东三省数学建模竞赛C题论文省一等奖.docx
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东三省数学建模竞赛C题论文省一等奖
2012年“深圳杯”全国大学生数学建模
夏令营C题：
3Ｄ仿真机房建模问题分析
摘要
随着经济的发展、计算机的普及，人们对数据的处理越来越多。
机房的设计问题也越来越受到人们的关注，如何在满足工作的前提条件下，做到最低的消耗，成了很多公司发现商机的、创造价值的有利方向。
通过对机房设计，得到相应的实验数据，建立确定的数学模型，找到最佳的设计方案成了人们关注的焦点。
建立模型的出发点，影响因素有距空调的位置，高度，机柜摆放方式，任务量，空调送风速度。
对于第一问，根据分析附件1的数据，用MATLAB软件进行插值，绘出冷、热通道的热分布及流场分布图（共四幅），并且确定出室内最高温度位置。
对于第二问，利用附表2提供的数据，经过分析发现当固定其中某一个物理量时，其他的未知量之间会成现出特定的曲线关系。
通过MATLAB软件拟合出各个影响因素与温度之间的图像发现特定关系，通过多元非线性回归解得函数关系。
建立热分布的数学模型及算法，同时与测试案例进行比较。
对于第三问，结合前两问的结论，通过分析在不同任务量时绘制出的热分布图确定最优任务的分配方案，并且找到室内最高温度。
分析附表2中改变任务量对通道3的温度影响，从而假设实际任务量为0.8和0.5的分配方案，再通过问题二中得到论证。
对于第四问，按照《电子信息系统机房设计规范》C级要求，在任务量一定的情况下，热点温度超过规范要求时，通过调节出风槽风速或出风槽温度从而降低温度，保证服务器的健康工作。
通过多元线性回归找到热点温度与出风槽温度之间的间接关系，从而进行调节，实现任务量的合理使用和降低机房内热点温度的节能目的。
关键词：
相关分析线性插值逐步回归多元非线性回归线性回归MATLAB
一．问题重述
1.问题背景
大规模的数据中心每年都会花费大量资金用于计算设备及系统冷。
因此有必要提高数据中心设备的能效，极大化数据中心的能源利用率及计算能力，建立绿色数据中心。
绿色数据中心主要是区域化和模块化设计——根据高热区和低热区，采用不同的散热方式，实现对不同负载的有效支持。
作为绿色数据中心设计的一个重要环节是利用源自服务器及环境温度的数据，刻画数据中心的热循环过程。
机房内热气流经循环进入HVAC顶部，在经过水冷系统冷却后从地下冷风槽通过中孔板送入机柜进风口,空调制冷系统将冷气送到冷通道，各机柜的服务器从冷通道吸入冷气之后，将热量排入热通道，再通过排风系统排出，循环进入空调顶部。
为了保证机房内设备健康运行，数据中心制冷系统必须根据机房内热点的温度（室内最高温度）向机房送配冷气。
而合理地给服务器分配工作任务，能够降低机房内热点的温度，达到节能目的。
对于此类机房，往往由于机柜布置的不合理，以及各机柜服务器任务分配的不合理，造成机房内局部温度过高（形成热点）。
为了保证服务器的健康工作，通常需要HVAC降低送风温度或加大送风量，造成耗能增加。
2.问题的提出
图1是较典型的一类数据中心机房虚拟示意图。
该类机房采用独立的空调通风制冷系统（HVAC），机房机柜的布置通常按一定的行业设计规范要求布置。
相邻机柜的出风口面对同一个通道。
形成热通道。
机房内热气流经循环进入HVAC顶部，在经过水冷系统冷却后从地下冷风槽通过中孔板送入机柜进风口，形成冷通道。
绿色数据中心的主要任务之一就是根据机房的基础设施状态，按照行业规范要求合理地布置机柜，分布任务，尽量避免局部地区过热。
图2是一个测试案例，部分测试数据见附件1及附件2。
现在通过数学建模来完成以下任务：
（1）根据附件1的数据，绘出冷、热通道的热分布及流场分布及室内最高温度位置。
（2）建立描述该问题热分布的数学模型及算法，并与测试案例进行比较。
（3）如果定义该机房的总体任务量为1，根据你的模型及附件1的流场数据，确定服务器实际任务量为0.8及0.5的最优任务分配方案，并给出室内最高温度。
（4）如果按照《电子信息系统机房设计规范》（附件3）C级要求控制机房温度，讨论服务器设计任务量一定条件下，如何控制空调的送风速度或送风温度（可以通过送风槽的出口风速与温度来描述）。
二．问题分析
1.问题重要性分析
随着计算机的普及，大量的数据处理都交给了计算机处理，越来越多的高性能数据中心和互联网中心正逐渐建成。
