　第1课时

　　导入新课　　　

　　思路1.将一张厚度为0.044mm的白纸一次又一次地对折，如果对折1000次，纸的厚度将是4.4×10296m，相当于约5.0×10292个珠穆朗玛峰的高度和，这可能吗？

但是一位数学家曾经说过：

你如果能将一张报纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．将一张报纸对折会有那么大的厚度吗？

这就是我们今天要解决的问题，让学生带着这大大的疑问来展开新课．

　　思路2.先给出四个数列：

　　,2,4,8,16，……

　　，－1,1，－1,1，……

　　－4,2，－1，……

　　,1,1,1,1，……

　　由学生自己去探究这四个数列，每个数列相邻两项之间有什么关系？

这四个数列有什么共同点？

让学生观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同？

由此引入新课．

　　推进新课　　　

　　新知探究[:

Z]

　　提出问题

　　1回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导方法.

　　2阅读课本本节内容的①②③3个背景实例，领会三个实例所传达的思想，写出由3个实例所得到的数列.

　　3观察数列①②③，它们有什么共同的特征？

你能再举出2个与其特征相同的数列吗？

　　4类比等差数列的定义，怎样用恰当的语言给出等比数列的定义？

[:

Z]

　　5类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？

它与等差中项有什么不同？

　　6你能举出既是等差数列又是等比数列的例子吗？

　　7类比等差数列通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？

　　8类比等差数列通项公式与一次函数的关系，你能说明等比数列的通项公式与指数函数的关系吗？

　　活动：

教师引导学生回忆等差数列概念的学习过程，指导学生阅读并分析教科书中给出的3个实例．

　　引导学生发现数列①②③的共同特点：

　　对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2；

　　对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于3；

　　对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于－12.

　　也就是说，这些数列有一个共同的特点：

从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数，这里仍是后项比前项，而不是前项比后项，具有这样特点的数列我们称之为等比数列．让学生类比等差数列给出等比数列的定义：

　　一般地，如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．

　　这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示，显然q≠0，上面的三个数列都是等比数列，公比依次是2,3，－12.

　　①给出等比数列的定义后，让学生尝试用递推公式描述等比数列的定义，即a1＝a，an＋1＝an•q．

　　②再让学生思考既是等差数列，又是等比数列的数列存在吗？

学生思考后很快会举出1,1,1，…既是等比数列也是等差数列，其公比为1，公差为0.

　　教师可再提出：

常数列都是等比数列吗？

让学生充分讨论后可得出0,0,0，…是常数列，但不是等比数列．

　　③至此，学生已经清晰了等比数列的概念，比如，从等比数列定义知，等比数列中的任意一项不为零，公比可以为正，可以为负，但不能为0.

　　④类比等差中项的概念，我们可得出等比中项的概念：

如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项．如果G是x和y的等比中项，那么Gx＝yG，即G2＝xy，G＝±ab.因此同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，一个正数和一个负数没有等比中项．显然，在一个等比数列中，从第2项起，每一项都是它的前一项与后一项的等比中项；反之，如果一个数列从第2项起，每一项都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列是等比数列．

　　演示：

不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程：

　　a2＝a1＋d，

　　a3＝a2＋d＝＋d＝a1＋2d，

　　a4＝a3＋d＝＋d＝a1＋3d，

　　……

　　归纳得到an＝a1＋d.

　　类比这个过程，可得等比数列通项公式的归纳过程如下：

　　a2＝a1q，

　　a3＝a2q＝q＝a1q2，

　　a4＝a3q＝q＝a1q3，

　　……

　　归纳得到an＝a1qn－1.

　　这样做可以帮助学生体会归纳推理对于发现新的数学结论的作用．这个结论的正确性可用后面的数学归纳法进行严格证明，现在我们先承认它．

　　下面我们再类比等差数列，探究推导等比数列通项公式的其他方法：

　　∵{an}是等比数列，

　　∴anan－1＝q，an－1an－2＝q，an－3an－4＝q，…，a2a1＝q.

