高中数学学年最新北师大版数学必修四教学案第三章2第1课时两角差的余弦函数两角和.docx

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高中数学学年最新北师大版数学必修四教学案第三章2第1课时两角差的余弦函数两角和

第1课时　两角差的余弦函数

两角和与差的正弦、余弦函数

[核心必知]

两角和与差的余弦、正弦公式

公式　　　　　

简记

cos（α＋β）＝cos_αcos_β－sin_αsin_β

（Cα＋β）

cos（α－β）＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β

（Cα－β）

sin（α＋β）＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β

（Sα＋β）

sin（α－β）＝sin_αcos_β－cos_αsin_β

（Sα－β）

[问题思考]

1．cos（α－β）与cosα－cosβ相等吗？

是否有相等的情况？

提示：

一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候．例如：

当取α＝0°，β＝60°时，cos（0°－60°）＝cos0°－cos60°.

2．公式（Cα±β）和（Sα±β）中，对于角α与β的范围有没有规定？

提示：

在公式中，角α与β没有规定，即对任意角α，β，公式都恒成立．

讲一讲

1．求下列各式的值：

（1）sin15°＋cos15°；

（2）cosπcosπ－sinπsinπ.

[尝试解答]　

（1）法一：

sin15°＝sin（45°－30°）

＝sin45°cos30°－cos45°sin30°

＝×－×

＝.

cos15°＝cos（45°－30°）

＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°

＝×＋×

＝.

∴sin15°＋cos15°＝＋＝.

法二：

sin15°＋cos15°

＝（sin15°＋cos15°）

＝（sin15°cos45°＋cos15°sin45°）

＝sin（15°＋45°）＝sin60°＝.

（2）原式＝cos（2π＋）cos（2π－）－sin（π－）·sin（π－）

＝coscos－sinsin

＝cos（＋）＝cos＝.

解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分拆角、凑角转化为和、差角的正弦、余弦公式，同时注意公式的活用、逆用，“大角”要利用诱导公式化为“小角”．

练一练

1．求cos105°＋sin195°的值．

解：

cos105°＋sin195°

＝cos105°＋sin（90°＋105°）

＝cos105°＋cos105°＝2cos105°

＝2cos（60°＋45°）

＝2（cos60°cos45°－sin60°sin45°）

＝2（×－×）＝.

讲一讲

2．已知<β<α<π，cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－.求cos2β的值．

[尝试解答]　∵<β<α<π，

∴0<α－β<，π<α＋β<π，

∴sin（α－β）＝＝＝，

cos（α＋β）＝－＝－＝－.

∴cos2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]

＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）

＝－×＋（－）×＝－.

解答此类题目要注意以下两点：

（1）拆拼角技巧

先分析已知角与所求角之间的关系，再决定如何利用已知角表示所求角，避免对已知条件用公式，造成不必要的麻烦．常见的拆角、拼角技巧：

α＝（α＋β）－β；α＝β－（β－α）；2α＝（α＋β）＋（α－β）；β＝－；

（2）确定相关角的范围

2β＝（α＋β）－（α－β）；－α＝－（＋α）等．

若题目中给出了角的取值范围，解题时一定要重视角的取值范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．

练一练

2.已知cos＝，求cosα.

解：

由于0<α－<，cos（α－）＝，

所以sin（α－）＝.

所以cosα＝cos

＝coscos－sinsin

＝×－×＝.

讲一讲

3．已知α，β是锐角，且sinα＝，cos（α＋β）＝－.求角β.

[尝试解答]　∵α是锐角，且sinα＝，

∴cosα＝＝＝.

又∵cos（α＋β）＝－，α，β均为锐角，

∴sin（α＋β）＝＝，

∴sinβ＝sin（α＋β－α）

＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα

＝×－（－）×＝.

∴β＝.

1．解决该类问题实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．

2．解给值求角问题的步骤

（1）求解的某一个三角函数；

（2）确定角的范围；

（3）据范围写出角．

练一练

3．已知α，β均为锐角，sinα＝，cosβ＝，求α－β.

解：

∵α，β均为锐角，sinα＝，cosβ＝，∴sinβ＝，cosα＝.∴sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

＝×－×＝－.

又－<α－β<.∴α－β＝－.

在△ABC中，sinA＝，cosB＝，求cosC的值．

[错解]　∵cosB＝，∴B为锐角，

∴sinB＝＝.∵sinA＝，0

∴当A为锐角时，

cosA＝＝，

cosC＝cos[π－（A＋B）]

＝－cos（A＋B）

＝sinAsinB－cosAcosB

＝；

当A为钝角时，cosA＝－＝－，　①

cosC＝－cos（A＋B）

＝sinAsinB－cosAcosB

＝.

[错因]　错解在于没有结合题中隐含的角的范围，判断出A为钝角时不成立．

在三角形中，一定要重视角的取值范围和题目中隐含的信息．本题中，已知sinA，cosB，在求出cosA，sinB后，要想到用sin（A＋B）或A，B的范围进行验证和选择．

[正解]　∵cosB＝，0

∴sinB＝＝.