在现代的数据中心内，刀片服务器因其成本与性价比高，体积小而被广泛使用。
但自身能源与冷却条件限制，这类大规模的数据中心或许每年需要花费数百万美元，主要用于计算设备及系统冷却所需的能源费用。
所以建立绿色数据中心是很必要的。
即可满足大量的数据处理，也可通过合理的设计使得经费相应节省下来，赚到更多利益，同时也呼应当今社会“绿色、节能”的主题。
2.问题思路的分析
题目介绍了绿色数据处理中心及如何实现，给出一种机房机柜的布置，同时也给出了这种布置下的实验数据。
通过分析数据找出各影响因素之间的函数关系，有效合理的分配服务器的任务量，尽量避免机房内局部温度过高，也可确定最高点温度，有效的控制送风温度从而降低室内热点，保证服务器健康工作。
三．模型假设
1.各个机柜的任务量平均分配
2.实验所得的数据都是真实可靠的
3.假设所选取的采样点都是有代表性的
4.建设空间温度连续变化
5.各机柜工作互不影响
四．符号说明
X通道位置（单位：
m）
Y距空调的位置（单位：
m）
Z距地板的高度（单位：
m）
R机房的总体任务量
V风速（单位：
m/s）
T温度（单位：
℃）
出风槽的风速（单位：
m/s）
出风槽的温度（单位：
℃）
五．模型建立与求解
1.问题一
1.1冷、热通道的热分布及流场分布图
通过问题、附表1数据分析可知，在冷、热不同通道内，温度、风速随距空调位置和距地板的高度的不同而改变。
通过样条函数差值的方法，运用matlab软件编程（程序见附录1）作出冷、热通道的热分布及流场分布图，如下：
（1）冷通道
冷通道热分布图图一
冷通道流场分布图图二
（2）热通道
热通道热分布图图三
热通道流场分布图图四
1.2室内最高温度位置
通过所绘制出的冷、热通道热分布图，可以看到最高温度发生在热通道。
利用插值可以得到最高温度的位置，即：
室内最高温度位置在热通道距空调位置8m，距地板高度为2.1m，最高温度为55℃
利用CAD绘图软件画出三维的热分布图，图中星星处即为温度最高点。
图五
2.问题二
2.1热分布的数学模型及算法
假设各机柜的任务量是平均分配的，以附件二所给数据的X、Y、Z，以温度T作为纵坐标，以机房示意图右下角为坐标原点建立空间直角坐标系。
X的取值范围[0，8]，Y的取值范围[0，9.6]，Z的取值范围[0，3.2]。
研究温度T与通道位置X、据空调位置Y、距地板高度Z之间的关系，首先固定任务量R、通道位置X与距地板高度Z，根据数据，利用MATLAB软件中的plot语句绘制出温度T与据空调位置Y的关系曲线（如下图）：
图六
分析图可以近似得出T与Y之间函数关系为二元函数。
同理，可得T与Z之间的函数关系也为二元函数。
由附件二中通道五数据做出温度关于距空调距离、高度的三维图像，由于有12个任务量分配情况做出12个图，叠加在一个图中，如下：
（程序见附录）
图七
由该图像可看出图中12个图像中在同一个Y和Z下温度不同，但12个曲面形状基本相同，说明函数形式一致。
由图还可分析得Y与T的关系是二次函数，Z与T的关系也是二次函数关系。
通过MATLAB软件中的函数，建立模型T=k+aY+bZ+c
+d
。
在同一任务量R下，a、b、c、d变化不明显但k变化明显，k可由二元函数拟合。
由WPS表格画出曲线关系图：
图八
在任务量R分别为0.2、0.3、0.5时，绘制出T与Y的函数，发现T与R有关，拟合后剩余标准差在5左右，说明此回归模型的显著性较好,由此建立数学模型。
用MATLAB软件利用附表二中的数据绘出每个通道在不同任务量下的曲线关系图（程序见附表），通过回归得到热分布的数学模型：
T=k+aY+bZ+c
+d
k=19.5004-6.1455X-23.8013R+0.6569
+22.8186
a=2.0474+2.0937X+18.8778R-0.2250
+17.6572
b=-3.6337+1.0113X-9.3580R-0.1118
-7.7347
c=-0.2330-0.2280X-2.0545R+0.0246
+1.9136
d=1.2342-0.2427X+3.3913R+0.0272
-2.7986
Y为y坐标（距空调的位置：
m）
Z为z坐标（高度：
m）
T为温度（单位：
℃）
X为x坐标（通道位置：
m）
R为任务量
2.2与测试案例进行比较
测试附表一由模型算出各机柜任务量均为0.5，从附表二中任取一列数据代入基本吻合，说明模型建立正确。
