届中考数学创新题型复习指要.docx
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届中考数学创新题型复习指要
中考数学创新题型复习指要
新仟年伊始，伴随着新教材的推广使用，以新《课程标准》的颁布为标志，数学教育迎来了它的新时代。
新教材以培养学生的创新意识和创新精神为宗旨，要求学生要有探究、创新和实践的能力。
如何以新标准考察学生？
各地的中考试题都作了大胆尝试，以下尝试对新试题的测试的改革思路做出分析，谨供考生参考。
一．开放题型的引入
“开放型”试题是指试题的条件、结论、解题依据、和方法四个要素中缺少一个或两个要素的命题。
例如：
1.同学们知道：
只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等。
请你模仿方案
（1），写出方案
（2）、（3）、（4）。
解：
设有两边和一角对应相等的两个三角形，
方案
（1）：
若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。
方案
（2）：
方案（3）：
方案（4）：
2.请写出一个含1这个根且增根为2的分式方程。
3.已知：
平面直角坐标系内，点P的纵坐标是横坐标的3倍，请写出过点P的一次函数解析式（至少三个）。
4.老师给出一个函数y=f（x），甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：
函数图象不经过第三象限；乙：
函数图象经过第一象限；
丙：
当x<2时，y随x的增大而减小；丁：
当x<2时，y>0。
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数是。
5.在四边形ABCD中，给出下列条件：
①AB∥CD，②AD=BC，③∠B=∠D，以其中两个作为题设，另一个作结论，用“如果……，那么……。
”的形式，写出一个真命题是。
6.小红同学编拟了这样一个数学命题：
“如果在四边形ABCD中，AB=CD、AC=BD，那么四边形ABCD一定是平行四边形”。
若你认为这个命题的结论成立，请予以证明；若这个命题的结论不一定成立，请画图举出反例予以说明。
二.归纳法的渗透
利用归纳法，通过观察、猜想、推理，总结规律，得到结论，以考察学生的观察、创新能力。
应特别注意了高中知识（如：
数列、排列、组合、虚数等）的渗透。
例如：
1.A1，A2，A3，A4四个舞蹈演员，在舞台上跳舞，面对观众作队列变化，其变化
规律是：
一个舞蹈演员A1面对观众跳舞的变化种类是：
A1为1种；
二个舞蹈演员A1、、A2面对观众跳舞的队形排列的变化种类是：
A1A2；A2A1为2
种；
三个舞蹈演员A1、、A2、A3面对观众跳舞的队形排列的变化种类是：
A1A2A3；
A1A3A2；A2A3A1；A2A1A3；A3A1A2；A3A2A1为6种；
四个舞蹈演员A1、、A2、A3、A4面对观众跳舞的队形排列的变化种数为种。
2.将一边长为16厘米的正方形纸片，剪成四个大小一样的小正方形，然后将其中的一个再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环下去，剪6次一共剪出多少个小正方形？
所剪得正方形个数S和所剪次数n有什么关系？
用数学表达式表示为。
3.观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：
两条直线相交，三条直线相交，四条直线相交，……
最多有1个交点；最多有3个交点；最多有6个交点；……
像这样，十条直线相交，最多交点的个数是（）
A.40个B.45个C.50个D.55个
4.将正偶数按下表排成5列：
第1列第2列第3列第4列第5列
第1行2468
第2行16141210
第3行18202224
…………2826
根据上面排列规律，则2000应在（）
A.第125行，第1列；B.第125行，第2列；
C.第250行，第1列；D.第250行，第2列；
5.小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创造的同学。
一天，他在解方程时，突然产生了这样的想法，x2=-1这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i2=-1,那么方程x2=-1可以变为x2=i2,则x=+i,从而x=+i是方程x2=-1的两个根。
小明还发现i具有如下性质：
i1=i;i2=-1;i3=i2×i=（-1）×i=-i;i4=（i2）2=（-1）2=1;i5=i4×i=i;i6=（i2）3=（-1）3=-1;i7=i6×i=-i;i8=（i4）2=1……,请你观察上述各式，根据你发现的规律填空：
i4n+1=,i4n+2=，i4n+3=（n为自然数）。
6.我们平常用的数是十进制数，如2639=2×103+6×102+3×101+9×100，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。
