集合的运算交集并集.docx
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集合的运算交集并集
1.3
(1)集合的运算(交集、并集)
上海市松江一中潘勇
一、教学内容分析
本小节的重点是交集与并集的概念,只要结合图形,抓住概念中的关键词“且”、“或”,理解它们并不困难。
可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义:
求方程组的解集是求各个方程的解集的交集,求方程
的解集,则是求方程
和
的解集的并集。
本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别。
突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号、简单的性质和推论,并会正确地表示一些简单的集合。
利用数形结合的思想,将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来,从而求集合的交集、并集、补集,这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法,要注意灵活运用.
二、教学目标设计
理解交集与并集的概念;掌握有关集合运算的术语和符号,能用图示法表示集合之间的关系,会求给定集合的交集与并集;知道交集、并集的基本运算性质。
发展运用数学语言进行表达、交流的能力。
通过对交集、并集概念的学习,提高观察、比较、分析、概括等能力。
三、教学重点及难点
交集与并集概念、数形结合思想方法在概念理解与解题中运用;
交集与并集概念、符号之间的区别与联系。
四、教学流程设计
运用与深化(例题解析、巩固练习)
五、教学过程设计
一、复习回顾
思考并回答下列问题
1、子集与真子集的区别。
2、含有n个元素的集合子集与真子集的个数。
3、空集的特殊意义。
二、讲授新课
关于交集
1、概念引入
(1)考察下面集合的元素,并用列举法表示(课本p12)
A=
B=
C=
解答:
A={1,2,5,10},B={1,3,5,15},C={1,5}
[说明]启发学生观察并发现如下结论:
C中元素是A与B中公共元素。
(2)用图示法表示上述集合之间的关系
2,101,53,15
2、概念形成
⏹交集定义
一般地,由集合A和集合B的所有公共元素所组成的集合,
叫做A与B的交集。
记作A∩B(读作“A交B”),即:
A∩B={x|x∈A且x∈B}(让学生用描述法表示)。
⏹交集的图示法
⏹请学生通过讨论并举例说明。
3、概念深化
交集的性质(补充)
由交集的定义易知,对任何集合A,B,有:
A∩A=A,A∩U=A,A∩φ=φ;②A∩B
A,A∩B
B;③A∩B=B∩A;④A∩B∩C=(A∩B)∩C=A∩(B∩C);⑤A∩B=A
A
B。
4、例题解析
例1:
已知
,B=
,求
。
(补充)
解:
[说明]①启发学生数形结合,利用数轴解题。
②求交集的实质是找出两个集合的公共部分。
例2:
设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求
A∩B。
(补充)
解:
A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}
={x|x是等腰直角三角形}
[说明]:
此题运用文氏图,其公共部分即为A∩B
例3:
设A、B两个集合分别为
,
,求A∩B,并且说明它的意义。
(课本p11例1)
解:
={(3,4)}
[说明]
表示方程组的解的集合,也可以理解为两条一次函数的图像的交点的坐标集合。
例4(补充)设A={1,2,3},B={2,5,7},C={4,2,8},
求(A∩B)∩C,A∩(B∩C),A∩B∩C。
解:
(A∩B)∩C=({1,2,3}∩{2,5,7})∩{4,2,8}={2}∩{4,2,8}={2};A∩(B∩C)={1,2,3}∩({2,5,7}∩{4,2,8})={1,2,3}∩{2}={2};A∩B∩C=(A∩B)∩C=A∩(B∩C)={2}。
三、巩固练习
练习1.3
(1)
关于并集
1、概念引入
引例:
考察下面集合的元素,并用列举法表示
A=
},B=
,C=
答:
A=
,B={-3},C={2,-3}
[说明]启发学生观察并发现如下结论:
C中元素由A或B的元素构成。
2、概念形成
⏹并集的定义
一般地,由所有属于A或属于B的元素组成的集合,叫做A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”),即A∪B={x|x∈A或x∈B}。
⏹并集的图示法
⏹请学生通过讨论并举例说明。
3、概念深化
⏹并集的性质(补)
①A∪A=A,A∪U=U,A∪φ=A;②A
(A∪B),B
(A∪B);③A∪B=B∪A;④A∩B
A∪B,当且仅当A=B时,A∩B=A∪B;⑤A∪B=A
B
A.
