所以直线AB的方程为y＝x＋1或y＝x－.
题型三 椭圆与向量等知识的综合
例3已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0），e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且＝λ（其中λ>1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求实数λ的值．
解
（1）由椭圆的焦距为2，知c＝1，又e＝，∴a＝2，
故b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
（2）由＝λ，可知A，B，F三点共线，
设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．
若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不符合题意；
当AB所在直线l的斜率k存在时，
设l的方程为y＝k（x－1）．
由消去y得
（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0.①
①的判别式Δ＝64k4－4（4k2＋3）（4k2－12）
＝144（k2＋1）>0.
∵
∴x1＋x2＝＝2×＝，∴k2＝.
将k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，
解得x＝.
又＝（1－x1，－y1），＝（x2－1，y2），＝λ，
即1－x1＝λ（x2－1），λ＝，又λ>1，∴λ＝.
思维升华一般地，在椭圆与向量等知识的综合问题中，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和基本思想．
跟踪训练2已知椭圆C的两个焦点分别为F1（－1,0），F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2.
（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且⊥，求直线l的方程．
解
（1）△F1B1B2为等边三角形，
则⇒⇒
椭圆C的方程为＋3y2＝1.
（2）易知椭圆C的方程为＋y2＝1，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x－1），
由得（2k2＋1）x2－4k2x＋2（k2－1）＝0，
由已知得Δ>0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1＋x2＝，x1x2＝，
＝（x1＋1，y1），＝（x2＋1，y2），
因为⊥，所以·＝0，
即（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2＝x1x2＋（x1＋x2）＋1＋k2（x1－1）（x2－1）＝（k2＋1）x1x2－（k2－1）（x1＋x2）＋k2＋1＝＝0，
解得k2＝，即k＝±，
故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：
x2＋y2＝4没有交点，则过点P（m，n）的直线与椭圆＋＝1的交点个数是（ ）
A．至多为1B．2
C．1D．0
答案 B
解析 由题意知，>2，即<2，
∴点P（m，n）在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.
2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A.B.
C.D.
答案 B
解析 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为（1,0），则直线AB的方程为y＝2x－2.
联立解得交点坐标为（0，－2），，
不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝，
∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|
＝×1×＝，
故选B.
3．已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P（4,2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A.B．－C．2D．－2
答案 B
解析 设弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
两式相减，得
＋＝0，
所以＝－，
所以k＝＝－.故选B.
4．已知F1（－1,0），F2（1,0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为（ ）
A.＋y2＝1B.＋＝1
C.＋＝1D.＋＝1
答案 C
解析 设椭圆C的方程为＋＝1（a>b>0），则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.
5．（2018·吉林四平质检）经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于（ ）
A．－3B．－
C．－或－3D．±
答案 B
解析 依题意，当直线l经过椭圆的右焦点（1,0）时，其方程为y－0＝tan45°（x－1），即y＝x－1.代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝.所以两个交点坐标为A（0，－1），B，所以·＝（0，－1）·＝－.同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.
6．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使（＋）·＝0（O为坐标原点），则△F1PF2的面积是（ ）
A．4B．3C．2D．1
答案 D
解析 ∵（＋）·＝（＋）·
＝·＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，mn＝2，
∴
＝mn＝1.
7．直线y＝kx＋k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________．
答案 相交
解析 由于直线y＝kx＋k＋1＝k（x＋1）＋1过定点（－1，1），而（－1,1）在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
8．过点M（1,1）作斜率为－的直线与椭圆C：
＋＝1（a>b>0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
答案
解析 设A（x1，y1），B（x2，y2），则
两式相减，得
＋＝0，
∴＝－·.
∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴－＝－，
∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，
∴a2＝2（a2－c2），∴a2＝2c2，∴＝.
9．已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率e＝________.
答案
解析 设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，且∠AFB＝90°，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.
10．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点．直线PQ过原点O与MN平行，且PQ与椭圆交于P，Q两点，则＝________.
答案 2
解析 不妨取直线MN⊥x轴，椭圆＋y2＝1的左焦点F（－1,0），令x＝－1，得y2＝，
所以y＝±，所以|MN|＝，此时|PQ|＝2b＝2，
则＝＝2.
11.如图，椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且|AB|＝|BF|.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若斜率为2的直线l过点（0,2），且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．
解
（1）由已知|AB|＝|BF|，即＝a，
4a2＋4b2＝5a2，4a2＋4（a2－c2）＝5a2，∴e＝＝.
（2）由
（1）知a2＝4b2，∴椭圆C：
＋＝1.
