中考数学真题解析矩形的性质与判定.docx
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中考数学真题解析矩形的性质与判定
（2012年1月最新最细）2011全国中考真题解读120考点汇编
矩形的性质与判定,
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
一、选择题
1.（2011?
南通）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2cm，点E在BC上，且AE=CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC=4cm．
考点：
翻折变换（折叠问题）。
分析：
根据题意推出AB=A=2，由AE=CE推出AB1=B1C，即AC=4．'B解答：
解：
∵AB=2cm，A=AB，，∴A=2，∵矩形ABCD，AE=CE，'B'B∴∠ABE=∠AB1E=90°，∵AE=CE，∴A=C，∴AC=4．故答案为4．'BB'点评：
本题主要考察翻折的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于推出AB=A．'B2.（2011江苏无锡，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）
A．对角线互相垂直B．对角线相等
D．对角线互相平分．对角互补C考点：
矩形的性质；菱形的性质。
专题：
推理填空题。
分析：
根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．
解答：
解：
A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项错误；
B、菱形和矩形的对角线都相等；故本选项正确；
C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项正确；
D、菱形对角相等，但不互补；故本选项正确；
故选A．
1/38
此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四点评：
边形的性质，但是菱形的特性是：
对角线互相垂直、平分，四条边都相等．，ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°3.（2011?
宁夏，2，3分）如图，矩形的长是（）AD=2，则AB
3344
C、D2、A、2B、：
矩形的性质；等边三角形的判定与性质。
考点本题的关键是本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质即锐角三角函数关分析：
系求长度．11AC=BD，AC，DO=BD，AO=解答：
解：
∵在矩形ABCD中，
22AO=DO，∴，又∵∠AOD=60°∴∠ADB=60°，∴∠ABD=30°，AD∴，=tan30°
AB23即，=
AB33．∴AB=2故选C．
点评：
本题考查了矩形的性质和锐角三角函数关系，具有一定的综合性，难度不大属于基础性题目．
4.（2011台湾，29，4分）如图，长方形ABCD中，E为BC中点，作∠AEC的角平分线交AD于F点．若AB＝6，AD＝16，则FD的长度为何？
（）
2/38
A．4B．5C．6D．8
考点：
矩形的性质；角平分线的性质；勾股定理。
专题：
几何综合题。
分析：
首先由矩形ABCD的性质，得BC＝AD＝16，已知E为BC中点，则BE＝BC÷2＝8，根据勾股定理在直角三角形ABE中可求出AE，再由∠AEC的角平分线交AD于F点，得∠AEF＝∠CEF，已知矩形ABCD，AD∥BC，
则∠AFE＝∠CEF，所以∠AEF＝∠AFE，所以AF＝AE，从而求出FD．
解答：
解：
已知矩形ABCD，∴BC＝AD＝16，
又E为BC中点，
11?
BC＝×16∴BE＝＝8，
22在直角三角形ABE中，
22222＝100，＝6AE＋＝AB8＋BE∴AE＝10，
已知矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
又∠AEC的角平分线交AD于F点，
∴∠AEF＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE＝10，
∴FD＝AD－AF＝16－10＝6，
故选：
C．
点评：
此题考查的知识点是矩形的性质．角平分线的性质及勾股定理，解题的关键是由勾3/38
股定理求出AE，然后由已知推出AE＝AF．
AB=，BC=2，对角线AC、BD5.（2011?
贵港）如图所示，在矩形ABCD中，相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）
、C、1
BD、1.5
A、
考点：
矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。
专题：
推理填空题。
分析：
先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
AB=，BC=2解答：
解：
∵，
=，∴AC=
AC=，AO=∴AC，∵EO⊥∴∠AOE=∠ADC=90°，
又∵∠EAO=∠CAD，
∴△AEO∽△ACD，
=，∴
=，即
4/38
解得AE=1.5．
故选D．
点评：
本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
6.（2011?
