二次函数中的动点问题之平行四边形教学设计.docx
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二次函数中的动点问题之平行四边形教学设计
广东省中考数学疑难问题教学设计：
二次函数中的动点问题之平行四边形
一、教学内容的确定及前期思考：
二次函数中的动点问题无疑会成为压轴题三位主角中的一个，而动点产生平行四边形的问题也经常出现，本人发现：
无论是各种复习资料对这类题给出的解答方法，还是我听公开课时发现很多老师给出的解决方式都将简单问题复杂化了，而我们数学老师的任务应该是化繁为简，找出各个知识点之间的联系，充分利用我们熟悉的数学方法和数学思想去解决压轴题中的疑难问题，由此产生了将此类问题形成一篇教学设计的想法，并已长达两年之久。
二、教学目标分析：
（一）通性通法：
1、通过知识转化、类比、迁移的方式学会观察分析并找出线段的平移和点的坐标之间的关系，再利用形成平行四边形的动点的位置的特殊性（在抛物线上或在抛物线的对称轴上等），求出动点的坐标。
2、熟练掌握和应用函数模型、数形结合、分类讨论与整合、化归与转化等数学思想和方法。
（二）情感教育：
能通过本节课化繁为简、化难为易的学习过程克服对压轴题的恐惧心理，增强学生解决压轴题的信心和勇气。
三、教学重点与难点分析：
重点：
掌握根据平移与点的坐标之间的关系规律来解决二次函数中动点产生平行四边形的问题。
难点：
首先是能利用平移画出大致图形，其次是能充分利用隐含的条件（如点在对称轴上就意味着已知横坐标等）来求出动点的坐标。
四、教学过程设计总流程如下：
方法技巧1：
若P（x0,y0）→P1（x0+5,y0+3）,则
其它各点平移后也是横坐标加5，纵坐标加3
出示辅例2（为解决辅例1而设置），引出技巧一：
用新解法解决辅例1
用平移的新解法、引出技巧二
方法技巧2：
可通过平移已知的一条边来得到平行四边形（因为平行四边形的对边平行且相等）
具体教学过程如下：
（一）观看旧解，提出问题：
环节一：
展示疑难题图，引出课题
2005年中山市中考试题
2011年广东省中考试卷
第22题
2018年江门市中考模拟
设计意图：
展示三道平行四边形和二次函数结合的题图，冲击学生的视觉，让学生的注意力一下子就集中到本节课要学习的题目类型上。
开场白设计：
在压轴题中，我们经常会见到平行四边形和二次函数相依相伴的身影，这节课我们就一起来研究二次函数和平行四边形的那些事儿。
环节二：
探讨平行四边形中暗含的平移知识
（聊天引入）让我们先把平行四边形请过来做客吧！
下面，给你们展示一道题以及这道题的解题过程，你知道答案是怎么做的吗？
辅例1、（选自练习册中的练习题）在直角坐标系中,已知:
A（-1，0），B（3，0），C（0，2）．以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,求D点的坐标。
旧解：
（在网络上XX到的方法，同时也是很多老师采用的方法，非常复杂，会让学生望而生畏）：
（1）如图1，以AB为对角线时，作DM⊥x轴于点M，DN⊥y轴于点N，
∵x轴垂直于y轴，
∴四边形NDMA为矩形，
∴DN=MO，
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=3，OC=2，
∵□ACBD，
∴AC//BD且AC=BD
∴∠DBM=∠CAB，
∵∠COA=∠DMB=90°，
∴在△COA和△DMB中，
∠COA=∠DMB
∠CAO=∠DBMAC=BD
∴△COA≌△DMB（AAS），
∴BM=OA=1，MD=OC=2，
∵OB=3，
∴DN=MO=OB-MB=3-1=2，
∵D点在第四象限内，∴D点的坐标为（2，-2），
（2）如图2，以AC为对角线时，作DH⊥x轴于点H，
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=3，OC=2，
