一元二次方程重难点.docx
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一元二次方程重难点
a
一元二次方程重难点
知识导航
1.一元二次方程的定义
2.有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题）
3.一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）
4.含绝对值的一元二次方程
5.根的判别式及韦达定理
1根与系数的关系一一对方程根的个数的判别
2利用判别式解参数取值围一一含参变量的一元二次方程
3通过判别式，证明方程根的个数问题
4利用韦达定理求代数式的值（X1x2,x1x2,x1x2,-—,X12X22等）
X1x2
5利用韦达定理求参数的值
5.一元二次方程整数根问题
6.一元二次方程的应用
元二次方程的定义
定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
关于一元二次方程的定义考查点有三个：
①二次项系数不为0;②最高次数为2；③整式方程
2
一般形式：
axbxc0（a0）,a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.
2.有关一元二次方程根的考查（根与系数的关系及两方程公共根问题）
关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。
（将根代
入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件）1.与根有关的代数式化简求值
【例】已知x是一元二次方程x2+3x-1=0的实数根，求代数式：
一x3（x2^匕）的
3x26xx2
a241
【巩固】先化简，再求值：
（）
a24a42a
—,其中a是方程x2+3x+1=0的根.
2
2.公共解问题
【思考】已知两个二次方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0
2acbd
xx0也有一个根为1.
22
有一个公共根为1,求证：
二次方程
【例1】一元二次方程x2-2x-
根，求k的值.
-=0的某个根，也是一元二次方程x2-（k+2）x+-=0的
44
2
【巩固】当k为何值时，方程x求出此公共根.
（k+2）x+12=0和方程2x2-（3k+1）x+30=0有一公共根？
【变式1】若两个不同的关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0有一个共同的实数根，求a
的值及这两个方程的公共实数根.
请说明理由.
【变式2】已知a>2,b>2,试判断关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有没有公共根.
22一2
【拓展1】已知：
关于x的方程ax+bx+c=0,bx+cx+a=0,cx+ax+b=0有一个相同的头数
根，且a?
b?
c丰0,求a+b+c的值
【拓展2】设a,b,c为△ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一个公因式，证明：
△ABC一定是直角三角形.
3.一元二次方程的解法及求根公式（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）
【例1】解方程：
（1）T2x24屈6^20.
（2）（3x+1）（2x-5）=-2（2x-5）
（3）
（4）
4x
（7）x+2Tx-8=0
（2）x+-6=0
【巩固】
（1）已知关于x的方程x2-（2a+1）x+a2+a=0的两个实数根中，只有一根大于5,求a的取值围.
44_222222,
（2）已知x,y洒足方程x+y+2xy-x-y-12=0,求x+y的值.
在解方程里面，一般采取的方法是配方法，应用公式法，因式分解法，其中因式分解法中考查最多
的是十字相乘法，因此在学习的时候要求对这几种方法熟练掌握，一般来说，对于初学者而言，在解方
程里面最常使用的是公式法，但在熟练掌握根与系数的关系之后，配方法相较会简单一些。
【例1】若m、n为有理数，如是无理数，m+如是有理系数方程ax2+bx+c=0（a丰0）的一个根，证明：
m-J；也是这个方程的一个根.
【例2】设x1、x2是方程x2-6x+a=0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画
出一个，试求a的取值围.
【巩固】
（1）解方程：
x2-x-5=0.
2x31
（2）若不等式组1整数解是关于x的方程2x-4=ax的根，求a的值.x-（x3）
2
4.含绝对值的一元二次方程
【例1】阅读例题，模拟例题解方程.
例：
解方程x+|x-1|-1=0.
解：
（1）当x-1>0即x>1时，原方程可化为：
x2+（x-1）-1=0即x2+x-2=0，解得xi=1,x2=-2（x2不合题意，舍去）；
（1）当x-1V0即xv1时，原方程可化为：
x2-（x-1）-1=0即x2-x=0,解得x3=0,
x4=1（x4不合题意，舍去）.
综合
（1）、
（2）可知原方程的根是x1=1,x2=0.
请模拟以上例题解方程：
x2+|x+3|-9=0.
（2）x24x562x
【巩固】解方程：
（1）x21—（x—）|x2-1|
1010
【例2】解方程：
（1）x2-|x-2|-6=0.
