九年级数学第10讲几何问题探究线段的和差及旋转相关问题教案.docx

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九年级数学第10讲几何问题探究线段的和差及旋转相关问题教案

几何问题探究——线段的和、差及旋转相关问题

知识点

截长补短辅助线的运用、旋转的性质，相似三角形的性质与判定；相似三角形的综合；

教学目标

熟练掌握线段和差问题的证明方法；

教学重点

能够灵活的运用旋转的性质去证明图形中线段的关系；

教学难点

灵活运用相似、旋转、全等证明方法探究图形的线段问题；

知识讲解

考点1旋转变换

旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。

旋转由旋转中心、旋转的方向和

角度决定。

经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后

的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n（n为大于1的正整数）后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫

做旋转角。

特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。

在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。

考点2两条线段之间的数量关系

在数量关系的猜想中，证明两条线段相等的情况较多，有时也出现证明两条线段的倍数关系，如AB=2CD或AB=

CD等。

在证明两条线短相等的过程中，可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等，也可以证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质证明两条线段相等。

证明两条线段的倍分关系时，利用构造基本图形模型证明，具体情况如下：

1.利用三角形的中位线或直角三角形证明a=

b；

2.利用等腰三角形证明a=

b；

3.利用含30°角的直角三角形证明a=

b等；

考点3两条线段之间的位置关系

在位置关系猜想中，关键是如何证明，方法如下：

1.在证明垂直关系时，由垂直定义，即两条线段相交，所夹的角是90°，一般利用直角三角形的两个锐角互余的角度进行证明；

2.在证明两条线段平行时，大多是根据平行线的判定方法进行证明即可；

总之证明位置关系，需要根据图形的性质，利用三角形全等进行证明，有时利用相似。

在解答时，根据具体的题目条件，分解出基本图形，灵活掌握并选择方法证明。

考点4三条线段之间的数量关系

当要探究三条线段a、b、c之间的数量关系时，解题步骤为：

1.将其中的两条线段的和（差）转化为另一条线段d的长，即通过证明三角形全等得出两条线段相等，三条线段之间的数量关系转化为两条线段之间的数量关系；

2.在特殊三角形中找到d与另一条线段之间的关系，当这两条线段在同一个特殊三角形中，通过特殊三角形的性质，得出这两条线段之间的数量关系；当变化后两条线段在同一四边形中，可以证明四边形为特殊四边形，通过特殊四边形的性质，得出这两条线段之间的数量关系；

3.结合1.2结论，直接写出三条线段之间的数量关系。

例题精析

考点一线段和差问题

例1在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

（1）如图①，当∠DAB=120°，∠B=∠D=90°时，求证：

AB+AD=AC．

（2）如图②，当∠DAB=120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？

写出你的猜想，并给予证明．

（3）如图③，当∠DAB=90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？

写出你的猜想，并给予证明．

例2如图1，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，E恰为BC的中点，tanB=2．

（1）求证：

AD=AE；

（2）如图2，点P在线段BE上，作EF⊥DP于点F

，连接AF，求证：

DF-EF=

AF；

（3）请你在图3中画图探究：

当P为线段EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF垂直直线DP，垂足为点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？

直接写出你的结论．

考点二旋转相关问题

例3如图

（1），在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC.

（1）若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及

的值.

（2）将图

（1）中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰恰相好与菱形ABCD的

边AB在同一条直线上，原题中的其它条件不变，如图

（2），问题

（1）中的结论还成立吗？

（3）若图

（1）中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜

90°），将图

（1）中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中其它条件不变，请写出

的值.

例4如图，△ABC和△DEF是

两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：

△BPE≌△CQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：

△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=

时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．

课程小结

本节课主要研究了线段的和差问题及旋转的相关问题，在遇到多条线段的和差问题时，我们可以首选截长补短的方法来研究，同样也可以根据题干中所给出的特殊条件借助辅助线来研究

，而如若遇到旋转相关的问题，只需把握住旋转的性质便可。

几何问题的探究，是一个长期积累的过程，注重几何知识的综合运用，积累基本型是重中之重。

例1【规范解答】

（1）在四边形ABCD中，∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∴∠CAB=∠CAD=60°．

又∵∠B=∠D=90°，∴∠ACB=∠ACD=30°．∴AB=AD=

AC，即AB+AD=AC．

（2）AB+AD=AC．证明如下：

如图②，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F．

∵AC平分∠DAB，∴CE=CF．∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=∠D．

又∵∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB．∴ED=BF．∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF．

