最新版二次函数压轴题三.docx
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最新版二次函数压轴题三
二次函数（三）2017.9
1.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为D，且经过点和点．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标．
（2）若点在直线上运动，当点到直线的距离等于点到轴的距离时，求的值
（3）若直线经过点，交轴于点．探究：
在轴上方的抛物线上是否存在点，使得?
若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
2.在平面直角坐标系中，抛物线：
与轴相交于，两点（点A在点B的左侧），顶点为，，设点是轴的正半轴上一点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，求的取值范围．
（3）若是第一象限内抛物线上一点，它到两坐标轴的距离相等，点在抛物线上的对应点，设是上的动点，是上的动点，试探究四边形能否成为正方形?
若能，求出的值；若不能，请说明理由．
3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求直线的解析式；
（2）点为直线下方抛物线上的一点，连接，．当的面积最大时，连接，，点是线段的中点，点是上的一点，点是上的一点，求的最小值；
（3）点是线段的中点，将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过点，的顶点为点．在新抛物线的对称轴上，是否存在点，使得为等腰三角形?
若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4.已知抛物线经过点和，并交轴于；抛物线，
（1）试求抛物线的函数解析式；
（2）求证：
抛物线与轴一定有两个不同的交点；
（3）若．①抛物线，顶点分别为 ， ；当的取值范围是 时，抛物线，上的点的纵坐标同时随横坐标增大而增大；
②已知直线分别与轴，，分别交于点，，，且轴，当时，求线段的最大值．
5.已知抛物线（为常数，）．，，是该抛物线上不同的三点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点逆时针旋转得到直线，过抛物线顶点作于．
（1）用含的代数式表示抛物线的顶点坐标；
（2）若无论取何值，抛物线与直线（为常数）有且仅有一个公共点，求的值；
（3）当时，试比较，，之间的大小．
6.已知二次函数．
（1）当时，求这个二次函数的对称轴方程；
（2）若，问：
为何值时，二次函数的图象与轴相切；
（3）若，二次函数的图象与轴交于点，，且，与轴的正半轴交于点，以为直径的半圆恰好经过点，二次函数的对称轴与轴、直线、直线分别相交于点，，且满足，求二次函数的表达式．
7.已知抛物线与y轴交于点M，与x轴交于点A和B，且与关于y轴对称，
（1）求出的解析式，
（2）若C为AB的中点，求sin∠CMB．
（3）如果过点M的一条直线与图象相交于另一点N，，且（），求点N的坐标．
8.【阅读材料】抛物线y=上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=-1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．
【问题解决】如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．
（1）写出点C的坐标，并求证：
∠ECF=90°；
（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．
①求证：
PE2+PF2=2（PM2+EM2）；
②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．
9.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点在第一象限内，点是二次函数图象的顶点，点是一次函数的图象与轴的交点，过点作轴的垂线，垂足为，且．
（1）直接写出直线和直线的解析式；
（2）点是线段上一点，点是线段上一点，轴，射线与抛物线交于点，过点作轴于点，于点．当最大时，在线段上找一点（不与点，点重合），使的值最小，求点的坐标和的最小值；
（3）设直线上有一点，将二次函数沿直线平移，平移的距离是，平移后抛物线上点，点的对应点分别为点，点；当是直角三角形时，求的值．
10.在平面直角坐标系中，为坐标原点，线段的两个端点的坐标分别为，，点为线段的中点，现将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，抛物线经过点．
（1）若该抛物线经过原点，且．
①求点的坐标及该抛物线的解析式；
②连接，问：
在抛物线上是否存在点，使得与互余?
若存在，请求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
（2）若该抛物线经过点，点在抛物线上，且满足与互余，若符合条件的点的个数是个，求的取值范围
11.在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与抛物线相交于，两点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点，使得是以线段为斜边的直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点是线段上一动点（点不与点，重合），过点作交第一象限内的抛物线于点，过点作轴于点，交于点，若，的面积，满足，求的值，并求出此时点的坐标．
12.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点的坐标为，且与轴交于点，点（点在点的左边），与轴交于点．
（1）填空：
， ，直线的解析式为 ；
（2）直线与轴相交于点.