临沂，11，3分）如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（）
33C、、、A2B34
D、
34考点：
矩形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。
的中点，所以AB的中点，的垂直的平分线，所以因为分析：
DE是ACD是ACF是，DF∥BCA=30°，∠C=90°是矩形，因为∠，所以∠C=90°，所以四边形BCDE的长，从而求出的长，从而求出的长，根据勾股定理求出BC=2，能求出ABACDC面积．的中点，的垂直的平分线，是解：
∵解答：
DEACF是ABBC，∥∴DF∴∠C=90°，BCDE是矩形．∴四边形∵∠A=30°，C=90°BC=2，，，∠AB=4∴，
2232?
4AC=∴=2．5/38
3∴．DE=
33．2×∴四边形BCDE的面积为：
=2．A故选本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，以及中位线定理，勾股定理，线点评：
段垂直平分线的性质等．），3分）下列关于矩形的说法，正确的是（7.（2011年四川省绵阳市，7B、对角线互相平分的四边形是矩形A、对角线相等的四边形是矩形D、矩形的对角线相等且互相平分C、矩形的对角线互相垂直且平分考点：
矩形的判定与性质．
专题：
推理填空题．
分析：
根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：
1．矩形的四个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．
5．对边平行且相等
6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．
解答：
解：
A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；
D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选D．
点评：
本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握．
8.（2011杭州，10，3分）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为S和S，现给出下列命题BFDEABCD6/38
32+32．则AD，则DFEDF=；②若DE=2/①若SS==BD?
EF∠，则taBFDABC
．①是真命题，②是假命．①是真命题，②是真命．①是假命题，②是假命．①是假命题，②是真命解直角三角形；菱形的性质；矩形的性质考点几何综合题专题，确定是否真假命题．②由已taED①由已知先求分析siED，再求根据矩形、菱形的性质用面积法得出结论yDBFDBBCD2h/y=
2
x33，BFC得：
==，即cos∠y22=30°，∴∠BFC由已知∴∠EDF=30°3=，tan∠EDF∴3题是所①以真命．DE知已菱∴形DF②=BFDE，DEF知△积的面DF?
AD：
由，为已表：
示，为12也BD?
EF可2，又=DEBD?
EF22表可面的积DE12：
为示∴△DEF即12：
DF，2DF?
DF∴AD，=12=2DF∴AD，7/38
题．是真命所以②故选：
A．此题考查的知识点是解直角三角形、矩形的性质及菱形的性质，解题的关键是点评：
EDF的正弦确定其度数，再求出其正切．②用面积法确定．①先求出∠，的中点，过CD的中点，EABC中是D是AB20119.（福建莆田，19，8分）如图，在△.BF的延长线于点F，连接CF//AB交AE点C作CFDB=分
（1）（4）求证:
.
并证明你的结论的形状,=BC,试判断四边形BDCF
（2）（4分）如果AC
全等三角形的判定与性质；矩形的判定．考点：
证明题．专题：
，再根据等量代换可≌△FCECFE，得出△ADE）根据CF∥AB，可知∠DAE=∠1分析：
（CF，知DB=，BC为平行四边形，再根据AC=，可知四边形CF，DB∥CFBDCF）根据（2DB=是矩形．DB，得出四边形BDCFAD=，∥AB1解答：
（）证明：
∵CF，∠CFE∴∠DAE=FEC，，∠AED=∠=∵DECEFCE，∴△ADE≌△，AD∴=CF，AD=DB∵；=CF∴DBBDCF是矩形，
（2）四边形，∥CFDBDB证明：
∵=CF，BDCF为平行四边形，∴四边形DBADBCAC∵=，=，8/38
AB，∴CD⊥BDCF是矩形．∴四边形点评：
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及矩形的判定，难度适中．10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交与点O．已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有（）
A、2条B、4条C、5条D、6条
【答案】D
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】几何题．
【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，所以AO=BO=CO=DO，已知∠AOB=60°，所以AB=AO，从而CD=AB=AO．从而可求出线段为8的线段．
【解答】解：
∵在矩形ABCD中，AC=16，∴AO=BO=CO=DO=×16=8．
∵AO=BO，∠AOB=60°，∴AB=AO=8，
∴CD=AB=8，∴共有6条线段为8．故选D．
【点评】本题考查矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，以及等边三角形的判定与性质．
11.（2011天水，10，4）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则CF的长为（）
A、6
B、4C、2
D、1
9/38
考点：
翻折变换（折叠问题）；矩形的性质。
分析：
由矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．根据矩形与折叠的性质，即可得在第三个图中：
AB=AD﹣BD=6﹣2=4，AD∥EC，BC=6，即可得△ABF∽△ECF，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得CF的长．
解答：
解：
由四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=6．
根据题意得：
BD=AB﹣AD=8﹣6=2，四边形BDEC是矩形，
∴EC=BD=2，
∴在第三个图中：
AB=AD﹣BD=6﹣2=4，AD∥EC，BC=6，
∴△ABF∽△ECF，
ABBF?
