精品课件湘教数学必修2第4章451.docx
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精品课件湘教数学必修2第4章451
4.5向量的数量积
4.5.1向量的数量积
知能优化训练
〕』习目标n
1・理解两个向量夹角的概念，夹角的范围.
2.掌握两个向量的数量积的概念及计算公式,
并掌握向量数量积的几何意义及有关性质.
3.熟练掌握向量数量积的运算律，会利用向量
的数量积求力所做的功.
课前自主学案
温故夯基
1.
（可+兀2,儿+丿2）：
a——b=（兀1—兀2，Vi—丿2）：
2伉=0乂1,AVi）:
a〃方Q兀力一兀*1=0•2.向量加法的运算律有交换律和结合律•
知新益能
1.从任一点0出发作OA=a,OB=b,则射线0A,OB所夹的最小非负角就是向量a"的夹角〈。
丿〉,取值在［0,刊的范围内.
2・向量的数量积
（1）数量积定义
设〃，〃是任意两个向量，S,〃〉是它们的夹角,取值范围［0,it\.则定义a・0=lall0lcos〈a,b）称为。
与方的数量积.
（2）投影值的定义
（a）b=\a\cos〈a、b｝称为a在0上的投影值.
3・向量数量积的运算律
已知向量a,b,c与实数2,贝!
）
问题探究
1.如何理解向量的夹角？
提示：
（1）对两个不共线向量b,通过平移使它们的起点相同，这两个共起点的向量的夹角与方角.
==|
（2）两向量垂置可理解为这两个向量所在的直线互相垂直，两向量平行（或共线），可理解为这两个向量的夹角为0°或180°・
2.E的符号与。
和〃的夹角〃有什么关系？
提示：
（1）若a・〃＞0为锐角或零角；
（3）若a・XQS为钝角或平角.
3.如何证明数乘向量的数量积的运算律?
提示：
⑴当2=0时，结论显然成立；
（2）当2>0时，〈加，b）=（a,2b）=（a,方〉，由此易证（加）•方=2（a•方）=a•（肋）=2lalIZdcos（a,b）；
⑶当久VO时，〈加，b}=S,肋〉
=兀—〈。
b},
cos〈加，b）=cos{a,劝〉=—cos{a,b},/.（2«）•&=LZalIZdcos〈加，b）=—2lalIZd（—cos〈a,b}）
=2Xa\Iftlcos{a,b）,同理a•（肋）=久血1Iftlcos{a,b>,
・■•久（a•方）=（Xa）*b=a・（Ab）.
课堂互动讲练
考点突破
根据平面向量数量积的定义，找清模及向量的夹角，根据公式法则计算.
及向量的夹角，根据公式法则计算.
已知血1=4,I方1=3,分别求满足下列条件的a与〃
的数量积.
（2）a丄加
（3加与〃的夹角为60°・
【思路点拨】按a・〃=lalIZdcos〃进行计算.
【解】⑴当a与0同向时，a•方=血卜1方1=12；
当a与〃反向时，a'b=—\aV\b\=—\2・
（2）因为a丄〃，所以〃与〃的夹角为90。
，故询=laiIZdcos90°=0.
1
（3）
a•方=lal0lcos60°=12X刁=6.
与方的夹角；②分别求lai,I方I；③求数量积，即a•方=lalblcos仇应注意书写时a与方之间用“•”连接，
而不能用“X”连接，也不能省去.
自我挑战1
（1）已知\a\=5,a与b的夹角为60°,求a在方方向上的投影；
（2）已知a-b=3,\a\=5f求方在。
方向上的投影.
解:
⑴°在方方向上的投影为lalcos60°=5X^
（2）由a•方=lai\bIcos〃知，方在a方向上的投
与向量0,〃同向共起点的向量的夹角就是。
与〃的夹角.
BC
己知正三角形ABC的边长为1,求:
（1）ABAC；
（2）AJSBC；
（3）BCAC.
【思路点拨】根据图形，找清夹角，=60°,=60°.
【解】
（1）AB^AC的夹角为60。
：
.ABAC=\AB\\AC\cos60°
（2厢与庞的夹角为120°,
:
.ABBC=\AB\\BC\cos120°
11
=1X1X（--）=--（3）BC^AC的夹角为60。
，
ffff11
ABCAC=IBCIIACIcos60°=1X1Xt=t
如例2图所示，向量乔与向量庞的起点不同，因
此B并不是它们的夹角,而正确的夹角应是角B的补角（120。
）・
自我挑战2在△ABC中，AB=afBC=bf若a・b>0,则AABC的形状为（）
A.直角三角形B.钝角三角形
C.锐角三角形D.不能判断
解析：
选B.本题主要考查两向量的夹角公式，由于。
力>0,cos{a,b}>0,而〈a,b）=7t—B,・・・兀一〃为锐角，・・・B为钝角.故选B・
1!
数量积的运算只适合交换律、乘法分配律及数乘结合律，不送合乘法结合律，B卩（a・〃）・c不一是裁于
a・（b・c）,因为（a・b）・c表示一个与c共线的向量，而
a•（方・c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共
⑴求
（2）求@+方）2；
⑶求/—方2；
⑷求（2a-b）-（a+3b）.
【思路点拨】由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=（a+b）-（a+b）=（a+b）・a+（a+b\b=a*a+b*a+a*b+b*b=a2+2a・b+b2.
・Q©寸—H9IXE—（OI—）XS+SZXZHZ_0_E
—0・us+z_u_zhz0e—0・us+zah（*+u）・（0—uz）（3
・6h9i—szhz§—z_«hw—zu（e）
・IZH9I+0IXZ—SZHZ_a+0・A+Z§HZ0+0・A+Z0HZ（0+U）（z）s
—Hfl—x"寸XSHOOZIso总亘Hme【噗】
【名师点评】两向量的数量积，其结果是个数
量'而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定
1.直接利用数量积的定义式求解时，一定要把这两个向量夹角确定好.
2.利用向量的数量积定义式求两个向量的夹角时，须把这两个向量的数量积及各自的模求出来,同时要注意向量夹角的范围是[0,!
!
]・
3.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运
算，与实数乘实数，实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.
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