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反比例函数优秀教学设计合集
第十七章反比例函数
17.1.1反比例函数的意义
一、教学目标
1.使学生理解并掌握反比例函数的概念
2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求函数解析式
3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想
二、重、难点
1.重点:
理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式
2.难点:
理解反比例函数的概念
3.难点的突破方法:
(1)在引入反比例函数的概念时,可适当复习一下第11章的正比例函数、一次函数等相关知识,这样以旧带新,相互对比,能加深对反比例函数概念的理解
(2)注意引导学生对反比例函数概念的理解,看形式
,等号左边是函数y,等号右边是一个分式,自变量x在分母上,且x的指数是1,分子是不为0的常数k;看自变量x的取值X围,由于x在分母上,故取x≠0的一切实数;看函数y的取值X围,因为k≠0,且x≠0,所以函数值y也不可能为0。
讲解时可对照正比例函数y=kx(k≠0),比较二者解析式的相同点和不同点。
(3)
(k≠0)还可以写成
(k≠0)或xy=k(k≠0)的形式
三、例题的意图分析
教材第46页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的,目的是让学生从实际问题出发,探索其中的数量关系和变化规律,通过观察、讨论、归纳,最后得出反比例函数的概念,体会函数的模型思想。
教材第47页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题,此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解,掌握求函数解析式的方法;二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想,特别是函数与自变量之间的单值对应关系。
补充例1、例2都是常见的题型,能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。
补充例3是一道综合题,此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式,有一定难度,但能提高学生分析、解决问题的能力。
四、课堂引入
1.回忆一下什么是正比例函数、一次函数?
它们的一般形式是怎样的?
2.体育课上,老师测试了百米赛跑,那么,时间与平均速度的关系是怎样的?
五、例习题分析
例1.见教材P47
分析:
因为y是x的反比例函数,所以先设
,再把x=2和y=6代入上式求出常数k,即利用了待定系数法确定函数解析式。
例1.(补充)下列等式中,哪些是反比例函数
(1)
(2)
(3)xy=21(4)
(5)
(6)
(7)y=x-4
分析:
根据反比例函数的定义,关键看上面各式能否改写成
(k为常数,k≠0)的形式,这里
(1)、(7)是整式,(4)的分母不是只单独含x,(6)改写后是
,分子不是常数,只有
(2)、(3)、(5)能写成定义的形式
例2.(补充)当m取什么值时,函数
是反比例函数?
分析:
反比例函数
(k≠0)的另一种表达式是
(k≠0),后一种写法中x的次数是-1,因此m的取值必须满足两个条件,即m-2≠0且3-m2=-1,特别注意不要遗漏k≠0这一条件,也要防止出现3-m2=1的错误。
解得m=-2
例3.(补充)已知函数y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5
(1)求y与x的函数关系式
(2)当x=-2时,求函数y的值
分析:
此题函数y是由y1和y2两个函数组成的,要用待定系数法来解答,先根据题意分别设出y1、y2与x的函数关系式,再代入数值,通过解方程或方程组求出比例系数的值。
这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同,故不能都设为k,要用不同的字母表示。
略解:
设y1=k1x(k1≠0),
(k2≠0),则
,代入数值求得k1=2,
k2=2,则
,当x=-2时,y=-5
六、随堂练习
1.苹果每千克x元,花10元钱可买y千克的苹果,则y与x之间的函数关系式为
2.若函数
是反比例函数,则m的取值是
3.矩形的面积为4,一条边的长为x,另一条边的长为y,则y与x的函数解析式为
4.已知y与x成反比例,且当x=-2时,y=3,则y与x之间的函数关系式是,
当x=-3时,y=
5.函数
中自变量x的取值X围是
七、课后练习
已知函数y=y1+y2,y1与x+1成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=0;当x=4时,y=9,求当x=-1时y的值
答案:
y=4
17.1.2反比例函数的图象和性质
(1)