①当时得到直线（如图1），点为直线下方抛物线上一点，若，求出此时点的坐标；
②当时（如图2），直线与线段，和抛物线分别相交于点，，．试证明线段，，总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为，求此时的值．
13.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，直线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在上方的抛物线上有一动点．
①当点运动到某位置时，以，为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点的坐标；
②过点，的直线交于点，若，求的值．
14.已知抛物线过点A，顶点为B，且不过第三象限
（1）试判断点B所在的象限，并说明理由；
（2）若直线过点B，且与抛物线交于另一点，求：
当时，的取值范围
15.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴相交于点A（，0），B（，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，•＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线上．
（1）求点C的坐标；
（2）当随着的增大而增大时，求自变量的取值范围；
（3）将抛物线向左平移个单位，记平移后随着的增大而增大的部分为P，直线向下平移个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求的最小值．
16.在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax2（a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，
（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．
（2）如图2所示，在
（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？
如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
（3）在
（2）的条件下，若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．
答案
第一部分
1.
（1）因为抛物线经过点和点，
所以，解得：
，
所以
所以．
（2）如图，设，过作于点，设直线与直线交于点，
则，
直线的解析式为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
①若点在第一象限，则，
所以，
所以，
②若点在第四象限，则，
所以，
所以．
（3）因为直线过点，所以可求得直线．
过点作，交轴于点，如图，可求得直线．
所以，
所以的中点．
所以过点平行于的直线为．
所以
解得，或（舍去）
所以．
2.
（1）由题意抛物线的顶点，，设抛物线的解析式为，把代入可得，
所以抛物线的函数表达式为．
（2）由题意抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，
由消去得到，
由题意，抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，则有
解得，
所以满足条件的的取值范围为．
（3）结论：
四边形能成为正方形．
理由：
情形，如图，作轴于，轴于．
由题意易知，当是等腰直角三角形时，四边形是正方形，
所以，，易证，可得，，
所以，
因为点在上，
所以，解得或（舍去），
所以时，四边形是正方形．
情形，如图，
四边形是正方形，同法可得把代入中，，解得或（舍去），
所以时，四边形是正方形．
所以或时，四边形是正方形．
3.
（1）当时，即，解这个方程，
得，．
所以点，．
当时，，
所以点，
所以直线的解析式为．
（2）令，得，
所以点，
因为点，
设直线的解析式为，
则有
解得
所以直线的解析式为．
过点作轴，交于点，如答图．
设点的坐标为，
则，
所以
所以
因为，
所以抛物线开口向下，
因为，
所以当时，取得最大值．
此时，点为．
因为点，，
所以．
因为．
所以轴，
作点关于的对称点，
则．
因为，
所以．
因为，
所以．
所以．
所以．
所以平分．
所以点关于的对称点在轴上．
因为，
所以点与点重合．
连接，交于点，交于点，
如答图，
所以，．
所以．
根据“两点之间，线段最短”可得，当，，，四点共线时，此时的值最小，
所以．
所以的最小值为．
（3）存在，点的坐标为，，，．
4.
（1）抛物线过，，
可设的解析式为，
当，，
，
，
．
（2）在中，
令可得，
，
抛物线与轴一定有两个不同的交点．
（3）①；；
②联立两抛物线解析式可得
解得或
，的两交点坐标为和，且抛物线与轴交于点和，
直线分别与轴，，分别交于点，，，且轴，
，，
当时，如图，
则
，
当时，有最大值．
当时，如图，
则，
有最小值，但在对称轴右边随增大而增大，
当时，，
综合可知当时，最大值为．
【解析】当时，
①抛物线的解析式为，抛物线的解析式为，
，的顶点分别为，．
，，
抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，
当时，抛物线，上的点的纵坐标同时随横坐标增大而增大．
5.
