四边形基础测试及答案.docx
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四边形基础测试及答案
《四边形》基础测试及答案
(一)选择题(每小题3分,共30分)
1.内角和与外角和相等的多边形是………………………………………………()
(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形
2.顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形一定是……………………………()
(A)菱形(B)矩形(C)梯形(D)两条对角线相等的四边形
3.观察下列四个平面图形,其中中心对称图形有……………………………()
(A)2个(B)1个(C)4个(D)3个
4.已知下列四个命题:
(1)对角线互相垂直平分的四边形是正方形;
(2)对角线垂直相等的四边形是菱形;(3)对角线相等且互相平分的四边形是矩形;
(4)四边都相等的四边形是正方形.其中真命题的个数是………………()
(A)1(B)2(C)3(D)0
5.菱形的一条对角线与它的边相等,则它的锐角等于…………………………()
(A)30°(B)45°(C)60°(D)75°
6.下列命题中的真命题是………………………………………………………()
(A)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
(B)有一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形
(C)两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(D)两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
7.如图,DE是△ABC的中位线,若AD=4,AE=5,BC=12,则△ADE的周长
是……()(A)7.5(B)30(C)15(D)24
(第9题)
8.矩形的边长为10cm和15cm,其中一内角平分线分长边为两部分,这两部分的长为……………………………………………………………………………()
(A)6cm和9cm(B)5cm和10cm(C)4cm和11cm(D)7cm和8cm
9.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD相交于点O,则图中全等三角形
共有…()(A)1对(B)3对(C)2对(D)4对
10.菱形周长为20cm,它的一条对角线长6cm,则菱形的面积为……………()
(A)6(B)12(C)18(D)24
(二)填空题(每小题3分,共24分)
11.如图,在□ABCD中,则对角线AC、BD相交于O,图中全等的三角形共有____对.
(14)
(16)
12.如果一个多边形的每个内角都等于108°,那么这个多边形是_____边形.
13.梯形的上底边长为5,下底边长为9,中位线把梯形分成上、下两部分,则这两部分的面积的比为_______.
14.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,AE⊥BC于点E,AE=AD=2cm,
则这个梯形的中位线长为_____cm.
15.请画出把下列矩形的面积二等分的直线,并填空(一个矩形只画一条直线,不写画
法).在一个矩形中,把此矩形面积二等分的直线最多有_____条,这些直线都必须经过此矩形的_____点.
16.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,中位线EF分别与BD、AC交于点G、H.若
AD=6,BC=10,则GH的长是______.
17.如图,矩形ABCD中,O是两对角线的交点AE⊥BD,垂足为E.若OD=2OE,
AE=
,则DE的长为______.
(17)
(18)
18.如图,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若AE=4,AF=6,□ABCD
的周长为40,则S□ABCD为______.
(三)证明题(每小题5分,共20分)
19.已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,P是AD中点.求证:
BP=PC.
20.已知:
如图,AD∥BC,ED∥BF,且AF=CE.求证:
四边形ABCD是平行四边形.
21.已知:
如图,矩形ABCD中,E、F是AB上的两点,且AF=BE.
求证:
∠ADE=∠BCF.
22.证明等腰梯形判定定理:
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.(要求:
画出
图形,写出已知、求证、证明.)
(四)计算题(每小题6分,共12分)
23.已知:
如图,在□ABCD中,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,E在AD上,
BE=12cm,CE=5cm.求□ABCD的周长和面积.
24.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,BD⊥DC于D,且∠C=60°,若AD=5cm,求梯形的腰长.
(五)解答题(每小题7分,共14分)
25.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上移动,但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等,问在E、F移动过程中:
(1)∠EAF的大小是否有变化?
请说明理由.
(2)△ECF的周长是否有变化?
请说明理由.
26.已知:
如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论.
《四边形》基础测试答案
(一)选择题(每小题3分,共30分)
1.内角和与外角和相等的多边形是………………………………………………()
(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形【答案】B.
2.顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形一定是…………………………()
(A)菱形(B)矩形
(C)梯形(D)两条对角线相等的四边形【答案】A.
3.观察下列四个平面图形,其中中心对称图形有………………………()
(A)2个(B)1个(C)4个(D)3个
【提示】第一个图形不是中心对称图形.【答案】D.
4.已知下列四个命题:
(1)对角线互相垂直平分的四边形是正方形;
(2)对角线垂直相等的四边形是菱形;(3)对角线相等且互相平分的四边形是矩形;
(4)四边都相等的四边形是正方形.其中真命题的个数是………………()
(A)1(B)2(C)3(D)0【提示】(3)正确.【答案】A.