一、教学目标
1.会用描点法画反比例函数的图象
2.结合图象分析并掌握反比例函数的性质
3.体会函数的三种表示方法,领会数形结合的思想方法
二、重点、难点
1.重点:
理解并掌握反比例函数的图象和性质
2.难点:
正确画出图象,通过观察、分析,归纳出反比例函数的性质
3.难点的突破方法:
画反比例函数图象前,应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤,即:
列表、描点、连线,其中列表取值很关键。
反比例函数
(k≠0)自变量的取值X围是x≠0,所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半,并且互为相反数,通常取的数值越多,画出的图象越精确。
连线时要告诉学生用平滑的曲线连接,不能用折线连接。
教学时,老师要带着学生一起画,注意引导,及时纠错。
在探究反比例函数的性质时,可结合正比例函数y=kx(k≠0)的图象和性质,来帮助学生观察、分析及归纳,通过对比,能使学生更好地理解和掌握所学的内容。
这里要强调一下,反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k的符号决定的;反之,双曲线的位置和函数性质也能推出k的符号,注意让学生体会数形结合的思想方法。
三、例题的意图分析
教材第48页的例2是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程,一方面能进一步熟悉作函数图象的方法,提高基本技能;另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识,了解函数的变化规律,从而为探究函数的性质作准备。
补充例1的目的一是复习巩固反比例函数的定义,二是通过对反比例函数性质的简单应用,使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。
补充例2是一道典型题,是关于反比例函数图象与矩形面积的问题,要让学生理解并掌握反比例函数解析式
(k≠0)中
的几何意义。
四、课堂引入
提出问题:
1.一次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象是什么?
其性质有哪些?
正比例函数y=kx(k≠0)呢?
2.画函数图象的方法是什么?
其一般步骤有哪些?
应注意什么?
3.反比例函数的图象是什么样呢?
五、例习题分析
例2.见教材P48,用描点法画图,注意强调:
(1)列表取值时,x≠0,因为x=0函数无意义,为了使描出的点具有代表性,可以“0”为中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互为相反数,这样也便于求y值
(2)由于函数图象的特征还不清楚,所以要尽量多取一些数值,多描一些点,这样便于连线,使画出的图象更精确
(3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线
(4)由于x≠0,k≠0,所以y≠0,函数图象永远不会与x轴、y轴相交,只是无限靠近两坐标轴
例1.(补充)已知反比例函数
的图象在第二、四象限,求m值,并指出在每个象限内y随x的变化情况?
分析:
此题要考虑两个方面,一是反比例函数的定义,即
(k≠0)自变量x的指数是-1,二是根据反比例函数的性质:
当图象位于第二、四象限时,k<0,则m-1<0,不要忽视这个条件
略解:
∵
是反比例函数∴m2-3=-1,且m-1≠0
又∵图象在第二、四象限∴m-1<0
解得
且m<1则
例2.(补充)如图,过反比例函数
(x>0)的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连接OA、OB,设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2,比较它们的大小,可得()
(A)S1>S2(B)S1=S2
(C)S1<S2(D)大小关系不能确定
分析:
从反比例函数
(k≠0)的图象上任一点P(x,y)向x轴、y轴作垂线段,与x轴、y轴所围成的矩形面积
,由此可得S1=S2=
,故选B
六、随堂练习
1.已知反比例函数
,分别根据下列条件求出字母k的取值X围
(1)函数图象位于第一、三象限
(2)在第二象限内,y随x的增大而增大
2.函数y=-ax+a与
(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是()
3.在平面直角坐标系内,过反比例函数
(k>0)的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段,与x轴、y轴所围成的矩形面积是6,则函数解析式为
七、课后练习
1.若函数
与
的图象交于第一、三象限,则m的取值X围是
2.反比例函数
,当x=-2时,y=;当x<-2时;y的取值X围是;
当x>-2时;y的取值X围是
3.已知反比例函数
,当
时,y随x的增大而增大,
求函数关系式
答案:
3.