在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：
0和1。
如二进制中101=1×22+0×21+1×20等于十进制的数5，10111=1×24+0×23＋1×22＋1×21＋1×20等于十进制中的数23，那么二进制中的1101等于十进制的数。
7.从1开始，将连续的奇数相加，和的情况有如下规律：
此规律，1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；…
按请你猜想从1开始，将前10个奇数（即当最后一个奇数是19时），它们的和是。
三.新应用题的热考
是指把函数、方程（组）、不等式（组）与经济生活实例相结合的应用题。
一般放在较新颖的背景下，以体现出时代特色，同时渗透思想教育，使学生在解题过程中获得情感体验。
若试题能与当地实际社会生活结合，则尤为评价者称道。
此类题目是目前中考热门题型，考生须重点研究。
这类题目一般文字较多，因此关键是读题。
求解时应多读几遍题目，找清已知量，用字母表示出未知量，理清它们的关系，列出代数式、方程（组）、不等式（组）或函数表达式，即可求解。
例如：
1.东风汽车股份有限公司是二汽1999年上市的一个子公司，上市后为迎接中国加入“WTO”的挑战，振兴中国汽车工业，公司员工及领导卧薪尝胆，艰苦奋战。
三年来公司利润节节攀升，在中国加入世贸的2001年，公司也取得创记录的好成绩9.2亿元（如图）。
（1）写出图中三点确定的二次函数表达式；
（2）由于公司开展了“增收节支”活动，从而生产成本大大减少，在汽车售价微降的同时利润率仍以每年3个百分点的速率上升，若公司1999年利润率为15%，试问2001年公司销售收入达到多少元？
（3）公司欲超常规发展，定下目标在2002年的利润仍以图中抛物线的上升速率上升，已知公司1-3月平均每月销售收入为5亿元，照此推算，2002年公司是否会达到或超过目标？
2.宜昌人引以为豪的夷陵广场坐落在城市中心的黄金宝地上，共占地5.5万平方米，是市政府拆迁商业城等建筑并投入1500万元建成的。
若在夷陵广场这片土地上修建商业写字楼，其建筑面积可以是土地面积的3倍，售出后每一平方米建筑面积市政府至少可以获得纯收入2400元。
问：
如果将实际投入和可能获得的纯收入合并计算都看作投入，那么市政府为市民办实事修建夷陵广场至少投入了多少元？
3.在双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派了一个人去了解船只的租金情况，这个人看到的租金价格表如下：
船型
每只限载人数（人）
租金（元）
大船
5
3
小船
3
2
那么，怎样设计租船方案才能使所付租金最少？
（严禁超载）
4.某市20名下岗职工在近郊承包50亩土地办农场。
这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：
作物品种
每亩地所需职工数
每亩地预产值
蔬菜
1/2
1100元
烟叶
1/3
750元
小麦
1/4
600元
请你设计一种种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产量最多。
5.一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预测从五月一日起的50天内，它的市场售价y1与上市时间x的关系可用图
（一）的一条线段表示；它的种植成本y2与上市时间x的关系可用图
（二）中的抛物线的一部分来表示。
（1）求出图
（一）中表示市场售价y1与上市时间x的函数关系式。
（2）求出图
（二）中表示种植成本y2与上市时间x的函数关系式。
（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本
也不赚钱？
（市场售价和种植成本的单位：
元∕千克，时间单位：
天）
四.探究性试题的尝试
探索图形（点、直线、抛物线、圆等）移动、旋转或变形后的新结论，主要考察学生的想象力、灵活性和探索能力。
1.已知：
如图1，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形。
求证：
AN=BM。
说明及要求：
本题是《几何》第二册P115中第13题，现要求：
（1）将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180º，使A点落在CB上。
请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）。
（2）在
（1）所得到的图形中，结论“AN=BM”是否还成立？
若成立，请证明；若不成立，请所明理由。
（3）在
（1）得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论。
2.如图，已知梯形ABCD中BC∥AD，AD=3，BC=6,高h=2，P是BC边上的一个动点，直线m过P点，且m∥DC交梯形另外一边于E，若BP=x，梯形位于直线m左侧的图形面积为y.
