中考复习专题六四边形和圆学生版.docx

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中考复习专题六四边形和圆学生版

课题：

四边形和圆

考点知识梳理：

一、多边形

1、多边形的定义：

在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形．各边相等、各个内角也相等的多边形叫做正多边形．

2、多边形的对角线：

多边形的对角线是联结多边形不相邻的两个顶点的线段．从边形的一个顶点出发有条对角线，将多边形分成个三角形；一个边形共有条对边线．

3、多边形的内角和与外角和：

（）的内角和是，外角和是．

正边形的每个外角的度数是，每个内角的度数是．

二、平行四边形

1、定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可表示为□ABCD．

2、平行四边形的性质：

（1）平行四边形的两组对边分别平行；

（2）平行四边形的两组对边分别相等；推论：

夹在平行线间的平行线段相等．（3）平行四边形的两组对角分别相等；（4）平行四边形的对角线互相平分．（5）平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点．

3、平行四边形的判定：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（即定义）；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

三、矩形

1、定义：

有一个内角是直角的平行四边形是矩形．

2、矩形的性质：

（1）具有平行四边形的所有性质；

（2）矩形的四个内角均为直角；（3）矩形的对角线相等．

3、矩形的判定：

（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形（即定义）；

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）三个角是直角的四边形是矩形．

四、菱形

1、定义：

有一组邻边相等的平边形是菱形．

2、菱形的性质：

（1）具有平行四边形的所有性质；

（2）菱形的四条边均相等；（3）菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角．

3、菱形的判定：

（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（即定义）；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边均相等的四边形是菱形．

五、正方形

1、定义：

有一组邻边相等且有一内角是直角的平行四边形是正方形．

2、正方形的性质：

具有矩形、菱形的所有性质．

3、正方形的判定：

注：

矩形、菱形和正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形．

六、梯形

1、定义：

一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形，叫做梯形。

其中，平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰，两底间的距离叫做梯形的高．

2、分类：

3、等腰梯形的性质与判定

（1）等腰梯形性质：

①等腰梯形的两腰相等；②等腰梯形同一底边的两底角相等；③等腰梯形的对角线相等．

（2）等腰梯形的判定：

①先证四边形是梯形、再证两腰相等；

（2）同一底边的两底角相等的梯形是等腰梯形；（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．

4、三角形、梯形的中位线

（1）三角形中位线定义：

联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线；

梯形中位线的定义：

联结梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线．

（2）三角形的中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；

（3）梯形的中位线定理：

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．

5、梯形中常见的辅助线的作法：

基本图形如下:

七、圆

1、定义：

（1）形成性定义：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心；线段OA叫做半径．

（2）描述性定义：

圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合．

2、圆的对称性：

（1）轴对称性：

圆是轴对称图形，有无数条对称轴，经过圆心的直线都是它的对称轴．

（2）中心对称性：

圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

圆具有旋转不变性．

3、垂径定理：

（1）垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）推论：

①平分弦（不是直径）的直径，垂直于这个弦，并且平分弦所对的两条弧；

②垂直平分弦的直线必经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，且平分弦所对的另一条弧．

4、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理：

在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等．

5、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系及圆和圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系有3种，若圆的半径为，点P到圆心的距离为，则：

点P在圆内；点P在圆上；点P在圆外．

（2）直线与圆的位置关系：

①直线与圆的位置关系有3种：

当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线；当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

②设⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，则：

直线与⊙O相交；直线与⊙O相切；直线与⊙O相离．

（3）圆和圆的位置关系：

①从两圆公共点的个数来分析，圆与圆的位置关系有3种：

当两圆有两个公共点时，叫做两圆相交；当两圆有唯一公共点时，叫做两圆相切；两圆没有公共点时，叫做两圆相离．

②从两圆半径和两圆圆心距的关系来分析，圆和圆的位置关系有5种，若⊙半径为，⊙半径为，圆心距为，则⊙与⊙外离；⊙与⊙外切；⊙与⊙相交；⊙与⊙内切；⊙与⊙内含．

6、正多边形和圆

（1）正多边形的定义：

各边相等，各个内角也相等的多边形是正多边形．

（2）每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的中心；外接圆的半径叫正多边形的半径，一般用字母表示；每边所对的圆心角叫正多边形的中心角，可用表示，；中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距，用表示．