∵□ACBD，
∴CD//AB，且CD=AB
∴CD=AB=OA+OB=1+3=4，
∵OC⊥HB，
∴DH=OC=2，
∵D点在第三象限，
∴D点的坐标为（-4，2），
（3）如图3，以BC为对角线，作DE⊥x轴于点E，
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=3，OC=2，
∵□ACBD
CD//AB且CD=AB
∴CD=AB=OA+OB=1+3=4，
∵OC⊥AE，
∴DE=OC=2，
∵D点在第一象限，
∴D点的坐标为（4，2）．
故答案为（2，-2）或（-4，2）或（4，2）．
设计意图：
让学生对此类求平行四边形的顶点坐标的题型有整体的质感，通过观察本解法，了解解题思路及其应用到的知识点，学生肯定会感觉到此法的复杂繁琐而不由自主产生畏惧感，
就在这个时候，老师告诉学生：
其实，我们有更合理简单的方法来解决类似的问题，更重要的是，这个方法通俗易懂，只要认真，每个同学都可以学会！
从而增强学生学习的信心。
（二）复习平移，简化问题：
第一个环节：
复习怎么用坐标表示图形的平移：
辅例2：
（自编）△ABC中任意一点P（x0,y0）经平移后对应点为P1（x0+5,y0+3）,将△ABC作同样的平移到△A1B1C1，若A（2，0），B（-4，0），C（0，2），求A1、B1、C1的坐标。
设计意图：
《用坐标表示图形的平移》是人教版七年级上册《平面直角坐标系》中的内容。
通过此题的练习可以让学生明白：
一个图形发生了什么平移，则这个图形中的每个点都发
生了相同的平移，那么每个点坐标的变化规律就一定相同，这个环节的设计，充分体现了
数形结合的思想。
方法技巧1：
若P（x0,y0）→P1（x0+5,y0+3）,则
其它各点平移后也是横坐标加5，纵坐标加3
第二个环节：
提出平行四边形和平移的关系，并解决课题开始提出的问题。
提问：
平行四边形可以看作是什么图形平移得到的？
（点动成线，线动成面，面动成体，而平行四边形可以看成是一条线段平移而成的）
设计意图：
将二次函数中的平行四边形剥离出来先研究透彻，再将它放置到抛物线中去，充
分运用了化归与转化的数学思想。
当学生知道了用坐标来表示平移后，老师可以问学生：
还记得我们本节课一起看过解法及其复杂的那道题吗？
现在我们可以用坐标和平移之间的关系来求出点D的坐标吗？
（这个环节，可以让同学们小组讨论，加深对用坐标表示平移的印象）
辅例1、在直角坐标系中,已知:
A（-1，0），B（3，0），C（0，2）．以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,求D点的坐标。
附：
解答过程：
第一步：
画出图形：
平移AB交y轴于点C，则点D有可能在第一象限，也有可能在第三象限
第二步：
观察图形：
确定点D是由哪个点平移而来的。
以
ABCD1为例，点A平移到点D1，点B平移
第五步：
利用相同的规律，求出另外两个点D2和D3的坐标
设计意图：
学生经过这个环节的学习，自信心开始增强了，老师可以提出：
从刚才的这道题我们可以发现，平行四边形的每个顶点可谓是：
“来有影，去有踪”，所以同学们的思路要清晰，
只有知道每个点平移前后的对应点是哪一个，才能针对坐标进行分析。
接下来进一步提出问题：
如果平行四边形遇到二次函数会怎样呢？
（三）利用平移，解决问题
125
主例1：
（2009年宁夏中考题，有改编）抛物线y＝－x＋2x＋
与x轴相交于A，B两点，
第三步：
观察坐标，确定坐标变化方式：
∵B（3，0）→C（0，2），
∴横坐标减3、纵坐标加2，
第四步：
利用坐标变化方式，确定点D坐标：
横坐标减3、纵坐标加2，则A（-1，0）
→D1（x，y）时，x=-1-3=-4,y=0+2=2,∴D1（-4，2）。
22
点B在点A的右侧，与y轴相交于点C.