∴
ECCF设CF=x，则BF=6﹣x，
x?
46?
∴,
x2解得：
x=2，
∴CF=2．
故选C．
点评：
此题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质等知识．此题难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
12.（2011辽宁阜新,8,3分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）
A.1
B.2C.3
D.4
考点：
轴对称-最短路线问题；矩形的性质。
专题：
探究型。
分析：
作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，再根据10/38
△CEF∽△BEA即可求出CF的长，进而得出DF的长．
解答：
解：
作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，
∴BE=CE=CE′=4，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
'CFCECF4?
?
∴△CEF∽△BEA，即，即，解得CF=2，
'6?
48ABBE∴DF=CD﹣CF=6﹣2=4．
故选D．
点评：
本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出E点关于直线CD的对称点，再根据轴对称的性质求出CE′的长，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
13.（2011辽宁沈阳，7，3分）如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）
A．2个B．4个C．6个D．8个
考点：
等腰三角形的判定；矩形的性质。
分析：
本题需先根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，从而得出图中等腰三角形中的个数，即可得出正确答案．
解答：
解：
∵矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OB=OC=OD，
∴图中的等腰三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC四个．
11/38
故选B．
点评：
本题主要考查了等腰三角形的判定，在解题时要把等腰三角形的判定与矩形的性质相结合是本题的关键．
二、填空题
1.（2011江苏淮安，17，3分）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.（写出一种即可）
考点：
矩形的判定。
专题：
开放型。
分析：
已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形．
解答：
解：
若四边形ABCD的对角线相等，
则由AB=DC，AD=BC可得．
△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，
所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，
所以四边形ABCD是矩形，
故答案为：
对角线相等．
点评：
此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．
2.（2011江苏南京，21，7分）如图，将?
ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：
△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：
四边形ABEC是矩形．
12/38
考点：
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定。
专题：
证明题。
分析：
（1）先由已知平行四边形ABCD得出AB∥DC，AB=DC，?
∠ABF=∠ECF，从而证得△ABF≌△ECF；
（2）由
（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证．
解答：
证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠ABF=∠ECF，
∵EC=DC，∴AB=EC，
在△ABF和△ECF中，
∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，
∴△ABF≌△ECF．
（2）∵AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
点评：
此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质及举行的13/38
判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．
3.（2011江苏无锡，16，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF=5cm．
考点：
三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线。
专题：
几何图形问题。
分析：
已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．
解答：
解：
∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，
1AB，CD=∴2又∵EF是△ABC的中位线，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
1×10=5cm．∴EF=2故答案为：
5
点评：
用到的知识点为：
（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
（2）三角形的中位线等于对应边的一半．
4.（2011盐城，16，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为．
考点：
直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质.
14/38
专题：
几何图形问题.