3.问题三
分析附件一的流场数据，在通道二中高度2.1米以上风速近乎不变，在通道三的数据中从高度2.1米到2.7米风速仍有明显变动。
因为出风槽向冷通道送入冷气，冷气沿着冷通道向各个方向扩散，从机柜边缘慢慢进入热通道从而降低机房内热通道热点的温度，达到节能目的。
在冷通道位置较低靠近送风槽处风速较高，热通道由于没有送风槽出口，位置较低时风速不高。
同时在冷热通道高度近于空调的高度（2m）处，由于进风槽的影响风速也较高。
定义该机房的总体任务为1是指服务器均正常满负荷工作，当实际任务量为0.8和0.5时则机房服务器并未满负荷工作。
根据已知资料可知，通道3的任务量有变化。
此时假定每个机柜任务量为0.5时为满负荷工作，则由附录2中可知此时当x=1.1，2.4，4.1,5.1，7.1，8；y=2.1,3.1,4.1,6.1,7.1和z=0.2，1,1.8,2.6时的温度分布。
第一问中，冷热通道的热分布以及流场分布图图已绘出，由图形结合附录2给的大量数值我们可以得出以下两条结论：
1）对于通道3来说当机柜任务量减少时，温度也在减少，而且在z=1.8时尤为明显；
2）在冷热通道中，距空调位置越近，距机柜顶越近，温度越大，风速越快。
根据以上条件，我们对热通道3的任务量进行具体分析，如下图：
图
（一）x=4.1y=2.1,3.1,4.1,6.1,7.1z=0.2
图
（二）x=5.1y=2.1,3.1,4.1,6.1,7.1z=0.2
图（三）x=4.1y=2.1,3.1,4.1,6.1,7.1z=1
图（四）x=5.1y=2.1,3.1,4.1,6.1,7.1z=1
图（五）x=4.1y=2.1,3.1,4.1,6.1,7.1z=1.8
图（六）x=5.1y=2.1,3.1,4.1,6.1,7.1z=1.8
图（七）x=4.1y=2.1,3.1,4.1,6.1,7.1z=2.6
图（八）x=5.1y=2.1,3.1,4.1,6.1,7.1z=2.6
其中，纵轴均为温度，横轴1~12指的是附录2中依次不同的任务量，1为标准任务量均为0.5。
分别对比通道3
（1）和通道3
（2）的图，以所有机柜任务量为0.5作参考，大量数据表明在z=0.2,1和2.6时，温度只是在任务量大幅度改变时，温度有所改变，而z=1.8时，改变任务量大小或者只改变某一个或者两个机柜时，温度就会改变，而且改变幅度较其他高度比较大。
为此，我们只研究通道3，z=1.8时的任务量和温度的关系，并以x=4.1，y=4.1为例。
4.1
2.1
1.8
16.4
16.4
16.4
16.4
16.4
16.4
16.4
16.4
16.3
16.3
16.3
16.4
4.1
3.1
1.8
19.4
19.3
19.6
19.4
19.3
19.3
19.3
19.0
18.7
18.7
18.9
19.0
4.1
4.1
1.8
32.0
32.0
35.9
32.0
32.0
32.0
32.0
28.1
28.0
28.0
30.0
30.0
4.1
6.1
1.8
19.4
19.3
19.4
19.3
19.3
19.3
19.3
19.2
18.7
18.7
18.9
19.0
4.1
7.1
1.8
16.4
16.4
16.4
16.4
19.3
16.4
16.4
16.4
16.3
16.3
16.3
16.4
x
y
z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如此，我们得到以下几条发现：
（1）对比1，从2~5，当分别给机柜1,2,3,4增加0.3任务量时，温度几乎无变化（当改变机柜2的任务量为0.8时除外）；
（2）对比1，从6~8，当分别给机柜1减少到0.3，机柜3减少到0.2时任务量也没有大的改变，但改变机柜2到0.2时，y=4.1时的温度大幅度减小到T=28.1；
（3）对比1，比较9和12发现大幅度减少任务量，温度减小，反之亦然；
（4）对比9~11发现，改变机柜1的任务量对温度无影响，同时改变机柜1,4温度有变化，符合上述的任务量增加，温度增加；
（5）表格中只给出改变机柜1,2,3,4时的任务量温度变化，说明机柜1,2,3,4距空调较远，较小的收到空调的影响（此时忽略不计）。
由此得到以下结论：
（1）在通道内部温度随机柜总任务量的增加而增加，反之亦然；
