函数单调性与奇偶性高一数学教案模板.docx

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函数单调性与奇偶性高一数学教案模板

函数单调性与奇偶性_高一数学教案_模板

教学目标

　　1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法.

（1）了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.

（2）能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.

　　（3）能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.

　　2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想.

　　3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度.

教学建议

一、知识结构

（1）函数单调性的概念。

包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.

（2）函数奇偶性的概念。

包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.

二、重点难点分析

（1）本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性,奇偶性的本质,掌握单调性的证明.

（2）函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.

三、教法建议

（1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:

图象怎么就升上去了?

可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语（某个区间,任意,都有）的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来.

（2）函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律.

函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值开始,逐渐让在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象（如）说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.

函数的奇偶性教学设计方案

教学目标

　　1.使学生了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性.

　　2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.

　　3.在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.

教学重点,难点

　　重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断

　　难点是对概念的认识

教学用具

　　投影仪,计算机

教学方法

　　引导发现法

教学过程

一.引入新课

　　前面我们已经研究了函数的单调性,它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?

将从对称的角度来研究函数的性质.

　　对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?

　　（学生可能会举出一些数值上的对称问题,等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如和等.）

　　结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于轴对称的吗?

　　学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个只能对一个,而不能有两个不同的,故函数的图象不可能关于轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.

二.讲解新课

　　2.函数的奇偶性（板书）

　　教师从刚才的图象中选出,用计算机打出,指出这是关于轴对称的图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于轴对称呢?

（由学生回答,是利用图象的翻折后重合来判定）此时教师明确提出研究方向:

今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?

　　学生开始可能只会用语言去描述:

自变量互为相反数,函数值相等.教师可引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.（借助课件演示令比较得出等式,再令,得到,详见课件的使用）进而再提出会不会在定义域内存在,使与不等呢?

（可用课件帮助演示让动起来观察,发现结论,这样的是不存在的）

　　从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个,都有成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整.

（1）偶函数的定义:

如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做偶函数.（板书）

　　（给出定义后可让学生举几个例子,如等以检验一下对概念的初步认识）

　　提出新问题:

函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?

（同时打出或的图象让学生观察研究）

　　学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.

（2）奇函数的定义:

如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做奇函数.（板书）

　　（由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识）

　　例1. 判断下列函数的奇偶性（板书）

（1）;             

（2）;

 　　（3）;　　　;

　　（5）; （6）.

　　（要求学生口答,选出1-2个题说过程）

　　解:

（1）是奇函数.

（2）是偶函数. 

　　（3）,是偶函数.

　　前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证与之间的关系,但对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第

（1）为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?

　　学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明与不等.如即可说明它不是偶函数.（从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要）

　　从（4）题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第（4）题中表面成立的=不能经受任意性的考验,当时,由于,故不存在,更谈不上与相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性.

　　教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?

（若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有,就必有,有就必有,从而发现定义域应关于原点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?

　　可以用（6）辅助说明充分性不成立,用（5）说明必要性成立,得出结论.

　　（3）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.（板书）

　　由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:

在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?

若有,举例说明.

　　经学生思考,可找到函数.然后继续提问:

是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?

能证明吗?

　　例2. 已知函数既是奇函数也是偶函数,求证:

.（板书）  （试由学生来完成）

　　证明:

既是奇函数也是偶函数,

　　=,且,

　　=.

　　,即.

　　证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?

学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现,只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如,,,,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类

　　（4）函数按其是否具有奇偶性可分为四类:

（板书）

　　例3. 判断下列函数的奇偶性（板书）

（1）;      

（2）;  （3）.

　　由学生回答,不完整之处教师补充.

　　解:

（1）当时,为奇函数,当时,既不是奇函数也不是偶函数.

（2）当时,既是奇函数也是偶函数,当时,是偶函数.

　　（3）当时,于是,

　　当时,,于是=,

　　综上是奇函数.

　　教师小结

（1）

（2）注意分类讨论的使用,（3）是分段函数,当检验,并不能说明具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须均有成立,二者缺一不可.

三.小结

　　1.奇偶性的概念

　　2.判断中注意的问题

四.作业略

五.板书设计

2.函数的奇偶性　　　　　　　例1.                例3.

（1）偶函数定义

（2）奇函数定义

（3）定义域关于原点对称是函数例2.                 小结

 具备奇偶性的必要条件

（4）函数按奇偶性分类分四类

  探究活动

（1）     定义域为的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,你能试证明之吗?

