解析几何答案廖华奎王宝富.docx
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解析几何答案廖华奎王宝富
第一章向量代数
习题1.1
1•试证向量加法的结合律，即对任意向量a,b,c成立
（ab）c=a（bc）.
（如下图），
证明：
作向量
TTTTT
则（ab）c=（ABBCCDAC
TTTTT——Ia（bc）二AB（BCCD）二ABBD二AD,
故（ab）c=a（bc）.
2.设a,b,c两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是abc=0.
证明：
必要性，设a,b,c的终点与始点相连而成一个三角形ABC，
则abc二ABBCCA二ACCA二AA=0.
充分性，作向量AB二a,BC二b,CD二c，由于
0二abc二ABBCCD二ACCD二AD,所以点A与D重合，即三向量
a,b,c的终点与始点相连构成一个三角形。
3•试证三角形的三中线可以构成一个三角形。
证明：
设三角形ABC三边AB,BC,CA的中点分别是D,E,F（如下图），并且记
—>—JT
a=AB,b=BC,c=CA，则根据书中例1.1.1，三条中线表示的向量分别是
CD=1（^b）,AE=1（a-c）,BF」（b_a）,
222
所以，CDAEBF=1（^b）•1（a-q」（b-a）=0,故由上题结论得三角形
222
的三中线CD,AE,BF可以构成一个三角形。
4.用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
证明：
如下图，梯形ABCD两腰BC,AD中点分别为E,F，记向量"AB=a,"FA=b，
FB二baFC二-b•■a,由于E是BC的中点，所以
；=1（FBFC）=珈aa—b）=1
（1）a三（1
）AB.且
F?
4（1
MAB）=2（ABTDC）.
故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
5.试证命题1.1.2。
关，从而a,b,c线性相关。
现在设a,b,c两两不共线，则向量c可以在两个向量a,b上的进行分解，即作以c为对角线，邻边平行于a,b的平行四边形，则存在实数■使得c=■a•，因而a,b,c线性相关。
充分性，设a,b,c线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,k3，使得k1a-k2b•k3c=0。
不妨设k3=0，则向量c可以表示为向量a,b的线性组合，因此由向量加法的平行四边形法则知道向量c平行于由向量a,b决定的平面，故a,b,c共面。
6.设A,B,C是不共线的三点，它们决定一平面二，则点P在二上的充要条件是存在唯一的数组（’，・「）使得
其中，0是任意一点。
P在ABC内的充要条件是（*）与，-0,」_0八-0同时成立。
证明：
必要性，作如下示意图，连接AP并延长交直线BC于R。
—TT
则由三点B,R,C共线，存在唯一的数组k,,k2使得0只=匕08，*20。
，并且
TTT
k!
k^1。
由三点A,P,R共线，存在唯一的数组h，l2使得0P=I10A」20R，并且
hl2=1。
于是0Pl0a=1l0R1l，0设Alk0
0P—0A」0B0C,且I=l1l2k1l2k2=1。
TT—ITTTT
充分性，由已知条件有0P=怎0A-10B0C=怎0A」L0B（^-1）0C
二（OtOC）」（OB_OC）式CAOC，得到乩CA，
因而向量CP,CA,CB共面，即P在A,B,C决定的平面上。
如果P在ABC内，贝UP在线段AR内，R在线段BC内，于是0三k1,k2,l1,l^1,
如果（*）成立且0_，,」八_1，则有CP^iCalCB，这说明点P在角.ACB内。
同样可得到
忒扁，AC，这说明点P在角.BAC内。
故P在，ABC内。
7.在ABC中，点D,E分别在边BC与CA上，且BD=丄BC,CE=丄CA,AD与33
BE交于R，试证
RDJAD,RE=BE.
77
证明：
作如下示意图,
由三点B,R,E共线，存在k使得CR=kCB（1-k）CE，由三点A,R,D共线，存
-CA,有
3
在I使得CRI（C1A-），I由C于DBD=丄BC,CE二
3
2
-l）CB。
由于
112
CDCB,CECA,因而CR二kCB（1一k）CA二ICA（1
3333
21
向量CA,CB不共线，所以k=一（1-1）,1=一（1-k），解此方程组得k
33
4
此得C^-CB-CE，
114
同理得到DRDA。
故得RDAD,REBE.
777
8.用向量法证明ABC的三条中线交于一点P，并且对任意一点0有
1
OP（OAOB0C）.
证明：
设D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点，贝UAE,BF交于一点P，连接
1CA，故Cp.^cd，即C,P,D三点共线「ABC的三条中线交于一点
223
1111
任取一点O，由CPCBCA，得到OP-OC（OB-OC）—（OA-OC）,
3333
1-
于是OP（OAOBOC）.