∵sinA＝，0

∴cosA＝±＝±.

当A为钝角时，

∵sinA＝<，∴A>.

又∵cosB＝<，

∴B>，∴A＋B>π.

这与三角形内角和A＋B＋C＝π矛盾．

∴cosA＝.

cosC＝cos[π－（A＋B）]＝－cos（A＋B）

＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－×＋×＝.

1．cos24°cos36°－cos66°cos54°的值是（　　）

A．0　　　　　　　　　　B.

C.D．－

解析：

选B　原式＝cos24°cos36°－sin24°sin36°

＝cos（24°＋36°）＝cos60°＝.

2．若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin（α＋）＝（　　）

A．－B.

C．－D.

解析：

选A　∵α是第三象限的角，且cosα＝－，

∴sinα＝－，

∴sin（α＋）＝sinαcos＋cosαsin

　＝（－－）

　＝－.

3．已知cos（α－β）＝，sinβ＝－，且α∈（0，），β∈（－，0），则sinα等于（　　）

A.B.

C．－D．－

解析：

选A　∵β∈（－，0）且sinβ＝－，

∴cosβ＝.

又∵α∈（0，），∴α－β∈（0，π）

又cos（α－β）＝，

∴sin（α－β）＝.

∴sinα＝sin[（α－β）＋β]

＝sin（α－β）cosβ＋cos（α－β）sinβ

＝×＋×（）＝.

4．求值：

sin285°－cos105°＝________．

解析：

原式＝sin（360°－75°）－cos（180°－75°）

＝－sin75°＋cos75°

＝（cos45°cos75°－sin45°sin75°）

＝cos（45°＋75°）＝cos120°＝－.

答案：

－

5．已知向量a＝（，－），b＝（sinx，cosx），0

解析：

∵a·b＝－，∴sinx－cosx＝－，

即sinxcos－cosxsin＝－，

∴sin（x－）＝－.

∵0

∴x－＝－，故x＝.

答案：

6．已知sin（－α）＝，求的值．

解：

＝

＝（cosα－sinα）

＝2（cosα－sinα）

＝2sin（－α）

＝.

一、选择题

1．（重庆高考）＝（　　）

A．－　　　　　　B．－

C.D.

解析：

选C　原式＝

＝

＝＝.

2．在△ABC中，若sin（B＋C）＝2sinBcosC，那么这个三角形一定是（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．等腰三角形

解析：

选D　∵sin（B＋C）＝2sinBcosC，

∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC

即cosBsinC＝sinBcosC，sin（B－C）＝0

又－π

∴B－C＝0，B＝C.

3．（湖南高考）函数f（x）＝sinx－cos（x＋）的值域为（　　）

A．[－2，2]　　　　　　　　B．[－，]

C．[－1，1]D.

解析：

选B　f（x）＝sinx－cos（x＋）＝sinx－cosx＋sinx＝sin（x－），

∵sin（x－）∈[－1，1]，

∴f（x）值域为[－，]．

4．已知sinαcosα＝，0<α<，则cos（－α）的值为（　　）

A.　　　　　　　　B．－

C.D．±

解析：

选C　∵cos（－α）＝（coscosα＋sin·sinα）＝cosα＋sinα，∴[cos（－α）]2＝（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×＝.∵0<α<，

∴－<－α<0，－<－α<，

∴cos（－α）>0.∴cos（－α）＝.

二、填空题

5．函数y＝sinxcos（x＋）＋cosxsin（x＋）的最小正周期T＝________．

解析：

y＝sin（x＋x＋）＝sin（2x＋），∴T＝＝π.

答案：

π

6．在△ABC中，A，B为锐角，且sinA＝，sinB＝，则A＋B＝________．

解析：

∵A，B为锐角，∴cosA＝＝，

cosB＝＝.

∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB

＝×－×＝.

又0

答案：

7．（大纲全国卷）当函数y＝sinx－cosx（0≤x<2π）取最大值时，x＝________．

解析：

y＝sinx－cosx＝2sin（x－），由0≤x<2π⇔－≤x－<可知－2≤2sin（x－）≤2，当且仅当x－＝时即x＝取得最大值．

答案：

8．设α，β，γ∈（0，），且sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则β－α等于________．

解析：

由条件知sinβ－sinα＝sinγ，①

cosβ－cosα＝－cosγ，②

由①2＋②2得2－2（sinβsinα＋cosαcosβ）＝1.

∴cos（β－α）＝，又由①知sinβ>sinα，

∴β>α，β－α∈（0，）．

∴β－α＝.

答案：

三、解答题

9．已知函数f（x）＝4cosxsin（x＋）－1.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

解：

（1）∵f（x）＝4cosxsin（x＋）－1

＝4cosx（sinx＋cosx）－1

＝sin2x＋cos2x＝2sin（2x＋），

∴f（x）的最小正周期为π.

（2）∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.

∴当2x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值2；

当2x＋＝－，即x＝－时，f（x）取得最小值－1.

10．已知0<β<，<α<，cos＝，sin＝，求sin（α＋β）的值．