数学人教新课标A版圆锥曲线练习题库4总结教育文档.docx

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数学人教新课标A版圆锥曲线练习题库4总结教育文档

第二章圆锥曲线专项训练（5）

双曲线

【例题精选】：

例1：

双曲线的两顶点间的距离为离心率为。

答案：

2、

分析：

双曲线中，

∴顶点坐标为Α（－1，0）B（1，0）

∴两顶点间距离为

又

∴离心率：

小结：

等轴双曲线的离心率是

例2：

双曲线的两准线间的距离是焦距的，则此双曲线的离心率为。

答案：

分析：

双曲线两准线间的距离为

由题意知：

小结：

双曲线方程含两个参量Α,b，因此确定其方程需要两个独立的条件，但是求离心率则不必先求双曲线方程，只需用Α，b，c，间的关系就可导出。

例3：

已知双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点（3，4），则双曲线的离心率为，双曲线的方程为

答案：

分析：

∵双曲线的渐近线方程为

∴设双曲线方程为

又∵双曲线过点（3，4）

∴，解得，

∴双曲线方程为

其中

∴离心率：

小结：

当已知渐近线方程，求双曲线方程时，由于不知道焦点在x轴上还是在y轴上，可设方程为，若求出的k为负值，则说明焦点在y轴上。

与双曲线其渐近线的双曲线为时焦点在y轴上。

例4：

已知双曲线的焦距是6，并且经过P（4，1）点则此双曲线的标准方程是

答案：

分析：

由题意知

设双曲线的方程为

则

∴双曲线的标准方程为

又设双曲线的标准方程为

则

小结：

题目当中没有指明焦点在x轴上还是焦点在y轴上，所以两种情况都要考虑。

例5：

已知双曲线的两个焦点坐标为F1（0,－10）,F2（0,10）且一条渐近线方程是，则双曲线的标准方程为

答案：

分析：

∵双曲线的两个焦点为：

∴实轴在y轴上，且c=10

又∵一条渐近线为

∴双曲线的标准方程为

小结：

本题容易犯的错误是把写为要引起注意。

例6：

已知双曲线经过，且与另一双曲线，有共同的渐近线，则此双曲线的标准方程是

答案：

分析：

设双曲线的方程为

则

解得

∴双曲线的标准方程为

即

小结：

常有同学把这类题目中的“渐近线”错认为“准线”。

例7：

已知双曲线的一条渐近线方程是，焦点是椭圆与坐标轴的交点，则双曲线的标准方程是

答案：

分析：

椭圆与坐标轴的交点为Α（－10 , 0）B（10 , 0）C（0 , －5）D（0, 5）

若双曲线以Α、B为焦点，设双曲线方程为，

有

∴双曲线方程为

若双曲线以C、D为焦点，设双曲线方程是有：

∴双曲线方程为

例8：

已知双曲线的两条渐近线所夹的锐角是，则此双曲线的离心率为

答案：

或2

分析：

∵两条渐近线所夹的锐角为

∴渐近线有两种情况。

（1）设渐近线方程为

（2）设渐近线方程为

例9：

直线被双曲线，所截得弦的中点坐标是，弦长是

。

答案：

，

分析：

把①代入②得

③

设直线与双曲线的两个交点为，的中点坐标为。

由方程③知

把代入①中得

又

例10：

已知关于x，y的二次方程表示的是双曲线，则m的取值范围是

答案：

分析：

由题意知：

例11：

已知双曲线方程为，经过它的右焦点F2，作一条直线，使直线与双曲线恰好有一个交点，则设直线的斜率是.