（2）判断函数在上的单调性,并加以证明.

在此基础上试利用这个函数的单调性解决下面的问题:

设为三角形的三条边,求证:

.

教学目标

　　1.在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题．

　　2.通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想．

　　3.通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，调动学生学习的积极性．

教学重点，难点

　　重点是理解对数函数的定义，掌握图像和性质．

　　难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质．

教学方法

　　启发研讨式

教学用具

　　投影仪

教学过程

一.引入新课

　　今天我们一起再来研究一种常见函数．前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数．

　　反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数．这个熟悉的函数就是指数函数．

　　提问：

什么是指数函数?

指数函数存在反函数吗?

　　由学生说出是指数函数，它是存在反函数的．并由一个学生口答求反函数的过程：

由得．又的值域为，

　　所求反函数为．

　　那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数．

2．8对数函数（板书）

一.对数函数的概念

　　1.定义：

函数的反函数叫做对数函数．

　　由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发．如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?

最初步的认识是什么?

　　教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故有着相同的限制条件．

　　在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质．

二．对数函数的图像与性质（板书）

　　1.作图方法

　　提问学生打算用什么方法来画函数图像?

学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图．同时教师也应指出用列表描点法也是可以的，让学生从中选出一种，最终确定用图像变换法画图．

　　由于指数函数的图像按和分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况和，并分别以和为例画图．

　　具体操作时，要求学生做到：

（1）指数函数和的图像要尽量准确（关键点的位置，图像的变化趋势等）．

（2）画出直线．

　　（3）的图像在翻折时先将特殊点对称点找到，变化趋势由靠近轴对称为逐渐靠近轴，而的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在左侧的先翻，然后再翻在右侧的部分．

　　学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出

和的图像．（此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内）如图：

2.草图．

　　教师画完图后再利用投影仪将和的图像画在同一坐标系内，如图：

　　然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质（要求从几何与代数两个角度说明）

3.性质

（1）定义域：

（2）值域：

　　由以上两条可说明图像位于轴的右侧．

　　（3）截距：

令得，即在轴上的截距为1，与轴无交点即以轴为渐近线．

　　（4）奇偶性：

既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于轴对称．

　　（5）单调性：

与有关．当时，在上是增函数．即图像是上升的

                当时，在上是减函数，即图像是下降的．

　　之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?

学生看着图可以答出应有两种情况：

　　当时，有；当时，有．

　　学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：

当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第（6）条性质板书记下来．

　　最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图．且应将其性质与指数函数的性质对比记忆．（特别强调它们单调性的一致性）

　　对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用．

三．简单应用 （板书）

1.研究相关函数的性质

例1. 求下列函数的定义域：

（1）     

（2）  （3）

先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制．

2.利用单调性比较大小（板书）

例2. 比较下列各组数的大小

（1）与；     

（2）与；  

　　（3）与；          （4）与．

　　让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小．最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程．

三．巩固练习

练习：

若，求的取值范围．

四．小结

五．作业略

板书设计

2．8对数函数

一.概念                                             

　　1． 定义 　　2．认识

二．图像与性质                                 

　　1．作图方法

　　2．草图 

　　图1   图2  

　　3．性质                       

（1）   定义域

（2）值域（3）截距（4）奇偶性（5）单调性

三．应用

　　1．相关函数的研究

　　例1   例2

　　练习

（第一课时）一．教学目标

　　1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；

　　2．掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；

　　3．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力.