（1），
顶点坐标．
（2）由消去得，
抛物线与轴有且仅有一个公共点，
，
即，
无论取何值，方程总是成立，
，
．
（3），
，
当时，有，
又，
，
当时，，
又，
，
或，
在抛物线上，
，
在抛物线上，
，
，
①令，则有，结合，
，
此时，在对称轴的左侧随的增大而减小，如图，
，
即当时，有．
②令，则与重合，此情形不合题意，舍弃．
③令，且时，有，结合，
，
此时，在对称轴的左侧，随的增大而减小，如图，
，
即当时，有，
④令，有，结合，
，
此时，在对称轴的右侧随的增大而增大，如图，
．
⑤令，，重合，不合题意舍弃．
⑥令，有，结合，
，
此时，在对称轴的右侧，随的增大而增大，如图，
，
即当时，有，
综上所述，或时，有；时，有．
6.
（1）时，二次函数的对称轴方程为，
即二次函数的对称轴方程为．
（2）与轴相切就是与轴只有一个交点，
有两个相等的实数根，即
，
，
．
（3），
，，
设，则，
则，对称轴为直线，
直线经过点，，
设直线的函数表达式为，
则
解得
，
直线经过点，，
设直线的函数表达式为，
则
解得
，
，
，，
，
，，
，
．
，
，
或（不合题意，舍去），
，
．
8.解：
（1）当x=0时，y=k•0+1=1，
则点C的坐标为（0，1）．
根据题意可得：
AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE．
∵AE⊥EF，CO⊥EF，
∴AE∥CO，
∴∠AEC=∠OCE，
∴∠ACE=∠OCE．
同理可得：
∠OCF=∠BCF．
∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°，
∴2∠OCE+2∠OCF=180°，
∴∠OCE+∠OCF=90°，即∠ECF=90°；
（2）①过点P作PH⊥EF于H，
Ⅰ．若点H在线段EF上，如图2①．
∵M为EF中点，
∴EM=FM=
EF．
根据勾股定理可得：
PE2+PF2﹣2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2﹣2PM2
=2PH2+EH2+HF2﹣2（PH2+MH2）
=EH2﹣MH2+HF2﹣MH2
=（EH+MH）（EH﹣MH）+（HF+MH）（HF﹣MH）
=EM（EH+MH）+MF（HF﹣MH）
=EM（EH+MH）+EM（HF﹣MH）
=EM（EH+MH+HF﹣MH）
=EM•EF=2EM2，
∴PE2+PF2=2（PM2+EM2）；
Ⅱ．若点H在线段EF的延长线（或反向延长线）上，如图2②．
同理可得：
PE2+PF2=2（PM2+EM2）．
综上所述：
当点H在直线EF上时，都有PE2+PF2=2（PM2+EM2）；
②连接CD、PM，如图3．
∵∠ECF=90°，
∴▱CEDF是矩形，
∵M是EF的中点，
∴M是CD的中点，且MC=EM．
由①中的结论可得：
在△PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），
在△PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）．
∵MC=EM，
∴PC2+PD2=PE2+PF2．
∵PE=PF=3，
∴PC2+PD2=18．
∵1＜PD＜2，
∴1＜PD2＜4，
∴1＜18﹣PC2＜4，
∴14＜PC2＜17．
∵PC＞0，
∴
＜PC＜
．
9.
（1）因为点是二次函数图象的顶点，
所以，
因为轴，轴，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
把代入二次函数解析式中，可得，
所以（舍），
所以，
因为的坐标为，
所以直线解析式为，
因为，，
所以直线解析式为．
（2）如图1，
设点，
所以，
所以，，
因为固定不变，
所以的值固定，
所以最大时，也最大，
，
所以当时，最大，
即：
最大．此时
因为是等腰直角三角形，
过作轴的平行线，
所以，
的最小值转化为求的最小值，
所以当和在一条直线上时，的值最小，
此时，最小值为．
（3）令直线与轴交于点，
所以
所以，，
所以沿直线平移时，横坐标平移时，纵坐标则平移，平移后，，
所以，，，
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时．
10.
（1）①过点作轴于点，如图所示．
因为，，
所以，
又，，
所以.
所以，.
所以点的坐标是.
根据题意得，且，
所以.
所以该抛物线的解析式为．
②因为、两点的纵坐标都为，
所以轴.
所以.
所以与互余，
若要使与互余，
则需满足，
设点的坐标为
（Ⅰ）当点在轴的上方时，过点作轴于点.
则，即，
所以.
解得（舍去），.
所以.