（2）x2-4|x|-5=0
【巩固】设方程x2|2x1|40,求满足该方程的所有根之和.
一z难点突破
5.根的判别式及韦达定理
1根与系数的关系一一对方程根的个数的判别
判别式与根的关系
2
在实数围，一元二次方程axbxc0（a0）的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是否
・2,
有实数根）由b4ac确定.
设一元二次方程为ax2bxc0（a0）,其根的判别式为：
b24ac则
b.b24ac
D
0
0
0
2
方程ax
2
方程ax
2
方程ax
bx
bx
bx
c
c
c
0（a
0（a
0（a
C\・■'
0）有两个不相等的实数根
0）有两个相等的实数根
0）没有实数根.
‘12-
2a
b
x2一
2a.
【例
（2）
1】
求
（1）解方程：
x2+4x-5=0;
证：
无论k取任意值，关于x的一元二次方程
x2-kx+（k-2）
i=0一定有两个不相等
是实数根.
【巩固1】已知关于x的方程x2+ax+a-2=0
（1）若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：
不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
【巩固2】已知关于x的方程（n1）x2mx10①有两个相等的实数根.
求证：
关于y的一元二次方程m2y24mym24n0②必有两个相等的实数根.
【变式】已知关于x的一元二次方程x2+2（k-1）x+k2-1=0有两个不相等的实数根.
（1）数k的取值围；
（2）0可能是方程的一个根吗？
若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由.
【巩固】已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个相等的实数根，试判断直线y=（2k-3）x-4k+12能否通过点A（-2,4）,并说明理由.
②利用判别式解参数取值围一一含参变量的一元二次方程
【例1】关于x的一元二次方程（12k）x2^/Tlx10有两个不相等的实数根，求k的取值围・
【变式】已知关于x的方程x22（m1）xm250有两个不相等的实数根，化简:
|1m|.m24m4
【例2】关于x的方程a6x28x60有实数根，则整数a的最大值是
八一八一2C一一」C
【巩固】若关于x的一元二次方程（k1）x2x1°有实数根，贝uk的最小整数值为
【例3】已知：
方程mx22m2xm50没有实数根，且m5，求证：
m5x22m2xm0
有两个实数根.
【巩固】已知：
m、n为整数，关于x的二次方程x2（7m）x3n0有两个不相等的实数解,x2（4m）xn60有两个相等的实数根，x2（m4）xn10没有实数根，求m、n的值.
③通过判别式，证明方程根的个数问题
【例1】对任意实数m，求证：
关于x的方程（m21）x22mxm240无实数根.
【变式】已知方程x22xm10没有实数根，求证：
方程x2mx12m1一定有两个不相等的实
数根.
【巩固】已知：
方程mx22m2xm50没有实数根，且m5，求证：
m5x22m2xm0
有两个实数根.
【拔高1】已知关于X的二次方程x2PiXqi0与x2P2Xq20,求证：
当P1P22（q〔两个方程中至少有一个方程有实数.
q2）时，这
【拔高2】已知实数a、b、c、r、p满足pr2,pc2bra必有实根.
0，求证：
一元二次方程ax2
2bxc0
④利用韦达定理求代数式的值（XiX2,XiX2,XiX2,-—,Xi2X22等）
XiX2
【例i】已知关于x的一元二次方程X2-2扼X+m=0有两个不相等的实数根.
（1）数m的最大整数值；
（2）在（i）的条下，方程的实数根是xi,X2,求代数式xi?
+x2?
-xix2的值.
【巩固】已知xi,X2是一元二次方程（m-3）x2+2mx+m=0的两个实数根.
（1）是否存在实数m,使-xi+xiX2=4+x2成立？
若存在，求出m的值，若不存在明理由；
（2）若|xi-x2|=J3,求m的值和此时方程的两根.
⑤利用韦达定理求参数的值
【例i】一元二次方程mx2-2mx+m-2=0
（1）若方程有两实数根，求m的围.
（2）设方程两实根为xi,X2,且|xi-x21=1，求m.
【巩固1】已知关于x的一元二次方程X2+2（m+1）x+m2-1=0.
（1）若方程有实数根，数m的取值围；
（2）若方程两实数根分别为x1,x2,且满足（x1-x2）2=16-x1x2,数m的值.
【巩固2】已知：
关于x的一元二次方程成2-（4k+1）x+3k+3=0（k是整数）.