17.1.2反比例函数的图象和性质
(2)
一、教学目标
1.使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质
2.能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题
3.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法
二、重点、难点
1.重点:
理解并掌握反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题
2.难点:
学会从图象上分析、解决问题
3.难点的突破方法:
在前一节的基础上,可适当增加一些较综合的题目,帮助学生熟练掌握反比例函数的图象和性质,要让学生学会如何通过函数图象分析解析式,或由函数解析式分析图象的方法,以便更好的理解数形结合的思想,最终能达到从“数”和“形”两方面去分析问题、解决问题。
三、例题的意图分析
教材第51页的例3一是让学生理解点在图象上的含义,掌握如何用待定系数法去求解析式,复习巩固反比例函数的意义;二是通过函数解析式去分析图象及性质,由“数”到“形”,体会数形结合思想,加深学生对反比例函数图象和性质的理解。
教材第52页的例4是已知函数图象求解析式中的未知系数,并由双曲线的变化趋势分析函数值y随x的变化情况,此过程是由“形”到“数”,目的是为了提高学生从函数图象中获取信息的能力,加深对函数图象及性质的理解。
补充例1目的是引导学生在解有关函数问题时,要数形结合,另外,在分析反比例函数的增减性时,一定要注意强调在哪个象限内。
补充例2是一道有关一次函数和反比例函数的综合题,目的是提高学生的识图能力,并能灵活运用所学知识解决一些较综合的问题。
四、课堂引入
复习上节课所学的内容
1.什么是反比例函数?
2.反比例函数的图象是什么?
有什么性质?
五、例习题分析
例3.见教材P51
分析:
反比例函数
的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的符号,因此要先求常数k,而题中已知图象经过点A(2,6),即表明把A点坐标代入解析式成立,所以用待定系数法能求出k,这样解析式也就确定了。
例4.见教材P52
例1.(补充)若点A(-2,a)、B(-1,b)、C(3,c)在反比例函数
(k<0)图象上,则a、b、c的大小关系怎样?
分析:
由k<0可知,双曲线位于第二、四象限,且在每一象限内,y随x的增大而增大,因为A、B在第二象限,且-1>-2,故b>a>0;又C在第四象限,则c<0,所以
b>a>0>c
说明:
由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内,因此函数y随x的增减性就不能连续的看,一定要强调“在每一象限内”,否则,笼统说k<0时y随x的增大而增大,就会误认为3最大,则c最大,出现错误。
此题还可以画草图,比较a、b、c的大小,利用图象直观易懂,不易出错,应学会使用。
例2.(补充)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数
的图象交于A(-2,1)、B(1,n)两点
(1)求反比例函数和一次函数的解析式
(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值X围
分析:
因为A点在反比例函数的图象上,可先求出反比例函数的解析式
,又B点在反比例函数的图象上,代入即可求出n的值,最后再由A、B两点坐标求出一次函数解析式y=-x-1,第
(2)问根据图象可得x的取值X围x<-2或0<x<1,这是因为比较两个不同函数的值的大小时,就是看这两个函数图象哪个在上方,哪个在下方。
六、随堂练习
1.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则函数
的图象在()
(A)第一、三象限(B)第二、四象限
(C)第三、四象限(D)第一、二象限
2.已知点(-1,y1)、(2,y2)、(π,y3)在双曲线
上,则下列关系式正确的是()
(A)y1>y2>y3(B)y1>y3>y2
(C)y2>y1>y3(D)y3>y1>y2
七、课后练习
1.已知反比例函数
的图象在每个象限内函数值y随自变量x的增大而减小,且k的值还满足
≥2k-1,若k为整数,求反比例函数的解析式
2.已知一次函数
的图像与反比例函数
的图像交于A、B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2,
求
(1)一次函数的解析式;
(2)△AOB的面积
答案:
1.
或
或
2.