所以点的坐标是．
（Ⅱ）当点在轴的下方时，过点作轴于点.
则同理可得：
所以，解得：
（舍去），
所以
所以点的坐标是．
综上所述：
在抛物线上存在点，，使得与互余．
（2）
【解析】由，在抛物线上，
，.
.
抛物线开口向下，
若满足与互余且符合条件的点的个数是个，则点在轴的上、下方各有两个，
（i）当点在轴的上方时，直线与抛物线有两个交点，满足条件的有个；
根据
（2）可知，要使得与互余，则必须，
，此时直线的斜率为，
则直线的解析式为，
要使直线与抛物线有两个交点，
所以方程有两个不相等的实数根，
所以.
则此时直线与抛物线始终有两个交点．
（ii）当点在轴的下方时，要使直线与抛物线有两个交点，抛物线与轴的交点必须在轴的正半轴上，与轴的交点在轴的负半轴，
所以，解得.
11.
（1）因为点，在抛物线的图象上，
所以
所以抛物线的解析式为．
（2）存在三个点满足题意，理由如下：
当点在轴上时，过点作轴于点，
因为点，
所以点坐标为；
当点在轴上时，设点，则：
，，
，
因为是以为斜边的直角三角形，
所以，
即，
解得：
，
所以点坐标为，或．
（3）过点作于点，
因为，
所以，
所以，
所以，
在中，，，
所以，
所以，
设，则，
在中，，
因为，
所以，
所以，
因为，的面积满足，
所以，
所以，
所以．
因为，
因为点在抛物线上，
所以，
所以或（舍去），
所以，，
所以点的坐标为．
12.
（1）；；
【解析】因为抛物线的顶点的坐标为，
所以
解得：
所以抛物线解析式为：
.
令，得：
.
解得：
，.
所以，.
令，得.
所以.
设直线的解析式为：
.
将，代入，
得：
解得：
所以直线的解析式为：
.
（2）①设点的坐标为.
因为，
所以.
所以.
解得：
.
因为，
所以.
故点的坐标为.
②设直线的解析式为.
将点，代入，
得：
解得：
所以直线的解析式为：
.
因为当时，，，，
所以，.
因为，
所以.
又，，
所以当时，线段，，总能组成等腰三角形；
由题意得：
，即，
整理得：
.
解得：
，，
因为，
所以．
13.
（1）直线经过两点，
点坐标是，点坐标是，
又抛物线过两点，
解得
抛物线的解析式为．
（2）①如图1，
，
抛物线的对称轴是直线．
以，为邻边的平行四边形的第四个顶点恰好也在抛物线上，
，．
都在抛物线上，
关于直线对称，
点的横坐标是，
当时，，
点的坐标是；
②过点作交于点，
，
，
．
又，，
．
设点，
，
化简得，解得，．
当时，；当时，，即点坐标是或．
又点在直线上，
或．
14.
（1）第四象限
证明：
抛物线不经过第三象限，即开口向上
抛物线与x轴有一交点A，且抛物线不经过第三象限
顶点一定在第四象限
（2）在抛物线上，则：
b+8=0，故b=-8；a+c=8
把B、C两点代入直线解析式中，得：
c=6，a=2
画图易知，C在A的右侧
所以，时，=-2
15.
分析：
（1）利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标，再利用O，C两点间的距离为3求出即可；
（2）分别利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C（0，﹣3），即c=﹣3，得出A，B点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案；
（3）利用①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，得出y1向左平移n个单位后，则解析式为：
y3=﹣（x+1+n）2+4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：
y3=（x﹣1+n）2﹣4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，进而利用配方法求出函数最值．
解答：
解：
（1）令x=0，则y=c，
故C（0，c），
∵OC的距离为3，
∴|c|=3，即c=±3，
∴C（0，3）或（0，﹣3）；
（2）∵x1x2＜0，
∴x1，x2异号，
①若C（0，3），即c=3，
把C（0，3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=3，即t=3，
∴y2=﹣3x+3，
把A（x1，0）代入y2=﹣3x+3，则﹣3x1+3=0，
即x1=1，
∴A（1，0），
∵x1，x2异号，x1=1＞0，∴x2＜0，
∵|x1|+|x2|=
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