二．教学重点 理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算．

　　教学难点 对平面向量坐标表示的理解．

三．教学具准备

　　直尺、投影仪

四．教学过程

　　1．设置情境

　　师：

平面内有点，点，能否用坐标来表示向量呢？

这就是我们今天要学习的平面向量的坐标运算．

　　（板书课题）平面向量的坐标运算

　　2．探索研究

（1）师：

平面向量的基本定理的内容是什么？

什么叫平面向量的基底？

　　生：

如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使

　　我们把不共线的向全、叫做这一平面内所有向量的一组基底，这就是平面向全的基本定理．

　　师：

如果在直角坐标系下，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得

　　我们就把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作；

　　这就叫做向量的坐标表示

　　显然i＝（1，0） j＝（0，1） 0＝（0，0）

　　 如图

（1）所示，以原点O为起点与向量a相等的向量，则A点的坐标就是向量a的坐标，反之设，则点A的坐标（x，y）也就是向量的坐标．

问题：

1°已知（x1,y1）  （x2,y2）  求+，-的坐标

　　　2°已知（x,y）和实数λ,  求λ的坐标

　　解：

+=（x1+y1）+（x2+y2）=（x1+x2）+（y1+y2）

　　即：

+=（x1+x2, y1+y2）

　　同理：

-=（x1-x2, y1-y2）　　结论：

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

同理可得：

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

　　用减法法则：

　　∵=-=（x2,y2）-（x1, y1）

　　　　　=（x2-x1,y2-y1）

　　实数与向量积的坐标运算：

已知=（x,y）  实数λ

　　则λ=λ（x+y）=λx+λy

　　∴λ=（λx,λy）

　　结论：

实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。

　　师：

如果两个向量相等，那么这两个向量的坐标需满足什么条件呢？

是充要条件吗？

　　生：

a=b．

（2）例题分析

　　【例1】 如图所示，用基底i、j分别表示向量a、b、c、d并求出它们的坐标。

　　解：

　　师：

平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？

如何计算？

（1）已知，求、。

（2）已知和实数，求的坐标（由学生完成）。

　　解：

（1）

　　∴

（2）

　　∴

　　师：

通过以上计算，你能得出向量运算的加法法则、减法法则和实数与向量的乘积的运算法则吗？

　　生：

两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应的坐标的和与差，实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应坐标。

　　【例2】 已知，求，，的坐标。

　　解：

　　【例3】 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。

　　解：

设顶点D的坐标为

　　由 得

　　由

　　∴顶点D的坐标为（2，2）

　　3．演练反馈。

（投影仪）

（1）已知三个力的合力，求的坐标。

（2）已知向量，则等于（  ）

　　A．　　B．

　　C．　D．

　　（3）已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及，求

　　①t为何值时，点P在x轴上？

P在y轴上？

P在第二象限？

　　②四边形OABP能成为平行四边形吗？

若能，求出相应的t值，若不能，请说明理由。

参考答案：

（1）

　　∴

（2）B．

　　（3）①，若P在x轴上，只需；若P在y轴上，只需∴；若P在第二象限，则需解得。

　　②

　　若OABP为平行四边形，需

　　于是无解。

故四边形OABP不能成为平行四边形。

　　4．总结提炼

（1）引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中。

（2）要把点坐标与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。

五．板书设计

1．平面向量的坐标定义。

（1）

（2）i、j的含义

（3）是a的坐标

2．平面向量坐标运算

例1

例2

演练反馈

总结提炼

目的：

以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

过程：

一、复习：

1．不等式的一个等价命题

2．比较法之一（作差法）步骤：

作差——变形——判断——结论

二、作差法：

（P13—14）

1．求证：

x2+3>3x

   证：

∵（x2+3）-3x=

       ∴x2+3>3x

2．已知a,b,m都是正数，并且ab，求证：

  证：

∵a,b,m都是正数，并且ab，∴b+m>0, b-a>0

∴   即：

        变式：

若a>b，结果会怎样？

若没有“ab”这个条件，应如何判断？

3．已知a,b都是正数，并且a¹b，求证：

a5+b5>a2b3+a3b2

  证：

（a5+b5）-（a2b3+a3b2）=（a5-a3b2）+（b5-a2b3）

=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）=（a2-b2）（a3-b3）

=（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）

∵a,b都是正数，∴a+b,a2+ab+b2>0

又∵a¹b，∴（a-b）2>0  ∴（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）>0

即：

a5+b5>a2b3+a3b2

4．甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m¹n，问：

甲乙两人谁先到达指定地点？

解：

设从出发地到指定地点的路程为S，

甲乙两人走完全程所需时间分别是t1,t2，

则：

 可得：

∴

∵S,m,n都是正数，且m¹n，∴t1-t2t1t2

从而：

甲先到到达指定地点。

变式：

若m=n，结果会怎样？

 三、作商法

5．设a,bÎR+，求证：

  证：

作商：

当a=b时，

      当a>b>0时，

      当b>a>0时，

∴（其余部分布置作业）

作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。

四、小结：

作差、作商

五、作业：

P15  练习

          P18  习题6.3 1—4