分析：
根据垂线的性质推知△ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得AC=10；最后由等腰三角形ABC的两腰AB=AC，求得AB=10．
解答：
解：
∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的1AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；又∵DE=5，AB中点．∴DE==AC，
2∴AB=10；故答案为：
10．
点评：
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质．此题是一道基础题，只要同学们在做题过程中多一份细心，就会多一份收获的．
5.（2011山西，14，3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件：
．．___________
_______________________，可使它成为矩形．
AD
o
BC14（第题）考点：
矩形的判定
专题：
四边形
分析：
由有一个角是直角的平行四边形是矩形．想到添加∠ABC＝90°；由对角线相等．＝BD的平行四边形是矩形．想到添加AC解答：
∠ABC＝90°（或AC＝BD等）
点评：
本题是一道开放题，只要掌握矩形的判定方法：
“有一个角是直角的平行四边形是矩形”或“对角线相等的平行四边形是矩形”，就不难得到正确答案（共有五个即四个内角中任15/38
意一个角为直角、对角线相等）．6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长
DE至F，使EF=DE．连接BF、CD、AC．
ABFC是平行四边形；
（1）求证：
四边形2是矩形．=BE?
CE，求证四边形ABFCDE）如果2（考点：
等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形．
解答：
证明：
（1）连接BD，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，∠ACB=∠DBC
∵DE⊥BC，EF=DE，
∴BD=BF，∠DBC=∠FBC，
∴AC=BF，∠ACB=∠CBF
∴AC∥BF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
16/38
2=BE?
CEDE
（2）∵
，∴
，∵∠DEB=∠DEC=90°DEC∽△∴△BDE，∴∠BDC=∠BFC=90°是矩形．∴四边形ABFC点评：
本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大．贵港）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形7.（2011?
2cm．18AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于，若ABCD
考点：
菱形的判定与性质；矩形的性质。
：
数形结合。
专题易得该四边形是一个菱形，作出高，求出高，即可求得相应的面积．分析：
∥CD，ABAD解答：
解：
∵∥BC，ABCD是平行四边形，∴四边形∵纸条等宽，AB=BC∴，∴该四边形是菱形，BCAE作⊥于E．17/38
∴BE=3cm，
AE=3cm．
2，=6×=183cm∴四边形ABCD的面积
．18故答案为
点评：
考查菱形的判定与性质的应用；判断出图形的形状是解决本题的关键．
8.（2011?
贺州）把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF=4，FC=2，则∠DEF的度数是60°．
考点：
翻折变换（折叠问题）。
专题：
计算题。
分析：
根据折叠的性质得到DF=BF=4，∠BFE=∠DFE，在Rt△DFC中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠FDC=30°，则∠DFC=60°，所以有∠BFE=∠DFE=（180°﹣60°）÷2，然后利用两直线平行内错角相等得到∠DEF的度数．
解答：
解：
∵矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF，
∴DF=BF=4，∠BFE=∠DFE，
在Rt△DFC中，FC=2，DF=4，
∴∠FDC=30°，
∴∠DFC=60°，
∴∠BFE=∠DFE=（180°﹣60°）÷2=60°，
18/38
∴∠DEF=∠BFE=60°．
故答案为60．
点评：
本题考查了折叠的性质：
折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了矩形的性质和含30°的直角三角形三边的关系．
9.（2011?
安顺）已知：
如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．
考点：
矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质。
专题：
数形结合。
分析：
分PD=OD（P在右边），PD=OD（P在左边），OP=OD三种情况，根据题意画出图形，作PQ垂直于x轴，找出直角三角形，根据勾股定理求出OQ，然后根据图形写出P的坐标即可．
解答：
解：
当OD=PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示：
PD=OD=OA=5，PQ=4，DPQxPQ过P作⊥x轴交轴于Q，在直角三角形中，根据勾股定理得：
DQ=3，故OQ=OD+DQ=5+3=8，则P（8，4）；1当PD=OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示：
19/38
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在
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