证明：
设四面体ABCD的棱AB,AC,AD的中点分别是B,C,D，棱BC,CD,DB的
中点分别是E,F,G，如下图。
则对棱中点连线为BF,CG,DE。
11
则容易知道C^-A^DG，CD^CD=EG，因此四边形CDGE是平行
四边形，CG,DE相交且交点是各线段的中点。
同理BF,CG也相交于各线段的中点,
故BF,CG,DE交于一点P。
由以上结论知道，对任意一点0，由P是DE的中点，有
OTJ（kOE）J（1OA1OD」OC丄譎，
222222
n
向量a没有变化。
方向不同的向量要相等只能是零向量，故OA=0.
i=1
nnnn■
送（OA+0A匚七）=2送OAj=k^0Ai，由于kv2，所以送OA；=0.
idididi=1
11.试证：
三点A,B,C共线的充要条件是存在不全为零的实数，，」八使得
OA」0B0C=0且」-0
其中，0是任意取定的一点。
证明：
必要性，如果三点A,B,C中至少有两点重合，比如A,B重合，则OA—0B=0,所以结论成立。
如果A,B,C互不重合，由例1.1.1知道三点A,B,C共线的充要条件是存在
数k使得kOA（4—k）OB—0C=0，令二k,二=1-k,-1，则，i,不全为零,
有■OA」0B；：
0C=0，——」•、•.=k（1一k）一1=0。
充分性，设OA」0B0C=0且■-J=0，则
TTTT—ITTTT
OA」0B（；；JOC=0，（OA—OC）」（0B—OC）=CA」CB=0，由
于•，」八不全为零，以及点0的任意性，可知■,」不全为零，否则也为零。
所以不妨设
-0，则CA=-^』・CB，因而三点A,B,C共线。
习题1.2
1.给定直角坐标系，设P（x,y,z），求P分别关于xOy平面，x轴与原点的对称点
的坐标。
解：
在直角坐标系下，点P（x,y,z）关于xOy平面，x轴与原点的对称点的坐标分别是
（x,y,-z），（x,-y,-z），（-x,-y,-z）。
2•设平行四边形ABCD的对角线交于点P，设DM^DB,CN
5
架'A;AB,AD下，求点P,M,N的坐标以及向量mN的坐标。
解：
作如下示意图，
因为P是DB中点，所以APAB•二AD.
22
—4^4"+4^4"+44^^
AMDMADDBAD=—（AB-AD）ADABAD.
5555
AN.5AC.5（ABAD）.故在仿射标架g忌忌下，点p,m,n的坐标分别
66
444455
为（2,2）,（5,5）,（6,i）.
44T
DCCNBDABAC
56
JAD—AB）ABJABAD）d7B丄忒
563030
所以向量MN在仿射标架「a；忌忌下的坐标为（30,30）.
3.设a=（4,5,2）,b=（0,-3,4）,c=（-2,3,-4）,，求下列向量的坐标:
（1）2a-bc;
（2）-3a2b4c。
解：
（1）2a-bc=2（4,5,2）-（0,-3,4）（-2,3,-4）=（0,46,-4）.
（2）-3a2b4c--3（4,5,2）2（0,-3,4）4（-2,3,-4）=（-44,-9,-2）.
4.判断下列各组的三个向量a,b,c是否共面？
能否将c表示成a,b的线性组合？
若
能表示，则写出表示式。
（1）a=（5,2,4）,b=（-4,4,2）,c=（-4,-4,5）;
（2）a=（6,4,2）,b=（-9,6,3）,c=（-3,6,3）;
（3）a二（4,2,-3）,b=（-2,-4,6）,c二（4,0,5）.
解：
（1）设k4ak2bkp=0,即k4（5,2,4）k2（—4,4,2）k3（—4,-4,5）=0,则有
5kj-k?
-k3=0,
丿2k4+4k2-k3=0,该方程组只有零解k4=k2=k3=0,所以三向量不共面。
k4+2k2+5k3=0.
（2）设k4akbk4=0,即k4（6,4,2）k2（—9,6,3）k3（—3,6,3）=0,贝y有
&,3k=2-2k,只要k3不为零，K,k2就不为零，所以三向量共面。
取k3=1,
23
1212
则k1,k2,所以cab,即c可表示成a,b的线性组合。
2323
（3）设k1akbkc^=0,即K（1,2,-3）k2（-2,-4,6）k3（1,0,5）=0,则有
三向量共面。
由于k3只能为零，故c不能表示成a,b的线性组合。
6•设在一平面口上取一个仿射标架{O;q,e2}，口上三点Pi（xi,yi）,^1,2,3,共线当
X1y11
且仅当x2y21=0.
X3y31
证明：
三点Pi（xi,yi）,^1,2,3,共线当且仅当，即埜山二注/.展
X3-论y3-y
开得xyX2y3X3y1-xy-X3y2-x?
y1=0.
证明P,Q,R共线当且仅当--1.
证明：
作如下示意图,
由于P,Q,R分别是直线AB,BC,CA上的定比分点，所以•=一1,二「-1八=-1。
建仿
—f—H—I——I1
AZAC-R一AC-AR,AR=厂AC；
BQ^Q…CCQ,QC「
111■
AQ=ACCQ=ACLB"C「（ABACBAB1AC。
所以P,Q,R在仿射标架A;AB,AC』下的坐标分别为
、1卩1
P（,0）,Q（——,）,R（0,）。
根据上
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