北京八中百万庄校区初三上期中数学.docx

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北京八中百万庄校区初三上期中数学

2016北京八中百万庄校区初三（上）期中

数学

一、选择题（本题共30分，每小题3分，）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．下列图形中，是中心对称图形的为（　　）

A．B．C．D．

2．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC=3，那么弦AB的长为（　　）

A．4B．6C．8D．10

3．⊙O的半径为3cm，如果圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（　　）

A．相交B．相切C．相离D．不确定

4．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（　　）

A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）

5．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　）

A．y=60（300+20x）B．y=（60﹣x）（300+20x）

C．y=300（60﹣20x）D．y=（60﹣x）（300﹣20x）

6．如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（　　）

A．30°B．45°C．50°D．70°

7．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（　　）

A．50°B．60°C．70°D．80°

8．函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）

A．B．C．D．

9．小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（　　）

A．B．C．D．

10．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点O是BC的中点，点D沿B→A→C方向从B运动到C．设点D经过的路径长为x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（　　）

A．BDB．ODC．ADD．CD

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．请你写出一个一元二次方程，满足条件：

①二次项系数是1；②方程有两个相等的实数根，此方程可以是　　．

12．抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为　　．

13．圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是　　．

14．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，如果∠A=30°，AB=2，那么AC的长等于　　．

15．如图，已知A（2，2），B（2，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，则图中阴影部分的面积为　　．

16．阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：

请利用直尺和圆规确定图1中弧AB所在圆的圆心．

小亮的作法如下：

如图2，

（1）在弧AB上任意取一点C，分别连接AC，BC；

（2）分别作AC，BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于O点；所以点O就是所求弧AB的圆心．

老师说：

“小亮的作法正确．

请你回答：

小亮的作图依　　．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．把二次函数的表达式y=x2﹣4x+6化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k的值．

18．抛物线y=ax2+bx+c过（﹣3，0），（1，0）两点，与y轴的交点为（0，4），求抛物线的解析式．

19．已知：

如图，A，B，C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45°，求AB的长．

20．已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；

（2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积．

21．列方程或方程组解应用题：

某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？

22．如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．

（1）画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称；

（2）请在方格网中标出所有使以点A、O、C′、D为顶点的四边形是平行四边形的D点．

23．如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断和是否相等，并说明理由．

24．对于抛物线y=x2﹣4x+3．

（1）它与x轴交点的坐标为　　，与y轴交点的坐标为　　，顶点坐标为　　；

（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；

x

…

…

y

…

…

（3）利用以上信息解答下列问题：

若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是　　．

25．如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC．

（1）请仅用无刻度的直尺，在⊙O中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请写出证明△ABC被所作弦分成的两部分面积相等的思路．

26．已知：

如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F．

（1）求证：

CD为⊙O的切线；

（2）若BC=5，AB=8，求OF的长．

27．（7分）已知，在等边△ABC中，AB=2，D，E分别是AB，BC的中点（如图1）．若将△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1，设旋转角为α（0°＜α＜180°），记射线CE1与AD1的交点为P．

（1）判断△BDE的形状；

（2）在图2中补全图形，

①猜想在旋转过程中，线段CE1与AD1的数量关系并证明；

②求∠APC的度数；

（3）点P到BC所在直线的距离的最大值为　　．（直接填写结果）

28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．

（1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式；

（2）连接AB，求AB的长；

（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．

29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．

（1）如图1，如果⊙O的半径为，

①请你判断M（2，0），N（﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O的位置关系；

②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围．

（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y=﹣2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．

数学试题答案

一、选择题（本题共30分，每小题3分，）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．

【考点】中心对称图形．

【分析】结合中心对称图形的概念进行求解即可．

【解答】解：

A、不是中心对称图形，本选项错误；

B、是中心对称图形，本选项正确；

C、不是中心对称图形，本选项错误；

D、不是中心对称图形，本选项错误．

故选B．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2．

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】先连接OA，根据勾股定理求出AC的长，由垂径定理可知，AB=2AC，进而可得出结论．

【解答】解：

连接OA，

∵OA=5，OC=3，OC⊥AB，

∴AC==4，

∵OC⊥AB，

∴AB=2AC=2×4=8．

故选C．

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

3．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．

【解答】解：

∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为d=5cm，

∴r＜d，

∴直线l与⊙O的位置关系是相离，

故选：

C．

【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：

已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．

4．

【考点】二次函数的性质．

【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．

【解答】解：

y=（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：

顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．

5．

【考点】根据实际问题列二次函数关系式．

【分析】根据降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：

总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．

【解答】解：

降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，

根据题意得，y=（60﹣x）（300+20x），

故选：

B．

【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式．

6．

【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．

【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A=80°，根据圆周角定理得到∠D=∠A=80°，根据等腰三角形的内角和即可得到结论．

【解答】解：

∵∠ABC=70°，∠ACB=30°，

∴∠A=80°，

∴∠D=∠A=80°，

∵D是的中点，

∴，

∴BD=CD，

∴∠DBC=∠DCB==50°，

故选C．

【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

7．

【考点】旋转的性质．

【分析】根据旋转的性质可知，∠BCB′=∠ACA′=20°，又因为AC⊥A′B′，则∠BAC的度数可求．

【解答】解：

∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置

∴∠BCB′=∠ACA′=20°

∵AC⊥A′B′，

∴∠BAC=∠A′=90°﹣20°=70°．

故选C．

【点评】本题考查旋转的性质：

旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：

①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．

8．

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．

【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．

【解答】解：

A、由一次函数y=ax+a的图象可得：

a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；

B、由一次函数y=ax+a的图象可得：

a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；

C、由一次函数y=ax+a的图象可得：

a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；

D、由一次函数y=ax+a的图象可得：

a＜0，