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线l的方程为y－2＝2（x－0），即2x－y＋2＝0.
由消去y，
得x2＋4（2x＋2）2－4b2＝0，
即17x2＋32x＋16－4b2＝0.
Δ＝322＋16×17（b2－4）>0，解得b>.
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵OP⊥OQ，∴·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋（2x1＋2）（2x2＋2）＝0，
5x1x2＋4（x1＋x2）＋4＝0.
从而－＋4＝0，
解得b＝1，满足b>.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
12．设椭圆＋＝1（a>b>0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，O为坐标原点，求△OCD的面积．
解
（1）过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，
所以＝.
因为椭圆的离心率为，所以＝，
又a2＝b2＋c2，可解得b＝，c＝1，a＝.
所以椭圆的方程为＋＝1.
（2）由
（1）可知F（－1,0），
则直线CD的方程为y＝k（x＋1）．
联立
消去y得（2＋3k2）x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
设C（x1，y1），D（x2，y2），
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
又A（－，0），B（，0），
所以·＋·
＝（x1＋，y1）·（－x2，－y2）＋（x2＋，y2）·（－x1，－y1）
＝6－2x1x2－2y1y2
＝6－2x1x2－2k2（x1＋1）（x2＋1）
＝6－（2＋2k2）x1x2－2k2（x1＋x2）－2k2
＝6＋＝8，
解得k＝±.
从而x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝0.
所以|x1－x2|＝
＝＝，
|CD|＝|x1－x2|
＝×＝.
而原点O到直线CD的距离为
d＝＝＝，
所以△OCD的面积为S＝|CD|×d＝××＝.
13．（2018·广州模拟）已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|＝|OF2|＝2|OM|，则椭圆C的离心率为（ ）
A.B.C.D.
答案 D
解析 方法一 ∵|OA|＝|OF2|＝2|OM|，M在椭圆C的短轴上，设椭圆C的左焦点为F1，连接AF1，
∵|OA|＝|OF2|，∴|OA|＝·|F1F2|，
∴AF1⊥AF2，
从而△AF1F2∽△OMF2，∴＝＝，
又|AF1|2＋|AF2|2＝（2c）2，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，
又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴c＝2a，即＝.
故选D.
方法二 ∵|OA|＝|OF2|＝2|OM|，M在椭圆C的短轴上，在Rt△MOF2中，tan∠MF2O＝＝，
设椭圆C的左焦点为F1，连接AF1，
∵|OA|＝|OF2|，∴|OA|＝|F1F2|，
∴AF1⊥AF2，∴tan∠AF2F1＝＝，
设|AF1|＝x（x>0），则|AF2|＝2x，∴|F1F2|＝x，
∴e＝＝＝＝，故选D.
14．已知椭圆＋＝1（a>b>0）短轴的端点为P（0，b），Q（0，－b），长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA，PB的斜率之积等于－，则点P到直线QM的距离为______．
答案 b
解析 设A（x0，y0），则B点坐标为（－x0，－y0），
则·＝－，即＝－，
由于＋＝1，则＝－，
故－＝－，则＝，不妨取M（a,0），则直线QM的方程为bx－ay－ab＝0，则点P到直线QM的距离为
d＝＝＝b.
15．平行四边形ABCD内接于椭圆＋＝1，直线AB的斜率k1＝2，则直线AD的斜率k2等于（ ）
A.B．－C．－D．－2
答案 C
解析 设AB的中点为G，则由椭圆的对称性知，O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则GO∥AD.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有两式相减得
＝－，
整理得＝－＝－k1＝－2，
即＝－.又G，
所以kOG＝＝－，即k2＝－，故选C.
16．过椭圆＋＝1（a>b>0）上的动点M作圆x2＋y2＝的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，求△EOF面积的最小值．
解 设M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），
由题意知PQ斜率存在，且不为0，所以x0y0≠0，
则直线MP和MQ的方程分别为x1x＋y1y＝，x2x＋y2y＝.因为点M在MP和MQ上，所以有x1x0＋y1y0＝，x2x0＋y2y0＝，则P，Q两点的坐标满足方程x0x＋y0y＝，所以直线PQ的方程为x0x＋y0y＝，可得E和F，
所以S△EOF＝·|OE||OF|＝，
因为b2y＋a2x＝a2b2，b2y＋a2x≥2ab|x0y0|，
所以|x0y0|≤，所以S△EOF＝≥，
当且仅当b2y＝a2x＝时取“＝”，
故△EOF面积的最小值为.
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