届二轮导 数 专题卷全国通用.docx

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届二轮导数专题卷全国通用

第8练　导　数

1.设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，在点P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）

A.B.

C.∪D.∪

答案　C

解析　∵y′＝3x2－，

∴tanα≥－，

∴0≤α＜或≤α＜π.

2.函数f（x）＝excosx的图象在点（0，f（0））处的切线方程是（　　）

A.x＋y＋1＝0B.x＋y－1＝0

C.x－y＋1＝0D.x－y－1＝0

答案　C

解析　f（0）＝e0cos0＝1，因为f′（x）＝excosx－exsinx.

所以f′（0）＝1，所以切线方程为y－1＝x－0，

即x－y＋1＝0，故选C.

3.（2017·包头一模）已知函数f（x）＝x3＋ax＋1的图象在点（1，f

（1））处的切线过点（2，7），则a等于（　　）

A.－1B.1C.2D.3

答案　B

解析　函数f（x）＝x3＋ax＋1的导数为f′（x）＝3x2＋a，f′

（1）＝3＋a，而f

（1）＝a＋2，

所以切线方程为y－a－2＝（3＋a）（x－1）.

因为切线方程经过点（2，7），

所以7－a－2＝（3＋a）（2－1），解得a＝1.

4.（2017·天津）已知a∈R，设函数f（x）＝ax－lnx的图象在点（1，f

（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.

答案　1

解析　∵f′（x）＝a－，∴f′

（1）＝a－1.

又∵f

（1）＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点（1，a），

∴切线l的方程为y－a＝（a－1）（x－1）.

令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.

5.曲线f（x）＝xlnx在点P（1，0）处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是________.

答案　

解析　∵f′（x）＝1＋lnx，且f′

（1）＝1，

∴切线l的斜率k＝1，切线方程为y＝x－1，

令x＝0，得y＝－1；令y＝0，得x＝1，

∴交点坐标分别为A（0，－1），B（1，0），

则|OA|＝1，|OB|＝1，

∴S△ABO＝×1×1＝.

6.函数f（x）＝x2－lnx的单调递减区间为（　　）

A.（－∞，1）B.（0，1）

C.（1，＋∞）D.（0，＋∞）

答案　B

解析　f（x）的定义域是（0，＋∞），

f′（x）＝x－＝.

令f′（x）＜0，解得0＜x＜1.

故函数f（x）在（0，1）上单调递减.

7.若函数f（x）＝2x3－3mx2＋6x在区间（2，＋∞）上为增函数，则实数m的取值范围为（　　）

A.（－∞，2）B.（－∞，2]

C.D.

答案　D

解析　∵f′（x）＝6x2－6mx＋6，

当x∈（2，＋∞）时，f′（x）≥0恒成立，

即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立.

令g（x）＝x＋，g′（x）＝1－，

∴当x>2时，g′（x）>0，即g（x）在（2，＋∞）上单调递增，

∴m≤2＋＝，故选D.

8.若定义在R上的函数f（x）满足f（0）＝－1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（　　）

A.f＜B.f＞

C.f＜D.f＞

答案　C

解析　∵导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，∴f′（x）－k＞0，k－1＞0，＞0，可构造函数g（x）＝f（x）－kx，

可得g′（x）＞0，故g（x）在R上为增函数，∵f（0）＝－1，

∴g（0）＝－1，∴g＞g（0），

∴f－＞－1，∴f＞，∴选项C错误，故选C.

9.定义在R上的函数f（x）满足f′（x）>f（x）恒成立，若x1

A.f（x2）>f（x1）

B.f（x2）

C.f（x2）＝f（x1）

D.f（x2）与f（x1）的大小关系不确定

答案　A

解析　设g（x）＝，则g′（x）＝＝，由题意g′（x）>0，所以g（x）单调递增，当x1

所以f（x2）>f（x1）.

10.设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x>0时，xf′（x）－f（x）＜0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（　　）

A.（－∞，－1）∪（0，1）

B.（－1，0）∪（1，＋∞）

C.（－∞，－1）∪（－1，0）

D.（0，1）∪（1，＋∞）

答案　A

解析　因为f（x）（x∈R）为奇函数，f（－1）＝0，所以f

（1）＝－f（－1）＝0.当x≠0时，令g（x）＝，则g（x）为偶函数，且g

（1）＝g（－1）＝0.则当x＞0时，g′（x）＝′＝＜0，故g（x）在（0，＋∞）上为减函数，在（－∞，0）上为增函数.所以在（0，＋∞）上，当0＜x＜1时，g（x）＞g

（1）＝0⇔＞0⇔f（x）＞0；在（－∞，0）上，当x＜－1时，g（x）＜g（－1）＝0⇔＜0⇔f（x）＞0.综上，使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（－∞，－1）∪（0，1），故选A.

11.（2017·永州二模）函数f（x）＝aex－sinx在x＝0处有极值，则a的值为（　　）

A.－1B.0C.1D.e

答案　C

解析　f′（x）＝aex－cosx，若函数f（x）＝aex－sinx在x＝0处有极值，

则f′（0）＝a－1＝0，解得a＝1.

经检验a＝1符合题意.

12.若函数f（x）＝－（1＋2a）x＋2lnx（a＞0）在区间内有极大值，则a的取值范围是（　　）

A.B.（1，＋∞）C.（1，2）D.（2，＋∞）

答案　C

解析　f′（x）＝ax－（1＋2a）＋＝（a＞0，x＞0）.