答案：

分析：

双曲线方程①

平行于渐近线的直线，与双曲线有唯一交点，

例12：

已知双曲线方程为，过一点P（0，1），作一直线l，使l与双曲线无交点，则直线l的斜率k的集合是

答案：

分析：

设l的斜率为k，则直线的方程为

①

将①代入到双曲线方程中得

，整理为

②

若，则可知直线l与双曲线相交。

故舍去

则方程②是一个一元二次方程且无实数根

例13：

双曲线右支上一点P到左右两个焦点的距离之比是5∶3，则P点右准线的距离为

Α．B．C．D．

答案：

D

分析：

设双曲线的左，右两个焦点分别为F1、F2，则F1（－5,0）,F2（5 , 0），

离心率

由题意得知∶

设又P点在右支上

即

根据双曲线的第二定义，设P点到右准线的距离为d，则

选D

例14：

已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆相交于点Α（4 , －1），若圆在点Α的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程。

解：

圆的方程为，Α（4, －1）点在圆上

∴过Α点的圆的切线方程为

又∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，

∴渐近线方程为

设双曲线的方程为

将Α（4,－1）的坐标代入得

所求的双曲线方程为

小结：

过圆上一点Α（x0 , y0），的圆的切线方程为.求已知渐近线的双曲线方程：

已知渐近线方程为时，可设双曲线方程为，再利用已知条件确定的值。

实质是待定系数法。

例15：

已知双曲线上有一点P，焦点为F1、F2，且，求证：

证明：

如图

由双曲线定义知

在中，根据余弦定理有：

例16：

斜率为2的直线l被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程。

解：

设直线l的方程为

将代入得

整理得

设直线l与双曲线的两个交点坐标为，

由得

解得

所求的直线方程是

小结：

在直线上两点，间的距离可用公式表示。

例17：

已知P为双曲线上的动点，Q是圆上的动点，求的最小值。

分析：

从圆外一点P向圆上各点连线，则连结P点与圆心C，与圆的交点为Q，线段PQ的长最短，所以只须求的最小值即可。

解：

设P（x，y）为双曲线。

上的任一点，

C（0,2）是圆的圆心。

，此时也得到最小值。

【专项训练】：

（45分钟）

1、双曲线上一点P，到一个焦点的距离为12，则P到另一个焦点的距离为

2、以为渐近线，且经过点（1 , 2）的双曲线是。

3、双曲线的离心率e=2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是。

4、双曲线的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角为

5、若双曲线=1的一条渐近线的倾斜角为锐角，则双曲线的离心率为

Α．B．C．D．

6、已知双曲线的渐近线方程为，一条准线的方程为，求这双曲线方程

7、与双曲线共轭的双曲线方程是，它们的焦点所在的圆方程是。

8、双曲线的离心率，则k的取值范围是

Α．B．C．D．

9、椭圆与双曲线的焦点相同，则Α=

10、如图，OΑ是双曲线的实半轴，OB是虚半轴，F为焦点，且，，则设双曲线方程是

11、双曲线的方程是

（1）直线l的倾斜角为，被双曲线截出的弦长为，求直线l的方程。

（2）过点P（3,1）作直线l，使它截出的弦长恰好被点P平分，求l的方程。

【答案】：

1、22或2，

提示：

双曲线方程中，由曲线定义知

2、。

提示：

以为渐近线的双曲线方程可设为。

3、3∶1。

提示：

由

4、

提示：

渐近线的斜率为，较小的斜率为，故得倾斜角为。

5、C

6、。

提示：

因为准线平行于x轴，又中心在原点，所以可设双曲线方程为，由已知得，解得

双曲线方程为

7、

提示：

根据概念得共轭双曲线方程，半焦距得焦点所在的圆的方程为

8、C

提示：

双曲线方程为而

9、

提示：

由双曲线方程知Α>0，焦点在x轴上，故有可得

10、

提示：

根据双曲线的几何性质知

于是

由已知可得

，从而，故双曲线方程为。

11、

（1）l的方程为

（2）l的方程为

提示：

（1）设l的方程①

把①代入双曲线方程，整理得

在即②的情况下，设两实根为x1、x2，

则

∴。

它满足条件②

∴所求l的方程为

解

（2）设l与双曲线的交点为要使P（3, 1）为的中点，应使

①－②得把③，④代入，得由得

方程为即⑤

把⑤代入双曲线方程，得,∴直线l与双曲线有两个交点，从而l方程就是

注意：

必须验证l与双曲线确实有两个交点，否则解法就不完整。