常数项级数.docx

常数项级数.docx

《常数项级数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常数项级数.docx（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

常数项级数常数项级数第七章无穷级数（数学二不要求）1常数项级数【考试要求】1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.2.掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件.3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法.5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛之间的关系.一、基本概念1.级数收敛与发散:

若级数的部分和序列有极限，即，则称级数收敛，并称为该级数的和，记作;若的极限不存在，则称级数发散.2.正项级数:

若，则称为正项级数.3.交错级数:

若，则称为交错级数.4.绝对收敛与条件收敛:

对任意项级数，若收敛，则称绝对收敛;若发散，而收敛，则称条件收敛.二、重要结论1.收敛级数的性质

（1）（级数收敛的必要条件）若收敛，则.注1仅是级数收敛的必要条件，并不是充分条件.注2利用此结果可以求数列的极限.

（2）若，与为常数，则.（3）任意去掉级数的有限项，不改变其敛散性.（4）收敛级数任意添加括号后仍收敛（即发散级数去括号后仍发散）.2.几何级数与-级数的收敛性

（1）几何级数当时收敛，其和为;当时发散.

（2）-级数当时收敛;当时发散.3.正项级数审敛法

（1）比较法:

设与均为正项级数，若，则当收敛时，也收敛;若，则当发散时，也发散.比较法的极限形式:

如果，那么当时，与的敛散性相同;当时，若收敛，则也收敛;当时，若发散，则也发散.注1比较法中的通常选取几何级数或级数.注2极限形式可从同阶或等价无穷小的角度考虑的取法.

（2）比值法（达朗贝尔判别法）:

对正项级数，设，则当时，收敛;当时，发散;当时，的敛散性不确定.注当中含有，时使用此方法较好，当为的有理式时失效.（3）根值法（柯西判别法）:

对正项级数，设，则当时，收敛;当时，发散;当时，的敛散性不确定.