17实验十七--回归分析.doc
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实验十七回归分析
一实验目的
学习用MATLAB求解一元线性回归问题.学会正确使用命令Regress,并从输出表中读懂线性回归模型中各参数的估计,回归方程,线性假设的显著性检验结果,因变量Y在观察点的预测区间等.
二实验准备
1.多元线性回归的数学模型为
，其中，，，
为参数，记，残差的每一分量定义为，.
残差平方和，最小二乘估计就是选择参数使残差平方和最小.
称为总的偏差平方和；称为回归平方和；
可以证明平方和的分解公式：
.
决定系数是反映模型是否有效的指标之一.，越接近于1，模型的有效性越好.
，是检验的检验统计量，在F的值偏大时拒绝.
是回归模型中的无偏估计.
一元线性回归是多元线性回归的特例，只要令.
2.一元线性回归模型中个值的预测区间
当被拒绝，即判断模型有效后，就可以从自变量的一个给定值预测因变量的理论值，预测值实际上是一个点估计，记作.显然可取
（1）
这里的有如下的统计意义：
是无偏估计，即.在给定显著性水平下，预测区间（时，有95％的可能落在此区间）为
（2）
其中，.虽然这个结果比较复杂，但是当很大且接近时，可以忽视上式根号内的后两项，且接近于的分位数，上述预测区间简化为
（3）
如果因为或的置信区间包含零点而接受，那也只是说明与之间没有合适的线性模型，但是两者之间可能存在其它关系.
3.多元线性回归模型中个值的预测区间
当模型通过有效性检验后，可由自变量的任一给定值预测因变量的理论值，记作,显然
（4）
在给定显著性水平下的预测区间为
，（5）
其中.当很大且接近时，上述预测区间也可简化为
（6）
三学习MATLAB命令
1.MATLAB用于一元或多元线性回归的命令是regress，其格式为
b=regress（y,X）%简单形式
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,X,alpha）%完整形式
输入参数及意义：
因变量y（列向量），矩阵X（n行p+1列，左边第一列为1，这时回归模型中有常数项），alpha是显著性水平（默认时设定为0.05）.
输出参数及意义：
为p+1个模型参数的最小二乘估计，bint是参数的置信区间，r是残差（列向量），rint是残差的置信区间，stats包含4个统计量：
第1个是决定系数；第2个是作回归方程的显著性检验的统计量的值；第3个是分布大于F值的概率（检验的P-值），时拒绝，回归模型有效；第4个是（剩余方差,MATLAB7.0以前版本没有第4个统计量，可由sum（r.^2）/（n-p-1）计算.
2.多项式回归命令polyfit，其格式是
a=polyfit（x,y,m）
输入参数及意义：
x,y是要拟合的数据组（长度相同的向量），m为拟合多项式的次数.
输出a为拟合多项式
的系数（降幂排列），注意：
顺序与regress的输出相反.
下面的命令常与polyfit连用，计算上述多项式在x处的值y：
y=polyval（a,x）
3.非线性回归命令nlinfit，其格式是
[b,R,J]=nlinfit（x,y,’model’,b0）
输入参数及意义：
x是自变量数据矩阵，每列一个变量；y是因变量数据向量；model是模型的函数名（M文件或inline形式的函数），形式为,b为参数，b0为参数迭代初始值.
输出参数及意义：
b是参数的估计值；R是残差，J返回用于估计预测误差的Jacobi矩阵.
四实验内容
1.一元线性回归
例1表17.1列出了18个5-8岁儿童的重量（这是容易测得的）和体积（这是难以测量的）.
表17.1
重量（千克）
17.1
10.5
13.8
15.7
11.9
10.4
15.0
16.0
17.8
体积（立方分米）
16.7
10.4
13.5
15.7
11.6
10.2
14.5
15.8
17.6
重量（千克）
15.8
15.1
12.1
18.4
17.1
16.7
16.5
15.1
15.1
体积（立方分米）
15.2
14.8
11.9
18.3
16.7
16.6
15.9
15.1
14.5
（1）画出散点图.
（2）求关于的线性回归方程,并作回归分析.（3）求=14.0时的置信水平为0.95的预测区间.
