学年高二下学期期末考试数学理试题 3.docx
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学年高二下学期期末考试数学理试题3
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（）
A．B．C．或D．或
2．已知命题：
，使得，则为（）
A．，总有
B．，使得
C．，总有
D．，使得
3．同学聚会时，某宿舍的4位同学和班主任老师排队合影留念，其中宿舍长必须和班主任相邻，则5人不同的排法种数为（）
A．48B．56C．60D．120
4．从装有大小形状完全相同的3个白球和7个红球的口袋内依次不放回地取出两个球，每次取一个球，在第一次取出的球是白球的条件下，第二次取出的球是红球的概率为（）
A．B．C．D．
5．若曲线在点处的切线与直线垂直，则（）
A.1B.C.2D.
6．已知命题：
，命题：
，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
7．（）
A．B．C．D．
8．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）
A．平面内的三条直线，若，则.类比推出：
空间中的三条直线，若，则
B．平面内的三条直线，若，则.类比推出：
空间中的三条向量，若，则
C．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：
在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为
D．若，则复数.类比推理：
“若，则”
9．设，若，则展开式中二项式系数最大的项为（）
A．第4项B．第5项C．第4项和第5项D．第7项
10．已知，则中（）
A.至少有一个不小于1B.至少有一个不大于1
C.都不大于1D.都不小于1
11．且，可进行如下“分解”：
若的“分解”中有一个数是2019，则（）
A．44B．45C．46D．47
12．已知若存在，使得，则称与互为“1度零点函数”，若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知随机变量，且，，则.
14．对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据（），其回归直线方程是，且，则.
15．用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且至少有一个数字是奇数的三位偶数，这样的三位数一共有个.
16．已知函数（），若对，都有恒成立，记的最小值为，则的最大值为.
三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知复数，是的共轭复数，且为纯虚数，在复平面内所对应的点在第二象限，求.
18.电子商务公司对某市50000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额都在5000元到10000元之间，其频率分布直方图如下：
（1）求图中的值，并求出消费金额不低于8000元的购物者共多少人；
（2）若将频率视为概率，从购物者中随机抽取50人，记消费金额在7000元到9000元的人数为，求的数学期望和方差.
19．某种子培育基地新研发了两种型号的种子，从中选出90粒进行发芽试验，并根据结果对种子进行改良.将试验结果汇总整理绘制成如下列联表：
（1）将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为发芽和种子型号有关；
（2）若按照分层抽样的方式，从不发芽的种子中任意抽取20粒作为研究小样本，并从这20粒研究小样本中任意取出3粒种子，设取出的型号的种子数为，求的分布列与期望.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，其中.
20.设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，且，，证明：
.
21．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点.
（1）当时，求两点的极坐标；
（2）设，求的值.
22.已知函数.
（1）解不等式；
（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.
23.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），将圆上每一个点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线.
（1）求直线的普通方程及曲线的参数方程；
（2）设点在直线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的直角坐标.
24.已知函数
（1）设的最大值为，求的最小值；
（2）在
（1）的条件下，若，且，求的最大值.
参考答案
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
C
C
A
D
B
A
D
D
C
B
B
B
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15．54 16．
三、解答题：
本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．解：
设，则，∴
又，.
∴，联立，解得
又在第二象限，∴，即
∴
.
18.解：
（1）
消费金额不低于8000元的频率为，
所以共人.
（2）从购物者中任意抽取1人，消费金额在7000到9000的概率为，
所以，
∴
∴.
19.
（1）
所以有99%的把握认为发芽和种子型号有关.
（2）按分层抽样的方式抽到的20粒种子中，型号的种子共4粒，型号的种子共16粒，所以的可能值为0,1,2,3，
，，，
所以的分布列为
.
20.解：
（1）由题意得，的定义域为，，
①当时，，又由于，，故，所以在上单调递减；
②当时，,,故，所以在上单调递增；
③当时，由，解得，因此在上单调递减，在和上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增.
（2）由
（1）知，当时，有两个极值点，
由，知，
则
，
设，，
，则在单调递增，即，
则，即.
21．解：
（1）曲线的普通方程，化为极坐标方程为
与联立，得，
又∵，∴或
∴两点的极坐标分别为，
（2）直线的普通方程为化为参数方程为（为参数）①
曲线的普通方程为②
把①代入②，得
整理得，
∴
∴
22.解
（1）即
①当时，原不等式化为，即，解得，∴；
②当时，原不等式化为，即，解得，∴.
③当时，原不等式化为，即，解得，∴
∴不等式的解集为或.
（2）不等式可化为
问题转化为在上恒成立，又，得
∴，∴.
23.解
（1）由得，消元得
设为圆上的点，在已知变换下变为上的点，依题意得
由，得
∴化为参数方程为（为参数）
（2）由题意，最小值即椭圆上点到直线距离的最小值
设，（其中，）
∴，此时，即（）
∴，∴
∴.
24.解：
（1）∵，
∴（当且仅当时取“=”号）
∴
（2）∵（当且仅当时取“=”号），
（当且仅当时取“=”号），
（当且仅当时取“=”号），
∴（当且仅当时取“=”号）
∴（当且仅当时取“=”号）
∴的最大值为2.
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