（2）改变机柜1,3的任务量是对温度几乎没有影响，而改变机柜2,4的任务量时才对温度有影响。
对比通道3不同的任务量的改变，对于其他通道的影响并不大，对此我们将其忽略，认为没有影响。
综合以上所述对实际任务量为0.8和0.5进行分配。
之前我们已经假定0.5为每个机柜的满负荷，而此时机房实际任务量为0.8，则可知机柜未达到要求满负荷工作。
当每个机柜任务量为0.4时，则机房实际总任务量为0.8。
此时的温度分布为图不变，温度最高点位置不变仍为热通道3距空调8米，高2.1处约为48℃。
当实际机房任务量为0.5时，即为满负荷工作的一半时，此时我们要求其它机柜以及同道的部分机柜任务量为0.2，只是将机柜2,4的任务量定义为0.1。
通过上述，我们发现在任务量大量减少时，温度会减少，在相同条件下，改变机柜2,4可以更有效地降低温度，这是温度最高点为热通道3距空调8米，高2.1处，约为41℃。
将假述代入问题二中，成立，说明假述正确。
4.问题四
机房内最高温度发生在热通道，按照《电子信息系统机房设计规范》（附件3）C级要求控制机房温度，热通道最高温度降低是因为出风槽向冷通道送入冷气，冷气沿着冷通道向各个方向扩散，从机柜边缘慢慢进入热通道从而降低机房内热点的温度，达到节能目的。
C级要求机房控制温度在35℃之下。
因为某点风速与高度、距空调的距离、出风槽风速和出风槽温度有关，建立风速与它们之间的函数关系（MATLAB程序见附录），当已知热点的温度及其空间点位时即可求出该点风速：
V= 0.5654+0.0867Z-0.0450Y+0.0044
+0×
（1）
P=0.0000<0.05模型回归较好
建立空间中某点温度与该点风速距空调的距离、高度的函数关系（用多元线性函数回归，MATLAB程序见附录）
T=11.0669+3.8224Z+0.8356Y+8.2268V
（2）
求V可得：
V=（T-11.0669-3.8224Z-0.8356Y）/8.2268（3）
P=0.0135<0.05模型回归较好
在机房中有一热点，其温度T大于35℃，需通过空调送风降低温度。
将热点将要降低至的目标温度
及其高度Z、距空调距离Y代入函数，可求得该点风速
；根据所得风速
代入函数
（1），求解空调的送风速度
。
六．模型的评价
1.模型的优缺点
基于题目所给数据，及题中所提及的因素，所建模型的优点是能合理的将离散型变量取值数值化,建立模型。
在机房中知道某任务量下某位置坐标，即可求得该点温度；并可在求出该任务量情况下，机房中热点位置及其温度。
在所建模型中，若已确定热点位置及其温度，便可求出此时的送风槽送风温度。
为了达到调节热点温度的目的，若可知温度降低后的热点处温度，即可得出送风槽所需调节的温度，从而达到降低热点温度的目的。
在建模与编程过程中，该模型的缺点是使用的数据只是现实数据的一种近似，因而得出的结果可能与现实情况有一定的差距。
通过所建模型所求得的结果，都是在满足给定假设的情况下，现实情况中不可能达到如此理想的情况，并且现实情况中还有一些对温度影响的因素，在此题目中均未提及，所建模型也并未考虑。
七．模型的推广
本论文中所建立的模型基于数值回归的方法进行评价，使用了插值与拟合进行数值处理，模型能够很好地利用，并且各模型之间能够很好的衔接在一起，既能独自完成功能，同时也能够为其他问题中的模型提供非常必要的前提条件和评价指标。
若本论文能够在以下方面做进一步的深入研究，则将会有更大的现实推广意义。
1.本模型如果增加更多的现实影响因素，就对现实情况更加适用。
2.如果数值处理使用更加精确的插值，可产生更精密的结果。
八．参考文献
[1]董大校，基于MATLAB的多元非线性回归模型*，云南师范大学学报，第29卷第2期
[2]电子信息系统机房设计规范，GB50174—2008
[3]贾琼孙颡郭永昊，《模糊预测控制在VAV空调系统中的应用》（沈麓建筑大学建筑设诗研究院，沈阳事110015）
[4]刘圣庆，《解决数据中心散热难点问题的方案探讨》，中国网通广州市分公司
附录程序
1、第一问
冷通道
图一通道二x,y,t图像及语句
>>x=[2.42.42.42.42.4555557.27.27.27.27.2];
>>y=[0.30.91.52.12.70.30.91.52.12.70.30.91.52.12.7];
>>plot（x,y,'o'）