（1）求证：
方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1vx2）,设y=x2-x1-2,写出y关于变量k的函数表达式.
【练习】已知关于x的方程mx2+（3-2m）x+（m-3）=0,其中m>0.
（1）求证：
方程总有两个不相等的实数根；
x21.
（2）设万程的两个实数根分别为x1,x2,其中x1>x2,右y=,求y与m的函数关
3x1
系式；
（3）在
（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y<-m成立的m的取值围.
【变式1】关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2.
（1）求k的取值围；
（2）如果xi+x2-x1x2<-1且k为整数,求k的值.
【巩固】已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根xi,x2.
（1）数k的取值围；
（2）是否存在实数k使得xi?
x2-xi2-x22>0成立？
若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
【变式2】已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0.
（1）求证：
方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为5,当^ABC是等腰三角形时，求k的值.
【巩固】已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两实数根.
（1）若（x1-1）（x2-1）=28,求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7,若x\x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.
【变式3】设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1,x2.
411,1
（1）右一—1，求的值；
x1x232m
（2）求竺些m2的最大值.
1为1x2
五.一元二次方程整数根问题
1.有理数根问题
方程ax2bxc0（a0,a、b、c均为有理数）的根为有理数的条件是：
厂为有理数
2.整数根问题
一元二次方程有正（负、非正、非负）整数根，用十字相乘或公式法求出两个根，并将两根化简，分子部分不能有字母，再讨论整数根，并考虑根为正（负、非正、非负）数。
,a-3.9-4a
一元二次方程有整数根，但用十字相乘或公式法求出的两个根含有根号时，如x=,
a
9-k2
要利用换元法，设加ak,得出a=——，将x中的a全部替换，得出两个不含根号的解，再讨论
4
..........、---2…2222一
整数根I可题，方法同上；右^=4a-9且a为整数，则设4a-9=k4a-k=9，可碍（2a-k）（2a+k）=9,
则讨论整数X整数=9,讨论出所有满足情况的整数即可，注意kA0
x1,x2推出的相关字母的值，应该取全部情况；若方程有
根都是整数.
6.一元二次方程的应用
一元二次方程的应用类问题大致可以分为五种情况：
1.增长率问题；2.商品利润问题；3.图形面积
问题；4.传播问题；5.动点问题
1.增长率问题
【例】某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为12万元，求该校这两年在实
验器材投资上的平均增长率是多少？
【变式】某个体户以50000元资金经商，在第一年中获得一定的利润，已知这50000元资金加上第一年
的利润在第二年共获利润2612.5元，而且第二年的利润率比第一年多0.5%,则第一年的利润是多少
元？
【巩固】某商场2002年的营业额比2001年上升10%,2003年比2002年又上升10%,而2004年和2005
年连续两年比上一年降低10%，那么2005年的营业额比2001年的营业额（）
A.降低了2%B.没有变化C.上升了2%D.降低了1.99%
2.商品利润问题
【例】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，增加利润,尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多
售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降低多少元？
【巩固】商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.
（1）问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品售价应为多少元？
【巩固】宏达汽车出租公司共有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，出租业务夭夭供不应求，
为适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增
加10元，每天出租的汽车相应地减少6辆。
若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高几个10元
⑴能使公司的日租金总收入达到19380元？
⑵使公司的日租金总收入最高？
最高是多少？
3.
5cm,容积是
图形面积问题
【例】如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四个角各截去一个正方形，制成高是
500cm3的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽.
4.传播问题
【例1】
（1）有一人得了流感，他把流感传染给了10个人，共有人得流感；第一轮传染后，所
有得流感的人每人又把流感传染给了10个人，经过两轮传染后，共有人得流感.
（2）有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感
的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有人得流感.
【巩固】一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑感染几
台电脑？
若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染电脑会不会超过700台？
5.动点问题
【例1】如图，ABC中，B90,AB6cm,BC8cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（点Q到达点C运动停止）.如果点P,Q分别从点A,B同时出发t秒（t0）
（1）t为何值时，PQ6cm?
（2）t为何值时，可使得PBQ的面积等于8cm2?
【巩固】如图所示，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正向
200海里处有一重要目标小岛C。
小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，一艘军舰从A出发，经
B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。
已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海
里（结果保留根号）
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