∵AC为角平分线，∠DAB=120°，∴∠ECA=∠FCA=30°，∴AE=AF=

AC，∴AE+AF=AC，

∴AB+AD=AE+AF=AC．∴AB+AD=AC．

（3）AB+AD=

AC．

证明如下：

如图③，过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F．

∵AC平分∠DAB，∵CE⊥AD，CF⊥AF，∴CE=CF．

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠EDC=180°，∴∠ABC=∠EDC．

又∵∠CED=∠CFB=90°．∴△CFB≌△CED．∴CB=CD．

延长AB至G，使BG=A

D，连接CG．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠AB

C+∠CBG=180°，

∴∠CBG=∠ADC．∴△GBC≌△ADC．∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°．∴∠ACG=90°．∴AG=AC．

∴AB+AD=

AC．

【总结与反思】

（1）由AC平分∠DAB，∠DAB=120°，可得∠CAB=∠CAD=60°，又由∠B=∠D=90°，即可得∠

ACB=∠ACD=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得AB+AD=AC；

（2）首先过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F，由

AC平分∠DAB，可得CE=CF，又由∠B与∠D互补，可证得△CED≌△CFB，则可得AD+AB=AE+AF，又由AE+AF=AC，则可得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=AC；

（3）首先过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F，与

（2）同理可得△CEB≌△CFD，则可得∠G=∠DA

C=∠CAB=45°，即可求得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=

AC

例2

【规范解答】

（1）证明：

∵tanB=2，∴AE=2BE；∵E是BC中点，∴BC=2BE，即AE=BC；

又∵四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC=AE；

（2）证明：

作AG⊥AF，交DP于G；（如图2）

∵AD∥BC，∴∠ADG=∠DPC；∵∠AEP=∠EFP=90°，∴∠PEF+∠EPF=∠PEF+∠AEF=90°，

即∠ADG=∠AEF=∠FPE；又∵AE=AD，∠FAE=∠GAD=90°-∠EAG，∴△AFE≌△AGD，

∴AF=AG，即△AFG是等腰直角三角形，且EF=DG；∴FG=

AF，且DF=DG+GF=EF+FG，

故DF-EF=

AF；

（3）解：

如图3，

①当EP≤2BC时，DF+EF=

AF，解法同

（2）．

②当EP＞2BC时，EF-DF=

AF。

-

【总结与反思】

（1）首先根据∠B的正切值知：

AE=2BE，而E是BC的中点，结合平行四边形的对边相等即可得证．

（2）此题要通过构造全等三角形来求解；作GA⊥AF，交BD于G，通过证△AFE≌△AGD，来得到△AFG是等腰直角三角形且EF=GD，由此得证．

（3）辅助线作法和解法同

（2），只不过结论有所不同而已．

例3【规范解答】

（1）延长线段GP交线段DC于点H，

∵CD∥GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF，∴△DPH≌△FGP，∴PH=PG，DH=GF，

∵CD=BC，GF=GB=DH，∴CH=CG，∴CP⊥HG，∠ABC=60°，∴∠DCG=120°，

∴∠PCG=60°，∴PG：

PC=tan60°=

∴线段PG与PC

的位置关系是PG⊥PC，PG:

PC=

；

（2）猜想：

（1）中的结论没有发生变化

证明：

如图2，延长GP交AD于点H，连接CH，∵P是线段DF的中点，∴FP=DP，

∵AD∥GF，∴∠HDP=∠GFP，∵∠GPF=∠HPD，∴△GFP≌△HDP（ASA），∴GP=HP，GF=HD，

∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，

∵∠ABC=∠BEF=60°，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，

∴∠GBF=60°，∴∠HDC=∠GBF，∵四边形BEFG是菱形，∴GF=GB，∴HD=GB，∴△HDC≌△PGF，∴∠HCD=120°，

∵CH=GB，PH=PG，∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，∴PG:

PC=

；

（3）∵∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），∴∠PCG=90°-α，

由

（1）可知：

PG：

PC=tan（90°-α），∴PG:

P

C=tan（90°-α）．

【总结与反思】倍长中线构造全等，注意旋转后的图形边的不变性及角度的变化。

例4【规范解答】

（1）证明：

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC。

∵AP=AQ，∴BP=CQ。

∵E是BC的中点，∴BE=CE。

在△BPE和△CQE中，∵BE=CE，∠B=∠C，BP=CQ，

∴△BPE≌△CQE（SAS）。

（2）连接PQ。

∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=∠DEF=45°。

∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，

∴∠BEP+45°=∠EQC+45°。

∴∠BEP=∠EQC。

∴△BPE∽△CEQ。

∴

。

∵BP=a，CQ=

，BE=CE，∴

，即BE=CE=

。

∴BC=

。

∴AB=AC=BC•sin45°=3a。

∴AQ=CQ﹣AC=

，PA=AB﹣BP=2a。

∴在Rt△APQ中，

。

【总结与反思】

（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得△BPE≌△CQE;

（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即得∠BEP=∠EQC,则可证得△BPE∽△CEQ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，继而求得AQ与AP的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离。