(1)y=-x+2,
(2)面积为6
17.2实际问题与反比例函数
(1)
一、教学目标
1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2.渗透数形结合思想,提高学生用函数观点解决问题的能力
二、重点、难点
1.重点:
利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2.难点:
分析实际问题中的数量关系,正确写出函数解析式
3.难点的突破方法:
用函数观点解实际问题,一要搞清题目中的基本数量关系,将实际问题抽象成数学问题,看看各变量间应满足什么样的关系式(包括已学过的基本公式),这一步很重要;二是要分清自变量和函数,以便写出正确的函数关系式,并注意自变量的取值X围;三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质,特别是图象,要做到数形结合,这样有利于分析和解决问题。
教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。
三、例题的意图分析
教材第57页的例1,数量关系比较简单,学生根据基本公式很容易写出函数关系式,此题实际上是利用了反比例函数的定义,同时也是要让学生学会分析问题的方法。
教材第58页的例2是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题,此题的实际背景较例1稍复杂些,目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力,掌握用函数观点去分析和解决问题的思路。
补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识,二是为了提高学生从图象中读取信息的能力,掌握数形结合的思想方法,以便更好地解决实际问题
四、课堂引入
寒假到了,小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰,突然发现前面有一处冰出现了裂痕,小明立即告诉同伴分散趴在冰面上,匍匐离开了危险区。
你能解释一下小明这样做的道理吗?
五、例习题分析
例1.见教材第57页
分析:
(1)问首先要弄清此题中各数量间的关系,容积为104,底面积是S,深度为d,满足基本公式:
圆柱的体积=底面积×高,由题意知S是函数,d是自变量,改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式,
(2)问实际上是已知函数S的值,求自变量d的取值,(3)问则是与
(2)相反
例2.见教材第58页
分析:
此题类似应用题中的“工程问题”,关系式为工作总量=工作速度×工作时间,由于题目中货物总量是不变的,两个变量分别是速度v和时间t,因此具有反比关系,
(2)问涉及了反比例函数的增减性,即当自变量t取最大值时,函数值v取最小值是多少?
例1.(补充)某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(千帕)是气体体积V(立方米)的反比例函数,其图像如图所示(千帕是一种压强单位)
(1)写出这个函数的解析式;
(2)当气球的体积是0.8立方米时,气球内的气压是多少千帕?
(3)当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米?
分析:
题中已知变量P与V是反比例函数关系,并且图象经过点A,利用待定系数法可以求出P与V的解析式,得
,(3)问中当P大于144千帕时,气球会爆炸,即当P不超过144千帕时,是安全X围。
根据反比例函数的图象和性质,P随V的增大而减小,可先求出气压P=144千帕时所对应的气体体积,再分析出最后结果是不小于
立方米
六、随堂练习
1.京沈高速公路全长658km,汽车沿京沈高速公路从XX驶往,则汽车行完全程所需时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系式为
2.完成某项任务可获得500元报酬,考虑由x人完成这项任务,试写出人均报酬y(元)与人数x(人)之间的函数关系式
3.一定质量的氧气,它的密度
(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数,当V=10时,
=1.43,
(1)求
与V的函数关系式;
(2)求当V=2时氧气的密度
答案:
=
,当V=2时,
=7.15
七、课后练习
1.小林家离工作单位的距离为3600米,他每天骑自行车上班时的速度为v(米/分),所需时间为t(分)
(1)则速度v与时间t之间有怎样的函数关系?
(2)若小林到单位用15分钟,那么他骑车的平均速度是多少?
(2)如果小林骑车的速度最快为300米/分,那他至少需要几分钟到达单位?
答案:
,v=240,t=12
2.学校锅炉旁建有一个储煤库,开学初购进一批煤,现在知道:
按每天用煤0.6吨计算,一学期(按150天计算)刚好用完.若每天的耗煤量为x吨,那么这批煤能维持y天
(1)则y与x之间有怎样的函数关系?
(2)画函数图象
(3)若每天节约0.1吨,则这批煤能维持多少天?