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？
若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
设计意图：
学习平移和平行四边形的关系就是为了解决二次函数中动点形成平行四边形的问题，该例题最具代表性：
因为它将数形结合的思想发挥到了极致、将分类讨论思想彻底渗透和
运用到了解题的过程中，大大促进了学生形象思维和抽象思维的协调发展。
此题的第
（1）和
（2）两小问可以快速处理，重点和学生一起探讨第（3）小问，在这个环节，要求学生能解决以下问题：
第一：
以A，C，M，N四点构成的平行四边形该怎么画出来？
第二：
未知的点分别是由已知的哪个点平移而来？
坐标发生了什么变化？
第三：
怎么求出点N的坐标。
55
附第
（1）和
（2）两小问解答过程：
（1）当x＝0时，y＝，∴C（0，）．
22
125
当y＝0时，－x＋2x＋
＝0，化简，得
22
x2－4x－5＝0.
解得x1＝5，x2＝－1.
∴A（－1，0），B（5，0）．
（2）连接BC，交对称轴于点P，连接AP.
．
∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称，∴AP＝PB.要使PA＋PC的值最小，则应使PB＋PC的值最小，所以BC与对称轴的交点P使得PA＋PC的值最小设BC的解析式为y＝kx＋b.
2
抛物线的对称轴为直线x＝－1
＝2.
—×2
2
1533
当x＝2时，y＝－×2＋＝.∴P（2，）．
2222
※重点分析第（3）问：
其解答的流程如下：
121
主例2：
（2016-2017江门市期末调研）如图，已知抛物线y=﹣x﹣x+2与x轴交于A、B两点，
42
与y轴交于点C
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求当以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形时点E的坐标；
在探讨第
（2）小问时，老师可以提问：
刚才平移后新产生的两个点总有一个点的某一个坐标（横坐标或者是纵坐标）是可以求出来的，比如点M在x轴上，实际上就是间接地告诉我们它的纵坐标为0，而此题的点E和点F既不在x轴上也不在y轴上，那怎么能知道其中的一个坐标呢？
从而引导和启发学生发现点F在对称轴上，意味着点F的横坐标就是对称轴方程，找到解决此题的突破点。
【附解答】解：
（1）令y=0得﹣1x2﹣1x+2=0，
42
∴x2+2x﹣8=0，解得x=﹣4或2，
∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．
※重点分析第
（2）问：
其解答的流程如下：
设计意图：
设计这两道题的教学，化繁为简，化难为易，将未解决的问题转化为已解决的问题，可谓是化归与转化的数学思想的完美体现。
（四）掌握规律，检验自己
主例变式练习1（2005年中山市中考题）如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设点D（m，n），矩形ABCD的周长为L，写出L与m的关系式，并求出L的最大值；
（3）
点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否还存在点F，使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，写出F点的坐标。
主例变式练习2、（2011年广东省中考题）如图，抛物线y=−5x2+17x+1与y轴交于A点，
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过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C（3，0）
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t
的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）
设在
（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？
y问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？
请说明理由.
设计意图：
设计这两道练习题，一是为了做到首尾呼应；二是为了让学生在经过本节课的学习之后，可以独立解决二次函数中动点形成平行四边形这一中考疑难问题，从而体会到成功的
乐趣，增强学习数学的信心！
课后感悟：
本教学设计力求有解决问题的方法和技巧，有数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法的渗透和运用，能把题目从散乱中抽出来、将学生的想法从凌乱中提出来，
把学生从题海里捞出来，化繁为简、化难为易，这样的教学才是高效的、积极向上的，这样的老师才是真正心系学生、关爱学生的智慧型老师，这正是我们每个数学人矢志追求的方向。
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