5.菱形的一条对角线与它的边相等,则它的锐角等于…………………………()
(A)30°(B)45°(C)60°(D)75°【答案】C.
6.下列命题中的真命题是……………………………………………………()
(A)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
(B)有一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形
(C)两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(D)两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】C.
7.如图,DE是△ABC的中位线,若AD=4,AE=5,BC=12,则△ADE的周长
是………………………………………………()
(A)7.5(B)30(C)15(D)24
【答案】C.
8.矩形的边长为10cm和15cm,其中一内角平分线分长边为两部分,这两部分的长为………………………………………………………………………()
(A)6cm和9cm(B)5cm和10cm
(C)4cm和11cm(D)7cm和8cm
【提示】长边被分成的两部分之中,有一部分与矩形短边相等.【答案】B.
9.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD相交于点O,则图中全等三角形
共有…………………………………………………………………()
(A)1对(B)3对(C)2对(D)4对
【提示】以AB和CD为对应边的两个三角形.【答案】B.
10.菱形周长为20cm,它的一条对角线长6cm,则菱形的面积为………()
(A)6(B)12(C)18(D)24
【提示】若菱形两对角线为a和b,则S菱形=
.【答案】D.
(二)填空题(每小题3分,共24分)
11.如图,在□ABCD中,则对角线AC、BD相交于O,图中全等的三角形共有____对.
【提示】考察以AB、CD为对应边的三角形,有3对全等三角形;抹去AB、CD两边,又有1对全等三角形.【答案】4.
12.如果一个多边形的每个内角都等于108°,那么这个多边形是_____边形.
【提示】360°÷每个外角的度数.【答案】5.
13.梯形的上底边长为5,下底边长为9,中位线把梯形分成上、下两部分,则这两部分的面积的比为_______.【提示】先算出中位线的长,然后用梯形面积公式计算.【答案】
.
14.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,AE⊥BC于点E,AE=AD=2cm,则这个梯形的中位线长为_____cm.
【提示】BC=6cm.【答案】4.
15.请画出把下列矩形的面积二等分的直线,并填空(一个矩形只画一条直线,不写画
法).在一个矩形中,把此矩形面积二等分的直线最多有_____条,这些直线都必须经过此矩形的_____点.
【答案】无数;对称中心(或两条对角线的交点).
16.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,中位线EF分别与BD、AC交于点G、H.若
AD=6,BC=10,则GH的长是______.
【答案】2.
17.如图,矩形ABCD中,O是两对角线的交点AE⊥BD,垂足为E.若OD=2OE,
AE=
,则DE的长为______.
【提示】OA=OD=2OE,用勾股定理求出OE和OA的长.
【答案】3.
18.如图,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若AE=4,AF=6,□ABCD
的周长为40,则S□ABCD为______.
【提示】在□ABCD中,AE·BC=AF·CD=S□ABCD,BC+CD=20,求BC或CD.
【答案】48.
(三)证明题(每小题5分,共20分)
19.已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,P是AD中点.
求证:
BP=PC.
【提示】证明△ABP≌△DCP.
【答案】在梯形ABCD中,AD∥BC,
∵AB=DC,
∴∠A=∠D.
∵P是AD中点,
∴AP=DP.
在△ABP和△DCP中,
∴△ABP≌△DCP.
∴PB=PC.
20.已知:
如图,AD∥BC,ED∥BF,且AF=CE.求证:
四边形ABCD是平行四边形.
【提示】证明△ADE≌△CBF,得到AD=BC即可.
【答案】在△ADE和△CBF中,
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠BCF.
∵ED∥BF,
∴∠DEF=∠BFE.
∴∠DEA=∠BFC.
∵AF=CE,
∴AE=CF.
∴△ADE≌△CBF.
∴AD=BC.
又AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
21.已知:
如图,矩形ABCD中,E、F是AB上的两点,且AF=BE.
求证:
∠ADE=∠BCF.
【提示】证明Rt△ADE≌Rt△BCF.
【答案】在矩形ABCD中,
∠A=∠B=90°,AD=BC.
又AF=BE,
∴AF-EF=BE-EF,
即AE=BF.
∴Rt△ADE≌Rt△BCF.
∴∠ADE=∠BCF.
22.证明等腰梯形判定定理:
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.(要求:
画出
图形,写出已知、求证、证明.)