（3）每一个正边形都被它的半径分成个全等的等腰三角形，被它的半径和边心距分成个全等的直角三角形．

重点考点解析：

考点一：

多边形及其有关概念、多边形外角和定理

考点二：

多边形内角和定理

考点三：

平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的概念

考核要求：

理解包括矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形在内的平行四边形的定义．

★★★考点四：

平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质、判定

考核要求：

掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质、判定定理，并能应用这些知识解决问题．

例1、（2009年中考题）在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是．

例2、（2014年中考题）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）

A．△ABD与△ABC的周长相等；

B．△ABD与△ABC的面积相等；

C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；

D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．

例3、（2014年中考题）已知：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，对角线AC、BD相交于点F，E点是边BC延长线上一点，且．

（1）求证：

四边形ACED是平行四边形；

（2）联结AE，交BD于点G，求证：

．

求证：

四边形ACED是平行四边形；

（2）联结AE，交BD于点G，求证：

．

例4、（2012年中考题）已知：

如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，，AE与BD交于点G．

（1）求证：

；

（2）当时，求证：

四边形BEFG是平行四边形．

考点：

平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质。

解答：

证明：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，

∵∠BAF=∠DAE，

∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，

即：

∠BAE=∠DAF，

∴△BAE≌△DAF

∴BE=DF；

（2）∵=，

∴

∴FG∥BC

∴∠DGF=∠DBC=∠BDC

∴DF=GF

∴BE=GF

∴四边形BEFG是平行四边形．

考点五：

梯形的有关概念

考核要求：

认真理解梯形的有关概念（如梯形的底、高和腰）．

考点六：

等腰梯形的性质和判定

考核要求：

在理解两类特殊梯形定义的基础上，掌握等腰梯形的性质和判定定理，并应用性质和判定定理解决一些数学问题．

注意：

梯形的几种常见辅助线很重要，从中可以看出梯形与平行四边形和三角形之间的相互转化关系．

例5、（2013中考题）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（）

A．；B．；C．；D．．

考点七：

三角形中位线定理和梯形中位线定理

考核要求：

理解两个中位线定理，并合理有效地运用解决一些数学问题．

注意：

在一些题目中，过某些线段的中点作中位线是常见的辅助线．

例6、（2009年中考题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，，，，联结AC．

（1）求的值；

（2）若M、N分别是AB、DC的中点，联结MN，求线段MN的长．

（1）二分之根号3

（2）8

考点八：

圆心角、弦、弦心距的概念

考核要求：

清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断．

例7、（2011年中考题）矩形ABCD中，，，点P在边AB上，且，如果圆P是以点P为圆心，PD长为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

A．点B、C均在圆P外；B．点B在圆P外、点C在圆P内；

C．点B在圆P内、点C在圆P外；D．点B、C均在圆P内．

考点九：

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

考核要求：

认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明.关键在于转化思想．

例8、（2013年中考题）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为___________．

例9、（2009年中考题）在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径．

★★★考点十：

垂径定理及其推论

考核要求：

垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一.

例10、（2011年中考题）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB、ON⊥AC，垂足分别是点M、N，如果，那么_____________．

★★★考点十一：

点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系

考核要求：

直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆的位置关系中，常需要分类讨论求解.

例11、（2012年中考题）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两圆的位置关系是（）

A．外离；B．相切；C．相交；D．内含．

例12、（2010年中考题）已知圆、圆的半径不相等，圆的半径长为3，若圆上的点A满足，则圆与圆的位置关系是（）

A．相交或相切；B．相切或相离；C．相交或内含；D．相切或内含．

★★★考点十二：

正多边形的有关概念和基本性质

考核要求：

熟悉正多边形的有关概念（如半径、边心距、中心角、外角和），并能熟练地运用正多边形的基本性质进行推理和计算，在正多边形的计算中，常常利用正多边形的半径、边心距和边长的一半构成的直角三角形，将正多边形的计算问题转化为直角三角形的计算问题.

例13、（2009年中考题）下列正多边形中，中心角等于内角的是（）

A．正六边形；B．正五边形；C．正四边形；D．正三边形．

考点十三：

画正三、四、六边形.

考核要求：

能用基本作图工具，正确作出正三、四、六边形.

考点十四：

圆周、圆弧、扇形等概念，圆的周长和弧长的计算，圆的面积和扇形面积的计算

考核要求是：

（1）理解圆周、圆弧、扇形等概念；

（2）掌握圆的周长和弧长的计算；（3）掌握圆的面积和扇形面积计算，理解与掌握圆的周长和弧长、圆