[说明]交集与并集的区别(由学生回答)(补)
交集是属于A且属于B的全体元素的集合。
并集是属于A或属于B的全体元素的集合。
x∈A或x∈B的“或”代表了三层含义:
即下图所示。
4、例题解析
例5:
设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B。
(补充)
解:
∴A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},
则A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}。
[说明]①运用文恩解答该题。
②用例举法求两个集合的并集,只需把两个集合中的所有元素不重复的一一找出写在大括号中即可。
例6:
设A={a,b,c,d},B={b,d,e,f},求A∩B,A∪B。
(课本p12例2)
解:
A∩B={b,d},则A∪B={a,b,c,d,e,f}。
例7:
设A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角},求A∪B。
(补充)
解:
A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}。
例8:
设A={x|-21或x<-1},求A∪B。
(课本P12例3)
解:
A∪B=R
[说明]本题是集合语言及运算与简单不等式相结合的问题,解题中应充分利用数形结合思想,体现抽象与直观的完美结合。
例9、已知A={x|x=2k,k∈Z或x∈B},B={x|x=2k-1,k∈Z},求A∪B。
(课本P12例4)
[说明]解题的关键是读懂描述法表示集合的含义。
三、巩固练习:
1.3
(2)
补充练习
1、设A={x|-1解析:
利用数轴,将A、B分别表示出来,则阴影部分即为所求.
解:
将A={x|-1A∪B={x|-12、A={1,3,x},B={
1},且A∪B={1,3,x}。
求x?
3、{0,1}∪A={0,1,2},求A的个数?
4、A={x|-2四、课堂小结
1.交集、并集的概念;交集并集的求法;交集并集的基本性质,以及有关符号的正确使用.
2.求两个集合的交集、并集时,往往先将集合化简,求两个数集的交集、并集,可通过数轴直观显示或利用韦恩图表示,有助于解题.
3、区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字出发去揭示、挖掘题设条件,进而用集合语言表示,从而解决问题。
五、课后作业
1、书面作业:
习题1.3----4,5,6,7,8,9
2、思考题:
设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的什么条件?
(“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件)
3、思考题:
设集合A={-4,2m-1,m2},B={9,m-5,1-m},又A∩B={9},求实数m的值.
解:
∵A∩B={9},A={-4,2m-1,m2},B={9,m-5,1-m},∴2m-1=9或m2=9,解得m=5或m=3或m=-3.
若m=5,则A={-4,9,25},B={9,0,-4}与A∩B={9}矛盾;
若m=3,则B中元素m-5=1-m=-2,与B中元素互异矛盾;
若m=-3,则A={-4,-7,9},B={9,-8,4}满足A∩B={9}.∴m=-3。
六、教学设计说明
1、注重数形结合,从集合A和B的文氏图中引出交集、并集
的概念在引出交集、并集的概念时,最好不要直接给出它们各自概念的含义,建议结合图形,启发学生从集合A和集合B的文氏图中,寻找它们之间的联系,学生较为容易接受,理解也较为深刻,为以后进行集合之间的交并运算打下基础。
2、注意交集、并集概念的符号语言表示,提高学生的数学语言表达能力。
教材对于交集、并集的概念还给出了它们各自的符号语言表示,即:
①
②对于符号语言的表示要注意它们的区别和联系,抓住概念中的关键词“且”、“或”。
①中的“且”字,它说明
的任一元素
都是A与B的公共元素。
由此可知,
必是A与B的公共子集,即:
。
②式中的“或”字的意义,“
”这一条件,包括下列三种情况:
,
,且
(很明显,适合第三种情况的元素
构成的集合就是
)。
还要注意,A与B的公共元素在
中只出现一次。
因此,
是由所有至少属于A,B两者之一的元素组成的集合。
由定义可知,A与B都是
的子集,联系到
都是A,B的子集,可得下面的关系式:
3、运用对比教学的方法,使学生区分交、并集的概念,能正确对集合之间求交与求并。
教师在讲解了交集、并集的概念后,可以涉及一个表格,让学生填写内容。
见下表:
名 称
交 集
并 集
定
义
由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的交集。
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的并集。
记 号
(读作“A交B”)
(读作“A并B”)
简 而
言 之
A与B的公共元素组成的集合即
且
A与B的所有元素组成的集合即
或
图 示
(一般情形)
(阴影为
)
(阴影为
)
性
质
,
,
,
。
,
,
,
。
4、可是当补充用图示法(即文氏图)表示集合之间的关系的问题。
用图示法表示集合之间的关系有两层意思:
一方面给定一个集合或集合之间的运算关系,会用图示法(即维恩图)表示;另一方面给出一个维恩图,会用集合表示图中指定的部分(如阴影部分)。
作一些这方面的引导和训练,既可加深对集合关系及运算的理解,又可提高学生数形结合的能力,还可不断培养正向思维和逆向思维的能力。
5、适当地运用集合关系进行简单推理。
运用集合关系进行简单推理虽不是本节的教学要求,但对学有余力的学生不失为一种良好的思维训练,有助于提高抽象思维能力。