若f（x）在内有极大值，

则f′（x）在内先大于0，再小于0，

即解得1＜a＜2.

13.已知函数f（x）＝ax－lnx，当x∈（0，e]（e为自然常数）时，函数f（x）的最小值为3，则a的值为（　　）

A.eB.e2C.2eD.2e2

答案　B

解析　函数f（x）的定义域为（0，＋∞），函数f（x）的导数f′（x）＝.

①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，

∴f（x）min＝f（e）＜0，与题意不符.

②当a＞0时，f′（x）＝0的根为.

当0＜＜e时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，

∴f（x）min＝f ＝1－ln＝3，解得a＝e2.

③当≥e时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，

∴f（x）min＝f（e）≤0，与题意不符.

综上所述，a＝e2.故选B.

14.设函数f（x）＝x3－2ex2＋mx－lnx，记g（x）＝，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是________.

答案　

解析　由题意知m＝有解，

令h（x）＝－x2＋2ex＋（x＞0），

则h′（x）＝－2（x－e）＋，

∴当0＜x＜e时，h′（x）＞0，

当x＞e时，h′（x）＜0，

∴h（x）max＝h（e）＝＋e2，

∴m≤＋e2.

15.已知函数f（x）＝x3－3ax（a∈R），函数g（x）＝lnx，若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）的图象的上方（没有公共点），则实数a的取值范围是________.

答案　

解析　由题意知，3a＜x2－在[1，2]上恒成立，

记h（x）＝x2－，

则h′（x）＝，

∵1≤x≤2，

∴h′（x）＞0，

∴h（x）在[1，2]上单调递增，

∴h（x）min＝h

（1）＝1，

∴3a＜1，即a＜.

1.已知f（x）＝lnx，g（x）＝x2＋mx＋（m<0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与f（x）图象的切点为（1，f

（1）），则m等于（　　）

A.－1B.－3C.－4D.－2

答案　D

解析　∵f′（x）＝，

∴直线l的斜率为k＝f′

（1）＝1.

又f

（1）＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.

g′（x）＝x＋m，

设直线l与g（x）的图象的切点为（x0，y0），

则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋（m<0），

于是解得m＝－2.故选D.

2.（2016·全国Ⅰ）若函数f（x）＝x－sin2x＋asinx在（－∞，＋∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　）

A.[－1，1]B.C.D.

答案　C

解析　方法一　（特殊值法）：

不妨取a＝－1，

则f（x）＝x－sin2x－sinx，

f′（x）＝1－cos2x－cosx，但f′（0）＝1－－1＝－<0，不具备在（－∞，＋∞）上单调递增，排除A，B，D.故选C.

方法二　（综合法）：

∵函数f（x）＝x－sin2x＋asinx在（－∞，＋∞）上单调递增，

∴f′（x）＝1－cos2x＋acosx＝1－（2cos2x－1）＋acosx

＝－cos2x＋acosx＋≥0，即acosx≥cos2x－在（－∞，＋∞）上恒成立.

当cosx＝0时，恒有0≥－，得a∈R；

当0

（1）＝－；

当－1≤cosx<0时，得a≤cosx－，令t＝cosx，f（t）＝t－在[－1，0）上为增函数，得a≤f（－1）＝.综上，可得a的取值范围是，故选C.

3.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内的极小值点有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案　A

解析　由极小值的定义及导函数f′（x）的图象可知，

f（x）在开区间（a，b）内有1个极小值点.

4.直线y＝a分别与直线y＝2（x＋1），曲线y＝x＋lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为____.

答案　

解析　解方程2（x＋1）＝a，得x＝－1.

设方程x＋lnx＝a的根为t（t＞0），则t＋lnt＝a，

则|AB|＝＝＝.

设g（t）＝－＋1（t＞0），

则g′（t）＝－＝（t＞0），

令g′（t）＝0，得t＝1.

当t∈（0，1）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减；

当t∈（1，＋∞）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，

所以g（t）min＝g

（1）＝，

所以|AB|≥，所以|AB|的最小值为.

解题秘籍　

（1）对于未知切点的切线问题，一般要先设出切点.

（2）f（x）递增的充要条件是f′（x）≥0，且f′（x）在任意区间内不恒为零.

（3）利用导数求解函数的极值最值问题要利用数形结合思想，根据条件和结论的联系灵活进行转化.

1.（2017·浙江）函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）

答案　D

解析　观察导函数f′（x）的图象可知，f′（x）的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，

∴对应函数f（x）的增减性从左到右依次为减、增、减、增.

观察选项可知，排除A，C.

如图所示，f′（x）有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2＞0，故选项D正确.故选D.

2.函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是（　　）

A.（－∞，2）B.（0，3）C.（1，4）D.（2，＋∞）

答案　D

解析　函数f（x）＝（x－3）ex的导函数为f′（x）＝[（x－3）·ex]′＝ex＋（x－3）ex＝（x－2）ex.

由函数导数与函数单调性的关系，得当f′（x）>0时，函数f（x）单调递增，

此时由不等式f′（x）＝（x－2）ex>0，解得x>2.

3.（2017·绵阳模拟）已知函数f（x）＝x3－mx2＋4x－3在区间[1，2]上是增函数，则实数m的取值范围