高中数学数列部分高考常见题型含答案word版.docx
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高中数学数列部分高考常见题型含答案word版
高中数学数列部分高考常见题型
1、已知数列的各项均为正整数，对于，有
当时，______；
若存在，当且为奇数时，恒为常数，则的值为__或____.
2、已知数列的各项均为正整数，为其前项和，对于，有
，
当时，的最小值为______；
当时，______.
3、已知数列为等差数列，且，，那么则等于（B）
（A）（B）
（C）（D）
4、已知数列满足：
，，，，，且当n≥5时，，若数列满足对任意，有，则b5= ；当n≥5时， ．
5、在等差数列中，若，则．
6、已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和．若，，则的值是（D）
（A）511（B）1023（C）1533（D）3069
7、设等差数列的公差≠0，．若是与的等比中项，则（C）
（A）3或-1
（B）3或1
（C）3
（D）1
8、已知数列为等差数列，是它的前项和.若，，则 C
A．10B．16C．20D．24
9、等差数列中，，则等于
（A）7（B）3.5（C）14（D）28
10、已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
11、函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，，若，则，数列的通项公式为．
12、已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和，若，，则的值是（C）
（A）（B）69（C）93（D）189
13、已知等差数列的前n项和为Sn，若a2=1，S5=10，则S7=21．
14、等差数列中，，则等于
A.7B.14C.28D.3.5
15、已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．54B．C．90D．72
16、函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，，若，则，数列的通项公式为．
解答
1、（本小题满分13分）
已知是公比为的等比数列，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设是首项为，公差为的等差数列，其前项和为.当时，试比较与的大小.
解：
（Ⅰ）由已知可得，……………………2分
因为是等比数列，所以.……………………3分
解得或.……………………5分
（Ⅱ）①当时，，，……………………7分
所以，当时，.
即当时，.……………………8分
②当时，，……………………9分
，……………………10分
，……………………12分
所以，当时，；当时，；
当时，.……………………13分
综上，当时，.当时，若，；若，；若，.
2、（本小题满分14分）
有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列．
（Ⅰ）证明（，是的多项式），并求的值；
（Ⅱ）当时，将数列分组如下：
（每组数的个数构成等差数列）．
设前组中所有数之和为，求数列的前项和．
（Ⅲ）设是不超过20的正整数，当时，对于（Ⅱ）中的，求使得不等式
成立的所有的值．
解：
（Ⅰ）由题意知．
，
同理，，，…，
．
又因为成等差数列，所以.
故，即是公差为的等差数列．
所以，．
令，则，此时．…………4分
（Ⅱ）当时，．
数列分组如下：
．
按分组规律，第组中有个奇数，
所以第1组到第组共有个奇数．
注意到前个奇数的和为，
所以前个奇数的和为.
即前组中所有数之和为，所以．
因为，所以，从而．
所以.
.
故
.
所以．…………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，.
故不等式就是．
考虑函数．
当时，都有，即．
而，
注意到当时，单调递增，故有.
因此当时，成立，即成立．
所以,满足条件的所有正整数．…………………………14分
3、（本小题共13分）
已知每项均是正整数的数列：
，其中等于的项有个，
设，.
（Ⅰ）设数列，求；
（Ⅱ）若数列满足，求函数的最小值.
解：
（1）根据题设中有关字母的定义，
…………………5分
（2）一方面，，根据“数列含有项”及的含义知，
故，即①…………………7分
另一方面，设整数，则当时必有，
所以
所以的最小值为.…………………9分
下面计算的值：
…………………12分
∵，∴
∴最小值为.…………………13分
4、（本小题满分14分）
已知定义在上的函数和数列，，，当且时，，且，其中，均为非零常数．
（Ⅰ）若数列是等差数列，求的值；
（Ⅱ）令，若，求数列的通项公式；
（Ⅲ）若数列为等比数列，求函数的解析式．
解：
（Ⅰ）由已知，，
得．
由数列是等差数列，得．
所以，，，
所以．………………4分
（Ⅱ）由，可得
且当时，
．
所以，当时，
，……………7分
因此，数列是一个首项为，公比为的等比数列．
所以数列的通项公式是．……………………8分
（Ⅲ）若是等比数列，由（Ⅱ）知，，
，
．…………………………………………10分
当时，．
上式对也成立，所以，数列的通项公式为：
．
所以，当时，数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以，．……………………………………………………………………12分
当时，．
上式对也成立，
所以
所以．
所以等式对于任意实数均成立．
所以．……………………………………………………14分
5、（本小题满分14分）
有个首项为1，项数为的等差数列，设其第个等差数列的第项为，且公差为.若，，
也成等差数列．
（Ⅰ）求（）关于的表达式；
（Ⅱ）将数列分组如下：
，，，，，，）…，
（每组数的个数组成等差数列），设前组中所有数之和为，求数列的前项和；
（Ⅲ）设是不超过20的正整数，当时，对于（Ⅱ）中的，求使得不等式
成立的所有的值．
解（Ⅰ）由题意知，．
，同理，
，，…，
．
成等差数列，
所以，
故.