　　把以上n－1个等式两边分别乘到一起，即叠乘，则可得到

　　ana1＝qn－1，

　　于是得到an＝a1qn－1.

　　对于通项公式，教师引导学生明确这样几点：

　　不要把公式错误地写成an＝a1qn.

　　对公比q，要和等差数列的公差一样，强调“从第2项起，每一项与它的前一项的比”，不要把相邻两项的比的次序颠倒，且公比q可以为正，可以为负，但不能为0.

　　在等比数列a，aq，aq2，aq3，…中，当a＝0时，一切项都等于0；当q＝0时，第二项以后的项都等于0，这不符合等比数列的定义．因此等比数列的首项和公比都不能为0.

　　类比等差数列中d＞0，d＜0时的情况，若q＞0，则相邻两项符号同号，若q＜0，则各项符号异号；若q＝1，则等比数列为非零常数列；若q＝－1，则为如2，－2,2，－2，…这样的数列；若|q|＜1，则数列各项的绝对值递减．

　　最后让学生完成下表，从定义、通项公式比较等差数列、等比数列的异同，加深概念的理解．

　　等差数列

　　等比数列

　　定义

　　从第2项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数

　　从第2项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数

　　首项、公差取值有无限制

　　没有任何限制

　　首项、公比都不能为0

　　通项公式

　　an＝a1＋d

　　an＝a1qn－1

　　讨论结果：

～略．

　　等比数列定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．

　　并不是所有的两个数都有等比中项．

　　除0外的常数列既是等差数列，又是等比数列．

　　略．

　　应用示例

　　例1由下面等比数列的通项公式，求首项与公比．

　　an＝2n；

　　an＝14•10n.

　　活动：

本例的目的是让学生熟悉等比数列的概念及通项公式，可由学生口答或互相提问．

　　解：

an＝2•2n－1，

　　∴a1＝2，q＝2.

　　∵an＝14•10•10n－1，

　　∴a1＝14×10＝52，q＝10.

　　点评：

可通过通项公式直接求首项，再求公比．如中，a1＝21＝2，a2＝22＝4，∴q＝2.

　　[:

Z]

　　变式训练

　　　设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则2a1＋a22a3＋a4的值为

　　A.14

　　B.12

　　c.18

　　D．1

　　答案：

A

　　解析：

由题意，知a2＝a1q＝2a1，a3＝a1q2＝4a1，a4＝a1q3＝8a1，

　　∴2a1＋a22a3＋a4＝2a1＋2a18a1＋8a1＝14.

　　例2

　　活动：

本例是等比数列通项公式的灵活运用，可让学生自己完成．

　　点评：

解完本例后，启发引导学生观察a5，a10，a15，a20的规律．

　　变式训练

　　　已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式．

　　解：

设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.

　　∵a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，

　　∴2q＋2q＝203.

　　解得q1＝13，q2＝3.

　　当q＝13时，a1＝18.

　　∴an＝18×n－1＝183n－1＝2×33－n.

　　当q＝3时，a1＝29，

　　∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.

　　例3已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.

　　求证：

数列{an＋1}是等比数列；

　　求an的表达式．

　　活动：

教师引导学生观察，数列{an}不是等差数列，也不是等比数列，要求an的表达式，通过转化{an＋1}是等比数列来求解．

　　解：

证明：

∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2．

　　∵a1＝1，故a1＋1≠0，则有an＋1＋1an＋1＝2.

　　∴{an＋1}是等比数列．

　　由知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列，

　　∴an＋1＝2•2n－1，即an＝2n－1.

　　点评：

教师引导学生进行解后反思．如本题，不能忽视对an＋1≠0的说明，因为在等比数列{an}中，an≠0，且公比q≠0，否则解题会出现漏洞．

　　变式训练

　　　已知数列{lgan}是等差数列，求证：

{an}是等比数列．

　　证明：

∵{lgan}是等差数列，设公差为d，

　　则lgan＋1－lgan＝d，即an＋1an＝10d．[:

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　　∴{a