17.2实际问题与反比例函数
(2)
一、教学目标
1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2.渗透数形结合思想,进一步提高学生用函数观点解决问题的能力,体会和认识反比例函数这一数学模型
二、重点、难点
1.重点:
利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2.难点:
分析实际问题中的数量关系,正确写出函数解析式,解决实际问题
3.难点的突破方法:
本节的两个例题与学生的日常生活联系紧密,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用,不但能巩固所学的知识,还能提高学生学习数学的兴趣。
本节的教学,要引导学生从已有的生活经验出发,按照上一节所讲的基本思路去分析、解决实际问题,注意体会数形结合及转化的思想方法,要告诉学生充分利用函数图象的直观性,这对分析和解决实际问题很有帮助。
三、例题的意图分析
教材第58页的例3和例4都需要用到物理知识,教材在例题前已给出了相关的基本公式,其中的数量关系具有反比例关系,通过对这两个问题的分析和解决,不但能复习巩固反比例函数的有关知识,还能培养学生应用数学的意识
补充例题是一道综合题,有一定难度,需要学生有较强的识图、分析和归纳等方面的能力,此题既有一次函数的知识,又有反比例函数的知识,能进一步深化学生对一次函数和反比例函数知识的理解和掌握,体会数形结合思想的重要作用,同时提高学生灵活运用函数观点去分析和解决实际问题的能力
四、课堂引入
1.小明家新买了几桶墙面漆,准备重新粉刷墙壁,请问如何打开这些未XX的墙面漆桶呢?
其原理是什么?
2.台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节,你能说出其中的道理吗?
五、例习题分析
例3.见教材第58页
分析:
题中已知阻力与阻力臂不变,即阻力与阻力臂的积为定值,由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系,写出函数关系式,得到函数动力F是自变量动力臂
的反比例函数,当
=1.5时,代入解析式中求F的值;
(2)问要利用反比例函数的性质,
越大F越小,先求出当F=200时,其相应的
值的大小,从而得出结果。
例4.见教材第59页
分析:
根据物理公式PR=U2,当电压U一定时,输出功率P是电阻R的反比例函数,则
,
(2)问中是已知自变量R的取值X围,即110≤R≤220,求函数P的取值X围,根据反比例函数的性质,电阻越大则功率越小,
得220≤P≤440
例1.(补充)为了预防疾病,某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后,y与x成反比例(如图),现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量6毫克,请根据题中所提供的信息,解答下列问题:
(1)药物燃烧时,y关于x的函数关系式为,自变量x的取值X为;
药物燃烧后,y关于x的函数关系式为.
(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后,员工才能回到办公室;
(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?
为什么?
分析:
(1)药物燃烧时,由图象可知函数y是x的正比例函数,设
,将点(8,6)代人解析式,求得
,自变量0<x≤8;药物燃烧后,由图象看出y是x的反比例函数,设
,用待定系数法求得
(2)燃烧时,药含量逐渐增加,燃烧后,药含量逐渐减少,因此,只能在燃烧后的某一时间进入办公室,先将药含量y=1.6代入
,求出x=30,根据反比例函数的图象与性质知药含量y随时间x的增大而减小,求得时间至少要30分钟
(3)药物燃烧过程中,药含量逐渐增加,当y=3时,代入
中,得x=4,即当药物燃烧4分钟时,药含量达到3毫克;药物燃烧后,药含量由最高6毫克逐渐减少,其间还能达到3毫克,所以当y=3时,代入
,得x=16,持续时间为16-4=12>10,因此消毒有效
六、随堂练习
1.某厂现有800吨煤,这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是()
(A)
(x>0)(B)
(x≥0)
(C)y=300x(x≥0)(D)y=300x(x>0)
2.已知甲、乙两地相s(千米),汽车从甲地匀速行驶到达乙地,如果汽车每小时耗油量为a(升),那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y(升)与汽车的行驶速度v(千米/时)的函数图象大致是()
3.你吃过拉面吗?
实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识,一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)S(mm2)的反比例函数,其图象如图所示:
(1)写出y与S的函数关系式;
(2)求当面条粗1.6mm2时,面条的总长度是多少米?
七.课后练习
一场暴雨过后,一洼地存雨水20米3,如果将雨水全部排完需t分钟,排水量为a米3/分,且排水时间为5~10分钟
(1)试写出t与a的函数关系式,并指出a的取值X围;
(2)请画出函数图象
(3)根据图象回答:
当排水量为3米3/分时,排水的时间需要多长?