即是公差是的等差数列．
所以，（，）．………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
数列分组如下：
，，，…．
按分组规律，第组中有个奇数，
所以第1组到第组共有个奇数．
注意到前个奇数的和为，
所以前个奇数的和为，即前组中所有数之和为，所以．
因为，所以，从而．
所以.
，
故
，
所以．……………………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，.
故不等式就是．
考虑函数．
当时，都有，即．
而，
注意到当时，单调递增，故有.
因此当时，成立，即成立．
所以满足条件的所有正整数．…………………………………14分
6、（本小题共13分）
已知数列的前n项和为Sn，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在数列中，，，求数列的通项公式．
解：
（I）当n=1时，，∴a1=2．……………………2分
当时，
∵①
②
①-②得：
，即，……………………3分
∴数列是首项为2，公比为3的等比数列．……………………4分
∴．……………………6分
（II）∵，
∴当时，
……
……………………8分
相加得．……………………11分
（相加1分，求和1分，结果1分）
当n=1时，，……………………12分
∴．……………………13分
7、（本小题共13分）
数列的前项和为，若且（，）.
（I）求；
（II）是否存在等比数列满足？
若存在，则求出数列的通项公式；若不存在，则说明理由.
解：
（I）因为，所以有对，成立………2分
即对成立，又,所以对成立…………………3分
所以对成立，所以是等差数列，…………………4分
所以有，…………………6分
（II）存在.…………………7分
由（I），，对成立
所以有，又，………………9分
所以由，则…………………11分
所以存在以为首项，公比为3的等比数列，
其通项公式为.………………13分
8、（本小题共13分）
已知每项均是正整数的数列，其中等于的项有个，
设，
（Ⅰ）设数列，求；
（II）若中最大的项为50，比较的大小；
（Ⅲ）若，求函数的最小值.
解:
（I）因为数列，
所以，
所以.…………………3分
（II）一方面，，
根据的含义知，
故，即，①…………………5分
当且仅当时取等号.
因为中最大的项为50，所以当时必有，
所以
即当时，有；当时，有.
…………………7分
（III）设为中的最大值.
由（II）可以知道，的最小值为.下面计算的值.
，
∵，∴，
∴最小值为.…………………13分
9、（本小题满分14分）
已知数列满足以下两个条件：
点在直线上，
首项是方程的整数解，
（）求数列的通项公式；
（）数列的前项和为，等比数列中，，，
数列的前项和为，解不等式.
解（）根据已知，即，…………2分
所以数列是一个等差数列，…………4分
（）数列的前项和…………6分
等比数列中，，，所以，…………9分
数列的前项和…………11分
即，又，所以或2…………14分
10、（本小题满分14分）
已知定义在上的函数和数列，，，当且时，，且，其中，均为非零常数．
（Ⅰ）若数列是等差数列，求的值；
（Ⅱ）令，若，求数列的通项公式；
（Ⅲ）若数列为等比数列，求函数的解析式．
解：
（Ⅰ）由已知，，
得．
由数列是等差数列，得．
所以，，，
所以．………………4分
（Ⅱ）由，可得
且当时，
．
所以，当时，
，……………7分
因此，数列是一个首项为，公比为的等比数列．
所以数列的通项公式是．……………………8分
（Ⅲ）若是等比数列，由（Ⅱ）知，，
，
．…………………………………………10分
当时，．
上式对也成立，所以，数列的通项公式为：
．
所以，当时，数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以，．……………………………………………………………………12分
当时，．
上式对也成立，
所以
所以．
所以等式对于任意实数均成立．
所以．………………………………………………………14分
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