>>Z=[131317303013132530301313193030];
>>t=Z;
>>xi=2:
0.1:
8;yi=0:
0.1:
3;
>>[X,Y]=meshgrid（xi,yi）;
>>t=griddata（x,y,t,X,Y,'cubic'）;
>>mesh（X,Y,t）;
图二通道二流速分布x,y,v图像及其语句
>>x=[2.42.42.42.42.4555557.27.27.27.27.2];
>>y=[0.30.91.52.12.70.30.91.52.12.70.30.91.52.12.7];
>>plot（x,y,'o'）
>>Z=[0.60.60.91.11.10.40.40.50.60.60.40.20.20.20.2];
>>V=Z;
>>xi=2:
0.1:
8;yi=0:
0.1:
3;
>>[X,Y]=meshgrid（xi,yi）;
>>V=griddata（x,y,V,X,Y,'cubic'）;
>>mesh（X,Y,t）;
热通道
图三通道三的热分布x,y,t语句及其图像
>>x=[2.42.42.42.42.4555557.27.27.27.27.2];
>>y=[0.30.91.52.12.70.30.91.52.12.70.30.91.52.12.7];
>>plot（x,y,'o'）
>>Z=[272929302930293132302731315231];
>>T=Z;
>>xi=2:
0.1:
8;yi=0:
0.1:
3;
>>[X,Y]=meshgrid（xi,yi）;
>>T=griddata（x,y,T,X,Y,'cubic'）;
>>mesh（X,Y,T）
图四通道三流速分布x,y,v图像及其语句
>>x=[2.42.42.42.42.4555557.27.27.27.27.2];
y=[0.30.91.52.12.70.30.91.52.12.70.30.91.52.12.7];
plot（x,y,'o'）
>>Z=[0.40.60.70.80.90.40.50.60.70.60.40.60.60.60.5];
>>V=Z;
>>xi=2:
0.1:
8;yi=0:
0.1:
3;
[X,Y]=meshgrid（xi,yi）;
>>V=griddata（x,y,V,X,Y,'cubic'）;
>>mesh（X,Y,V）
2、第二问
图六程序
X=1.1z=0.211.82.6时，y-T之间关系
>>x=[2.13.14.16.17.1];
>>y=[21.322.223.421.321.3];
>>xi=0:
0.1:
9.2;
>>yi=interp1（x,y,xi）;
plot（x,y,'kd',xi,yi）
>>holdon;
>>x=[2.13.14.16.17.1];
>>y1=[17.519.225.417.617.5];
>>xi=0:
0.1:
9.2;
yi=interp1（x,y1,xi）;
>>plot（x,y1,'kd',xi,yi）
>>holdon;
>>x=[2.13.14.16.17.1];
>>y2=[17.023.729.022.117.0];
>>xi=0:
0.1:
9.2;
>>yi=interp1（x,y2,xi）;
>>plot（x,y2,'kd',xi,yi）
>>x=[2.13.14.16.17.1];
>>y3=[25.128.429.227.625.1];
>>xi=0:
0.1:
9.2;
>>yi=interp1（x,y3,xi）;
>>plot（x,y3,'kd',xi,yi）
图七程序
由附件二中通道五数据做出温度关于距空调距离、高度的三维图像，由于有12个任务量分配情况做出12个图，叠加在一个图中的程序：
h=[0.20.20.20.20.2111111.81.81.81.81.82.62.62.62.62.6];高度
y=[2.13.14.16.17.12.13.14.16.17.12.13.14.16.17.12.13.14.16.17.1];据空调位置
Z1=[21.322.223.421.321.317.519.225.417.617.517.023.729.022.117.025.128.429.227.625.1];温度
>>T1=Z1;
>
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