【提示】作辅助线,构造等腰三角形.
【答案】已知:
在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C(图
(1)).求证:
AB=DC.
【证法一】如图
(1),过点D作DE∥AB,交BC于E.
图
(1)
∴∠B=∠1.又∠B=∠C,∴∠C=1.
∴DE=DC.又AB∥DE,AD∥BE,
∴四边形ABED为平行四边形,∴AB=DE.
∴AB=DC.
【证法二】如图
(2),分别延长BA、CD,交于点E.
图
(2)
∵∠B=∠C,∴BE=CE.
∵AD∥BC,∴∠B=∠1,∠C=∠2.
∴∠1=∠2.∴AE=DE.
∴BE-AE=CE-DE,即AB=DC.
(四)计算题(每小题6分,共12分)
23.已知:
如图,在□ABCD中,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,E在AD上,
BE=12cm,CE=5cm.求□ABCD的周长和面积.
【提示】证明BE⊥EC和E为AD中点.
【答案】在□ABCD中,
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵∠ABE=∠EBC,∠BCE=∠ECD,
∴∠EBC+∠BCE=
(∠ABC+∠BCD)=90°.
∴∠BEC=90°.
∴BC2=BE2+CE2=122+52=132.
∴BC=13.
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC.
∴∠AEB=∠ABE.
∴AB=AE.
同理CD=ED.
∵AB=CD,
∴AB=AE=CD=ED=
BC=6.5.
∴□ABCD的周长=2(AB+BC)=2(6.5+13)=39.
S□ABCD=2S△BCE=2·
BE·EC
=12×5=60.
24.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,BD⊥DC于D,且∠C=60°,若
AD=5cm,求梯形的腰长.
【提示】求出∠CBD,∠ABD和∠ADC的度数,证明AB=AD,或者过D点作DE⊥BC于E,CE为下底与上底的差的一半,又是CD的一半,CD又是BC的一半.从中找出CD与AD的关系.
【解法一】∵BD⊥CD,∠C=60°,
∴∠CBD=30°.
在等腰梯形ABCD中,∠ABC=∠C=60°,
∴∠ABD=∠CBD=30°.
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD.
∴∠ABD=∠ADB.
∴AB=AD=5(cm).
【解法二】过D点作DE⊥BC,垂足为E点.
∵在Rt△CDE中,∠CDE=30°,
∴CE=
CD.
又CE=
(BC-AD),
∴CD=BC-AD.
即BC=CD+AD.
又在Rt△BCD中,∠CBD=30°,
∴CD=
BC.
∴CD=2CD-AD.
即CD=AD=5(cm).
(五)解答题(每小题7分,共14分)
25.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上移动,但A到EF的距离
AH始终保持与AB长相等,问在E、F移动过程中:
(1)∠EAF的大小是否有变化?
请说明理由.
(2)△ECF的周长是否有变化?
请说明理由.
【提示】证明△EAH≌△EAB,△FAH≌△FAD.
【答案】
(1)∠EAF始终等于45°.证明如下:
在△EAH和△EAB中,
∵AH⊥EF,∴∠AHE=90°=∠B.
又AH=AB,AE=AE,∴Rt△EAH≌Rt△EAB.
∴∠EAH=∠EAB.
同理∠HAF=∠DAF.∴∠EAF=∠EAH+∠FAH
=∠EAB+∠FAD=
∠BAD=45°.
因此,当EF在移动过程中,∠EAF始终为45°角.
(2)△ECF的周长不变.证明如下:
∵△EAH≌△EAB,
∴EH=EB.
同理FH=FD.
∴△ECF周长=EC+CF+EH+HF
=EC+CF+BE+DF
=BC+CD=定长.
26.已知:
如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三
角形,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论.
【提示】连结AC和CD,首先利用中位线定理和平行四边形判定定理,证明四边形PQMN为平行四边形,然后证明△AEC≌△DEB,得到AC=BD,再证明□PQMN为菱形.
【答案】四边形PQMN为菱形.证明如下:
如图,连结AC、BD.
∵PQ为△ABC的中位线,
∴PQ
AC.
同理MN
AC.
∴MN
PQ,
∴四边形PQMN为平行四边形.
在△AEC和△DEB中,
AE=DE,EC=EB,∠AED=60°=∠CEB,
即∠AEC=∠DEB.
∴△AEC≌△DEB.
∴AC=BD.
∴PQ=
AC=
BD=PN.
∴□PQMN为菱形.