解
（1）输入数据,并输入作散点图命令
x=[17.110.513.815.711.910.415.016.017.815.815.112.118.417.116.716.515.115.1];%输入自变量x的观察值
y=[16.710.413.515.711.610.214.515.817.615.214.811.918.316.716.615.915.114.5];%输入因变量y的观察值
plot（x,y,'*'）%作散点图
输出结果是图17.1
图17.1
（2）作一元回归分析,输入
n=length（y）;
X=[ones（n,1）,x'];%1与自变量X组成的输入矩阵
[b,bint,r,rint,s]=regress（y',X）;
b,bint,s
rcoplot（r,rint）%残差及其置信区间作图
执行后得到输出结果:
b=
-0.1040
0.9881
bint=
-0.76550.5574
0.94451.0316
s=
1.0e+003*
0.00102.31190
这个结果可整理如表17.2
表17.2例1（重量与体积）的计算结果
回归系数
回归系数估计值
回归系数置信区间
-0.1040
[-0.7655,0.5574]
0.9881
[0.9445,1.0316]
一元回归方程为
;
从几个方面都可以检验模型是有效的：
F检验的P-值接近于零；的置信区间不含零点；；用MATLAB命令finv（0.95,1,16）计算得到.
残差及置信区间如图17.2
图17.2
（3）将上面的回归系数估计值代入回归方程，对重量为14.0kg的儿童的体积（个值）进行预测，得
在下，体积预测区间简化为，输入计算指令
t1=13.7287-norminv（0.975,0,1）*sqrt（sum（r.^2）/16）
t2=13.7287+norminv（0.975,0,1）*sqrt（sum（r.^2）/16）
输出
t1=13.3333
t2=14.1241
即14.0kg的儿童的体积（个值）的置信度为0.95的预测区间为[13.3340,14.1248].也可以用命令
polytool（x,y,1,0.05）
作出散点图及拟合直线，并对x=14.0时的y进行预报（输出结果略，详见例4）.
例2为了了解血压随年龄的增长而升高的关系，调查了30个成年人的血压（收缩压mmHg）,如表17.3.我们希望用这组数据确定血压与年龄（岁）的关系，并且由此从年龄预测血压可能的变化范围，回答“平均说来60岁比50岁的人血压高多少”的问题.
表17.330个人的血压与年龄
序号
血压
年龄
序号
血压
年龄
序号
血压
年龄
1
144
39
11
162
64
21
136
36
2
215
47
12
150
56
22
142
50
3
138
45
13
140
59
23
120
39
4
145
47
14
110
34
24
120
21
5
162
65
15
128
42
25
160
44
6
142
46
16
130
48
26
158
53
7
170
67
17
135
45
27
144
63
8
124
42
18
114
18
28
130
29
9
158
67
19
116
20
29
125
25
10
154
56
20
124
19
30
175
69
分析记血压（因变量），年龄（自变量）表17.3的数据为用MATLAB将它们作图，如图17.3.从图形直观地看，与大致呈线性关系，即根据试验数据从统计推断的角度讨论,的置信区间和假设检验，进而对任意的年龄给出的预测区间，属于一元线性回归分析.
图17.3血压与年龄的散点图
MATLAB编程如下：
y=[144215138145162142170124158154162150140110128130135114116124136142120120160158144130125175];
x=[394745476546674267566456593442484518201936503921445363292569];
n=30;
X=[ones（n,1）,x'];%1与自变量组成的输入矩阵
[b,bint,r,rint,s]=regress（y',X）;
plot（x,y,'*'）%血压与年龄的散点图
b,bint,s
rcoplot（r,rint）%残差及其置信区间作图
b=
98.4084
0.9732
bint=
78.7484118.0683
0.56011.3864
s=
0.454023.28340.0000
这个结果可以整理如表17.4
表17.4年龄与血压的计算结果
回归系数
回归系数估计值
回归系数置信区间
98.4084
[78.7484118.0683]
0.9732
[0.56011.3864]
从几个方面都可以检验模型是有效的：
F检验的P-值接近于零；的置信区间不含零点；；用MATLAB命令finv（0.95,1,28）计算得到但是的置信区间较长，较小，说明模型精度不高.
残差及置信区间如图17.4，图中第二个点残差的置信区间不包括零点，可以认为这个数据是异常的（残差应服从均值为0的正态分布），它偏离数据整体的变化趋势，给模型的有效性和精度带来不利的影响，称异常点或离群点，应予以剔除.
将原始数据中的第二个剔除后重新计算得到表17.5
表17.5剔除第二个数据后的计算结果
回归系数
回归系数估计值
回归系数置信区间
96.8665
[85.4771108.2559]
0.9533
[0.71401.1925]
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