矩形的判定练习题.docx
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矩形的判定练习题
18.2.1.2矩形的判定
【基础诊断】
1.如图18-2-16,在平行四边形ABCD中,请添加一个条件:
________(不再添加其他字母和辅助线),使得平行四边形ABCD成为矩形.
图18-2-16
2.②如图18-2-17,工人师傅砌门时,要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是不是矩形),在确保两组对边分别平行的前提下,只要测量出对角线AC,BD的长度,然后看它们是否相等就可以判断了.
图18-2-17
(1)当AC________(填“等于”或“不等于”)BD时,门框符合要求;
(2)这种做法的根据是________________________.
3.已知:
如图18-2-18,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠1=∠2.求证:
平行四边形ABCD是矩形.
图18-2-18
命题点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
4.如图18-2-19,在△ABC中,AC=BC,CD平分∠ACB交AB于点D,CE∥AB,且CE=
AB.求证:
四边形CDBE是矩形.
图18-2-19
命题点2 有三个角是直角的四边形是矩形
5.如图18-2-20,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=5,BC=12,AC=13.求证:
四边形ABCD是矩形.
图18-2-20
6.已知:
如图18-2-21所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E,猜想四边形ADCE的形状,并给予证明.
图18-2-21
命题点3 对角线相等的平行四边形是矩形
7.如图18-2-22,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么可以添加的条件是( )
图18-2-22
A.AB=CDB.AD=BC
C.AB=BCD.AC=BD
8.如图8-2-23,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AD∥BC,AC=BD.试添加一个条件:
________,使四边形ABCD为矩形.
图18-2-23
9.如图18-2-24,已知平行四边形ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长,交DC的延长线于点F,且AF=AD,连接BF,求证:
四边形ABFC是矩形.
图18-2-24
10.如图18-2-25,平行四边形ABCD中,延长边AB到点E,使BE=AB,连接DE,BD和EC,设DE交BC于点O,∠BOD=2∠A.求证:
四边形BECD是矩形.
图18-2-25
命题点4 矩形的性质与判定
11.如图18-2-26,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,M为EF的中点,则AM的最小值为( )
图18-2-26
A.
B.
C.
D.
12.矩形ABCD中,AB=2cm,BC=5cm,P,Q分别为AD,BC上的动点,点P从点D出发向点A运动,运动到点A时停止,点Q同时从点B出发向点C运动,运动到点C时停止,点P,Q的速度都是1cm/s,设点P,Q运动的时间为ts.
(1)如图18-2-27①,连接PQ,AQ,CP,当t=________时,四边形ABQP是矩形;
⑧
(2)如图18-2-27②,当点P,Q运动1s时,连接AQ,CP,BP,DQ,AQ交BP于点H,CP交DQ于点F,得到四边形HPFQ.求证:
四边形HPFQ是矩形.
图18-2-27
13.如图18-2-28,以△ABC(∠BAC≠60°)的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF,请回答下列问题:
(1)四边形ADEF是什么特殊形状的四边形?
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?
(3)为什么题中有条件∠BAC≠60°?
图18-2-28
答案
1.答案不唯一,如∠A=90°
2.
(1)等于
(2)对角线相等的平行四边形是矩形
3.证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵∠1=∠2,
∴OA=OB,∴OA=OB=OC=OD,即AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.
4.证明:
∵AC=BC,CD平分∠ACB交AB于点D,
∴CD⊥AB,AD=BD=
AB,∴∠CDB=90°.
∵CE=
AB,∴CE=BD.
∵CE∥AB,∴CE∥BD,
∴四边形CDBE是平行四边形.
又∵∠CDB=90°,
∴四边形CDBE是矩形.
5.证明:
∵四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中,AB=5,BC=12,AC=13,满足132=52+122,
∴△ABC是直角三角形,且∠B=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
6.解:
四边形ADCE是矩形.
证明:
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD平分∠BAC,即∠BAD=∠CAD.
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,
∴∠MAN=∠CAN,
∴∠DAN=
∠BAC+
∠CAM=90°.
又∵CE⊥AN,AD⊥BC,∴∠ADC=∠AEC=90°,∴四边形ADCE是矩形.
7.D [解析]因为四边形ABCD的对角线互相平分,所以四边形ABCD是平行四边形,所以只需添加对角线相等即AC=BD,即可得四边形ABCD是矩形.
8.答案不唯一,如AD=BC等 [解析]四边形ABCD的对角线AC=BD,所以只需添加条件使四边形ABCD是平行四边形即可.因为AD∥BC,所以可以添加AD=BC,即一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
9.证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD=BC,
∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE.
∵E为BC的中点,
∴EB=EC,∴△ABE≌△FCE,∴AB=CF.
∵AB∥CF,∴四边形ABFC是平行四边形.
∵AF=AD,∴BC=AF,
∴四边形ABFC是矩形.
10.证明:
在平行四边形ABCD中,∠A=∠BCD,
AB=CD,AB∥CD,则BE∥CD.
又∵AB=BE,∴BE=CD,∴四边形BECD为平行四边形,∴OD=OE,OC=OB.
∵∠BOD=2∠A,∠A=∠BCD,∠BOD=∠OCD+∠ODC,∴∠OCD=∠ODC,
∴OC=OD,
∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED,
∴四边形BECD是矩形.
11.D [解析]连接AP.∵在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,∴AB2+AC2=BC2,
∴∠BAC=90°.又∵PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,∴四边形AEPF是矩形,∴EF=AP.
∵M是EF的中点,∴AM=
EF=
AP.
∵AP的最小值为直角三角形ABC斜边上的高,等于
,
∴AM的最小值是
.
12.解:
(1)
[解析]∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=5cm,AD∥BC,∠B=90°.当AP=BQ时,四边形ABQP是矩形,即5-t=t,解得t=
.
(2)证明:
在矩形ABCD中,AD=BC,AD∥BC.∵当t=1时,PD=BQ=1cm,∴四边形DPBQ是平行四边形,∴BP∥DQ.∵AD=BC,AD∥BC,DP=BQ,∴AP=CQ,AP∥CQ,∴四边形APCQ是平行四边形,∴AQ∥CP,∴四边形HPFQ是平行四边形.∵在矩形ABCD中,
∠ADC=∠ABQ=90°,AD=BC=5cm,AB=CD=2cm,由勾股定理得:
CP=
cm,BP=2
cm,∴BP2+CP2=BC2,∴∠BPC=90°,
∴四边形HPFQ是矩形.
13.解:
(1)四边形ADEF是平行四边形.
理由:
∵△ABD,△EBC都是等边三角形,
∴AD=BD=BA,BC=BE=EC,
∠DBA=∠EBC=60°,∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA,∴∠DBE=∠ABC.
在△DBE和△ABC中,∵BD=BA,∠DBE=∠ABC,BE=BC,∴△DBE≌△ABC,
∴DE=AC.
又∵△ACF是等边三角形,
∴AC=AF,∴DE=AF.
同理可证:
AD=EF,
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)∵四边形ADEF是矩形,∴∠DAF=90°,
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°,
∴当∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.
(3)当∠BAC=60°时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.
理由如下:
若∠BAC=60°,则∠DAF=360°-∠BAC-∠DAB-∠FAC=360°-60°-60°-60°=180°.
此时,A,D,E,F四点共线,∴此时以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.