（1）当3（2）当0≤x≤3时，求y与x之间的函数关系式；
（3）若梯形ABCD的面积为S，当y=
S时，求x的值。
3.如图2，已知Rt△ABC的直角边AC的长为2，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，过D点作⊙O的切线交BC与点E。
（1）求证：
BE=DE；
（2）延长DE与AC的延长线交于点F，若DF=
，求△ABC的面积；
（3）从图2中，显然可知BC试分别讨论在其他条件不变，当BC=AC（图3）和BC>AC（图4）时，直线DE与直线AC还会相交吗？
若不能相交，请简要说明理由；若能相交，设交点为Fˊ且DFˊ=
，请再求出△ABC的面积。
4.如图5，已知AB是⊙O的直径，直线MN与⊙O相交于点E、F，AD⊥MN，垂足为D。
（1）求证：
∠BAE=∠DAF；
（2）若把直线MN向上平行移动，使之与AB相交，其他条件不变，请把变化后的图形画
出来，并指出∠BAE与∠DAF是否仍然相等（直接回答，不必证明）？
5.同学们知道：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫圆周角。
因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，而圆心角的度数等于它所对的弧的度数，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
类似的，我们定义：
顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角。
如图6中，∠DPB是圆外角，那么∠DPB的度数与它所夹的两段弧BD和AC的度数有什么关系？
（1）你的结论用文字表述为（不准出现字母和数学符号）：
。
（2）证明你的结论。
五.作图题与画图题
作图题要求尺规作图，而画图题作图要求不是很严格（可用三角板、量角器等），图上都要求保留作图痕迹。
1.如图，已知平行四边形ABCD，试用两种方法，将平行四边形ABCD分成面积相等的四部分（要求用文字简述你所设计的两种方法，并在所给的两个平行四边形中正确画图。
2.有一正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的四部分。
若道路的宽度可以忽略不计，请设计三种不同的修筑方案（在给出的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤）。
3.如图7，把边长为2cm的正方形剪成4个全等的直角三角形，请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照图14按实际大小画下来。
要求画出的图形互不全等，多画多加分。
（1）不是正方形的菱形（一个）；
（2）不是正方形的矩形（一个）；（3）梯形（一个）；（4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）；（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形
4.已知：
台球桌上有A、B两球（如图8）怎样击打球A，使球A依次撞击边框MN、NP，反射后撞击到球B，保留痕迹不写作法。
5.如图，要设计一个绕着中心轴平稳的旋转的零件，请你在图中画出你的设计方案。
六.学科交叉
1.Infig9,let△ABCbeanequilateraltriangle,DandEbepointsonedgesABandACrespectivelyFbeintersectionofsegmentsBEandCD,and∠BFC=120º,thenthemagnituderelationbetweenADandCEis（）
（A）AD>CE（B）AD2.如图，L甲、L乙分别是甲、乙两弹簧的长y（cm）与所挂物体重量x（kg）之间的函数关系的图象。
设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为K甲cm,乙弹簧每挂1kg物体伸长为K乙cm，则K甲与K乙的大小关系为（）
（A）K甲>K乙（B）K甲=K乙（C）K甲3.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm时滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为（）（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1˚）
（A）115˚（B）60˚（C）57˚（D）29˚
4.已知力F所做的功是15焦，则力F与物体在力的方向上通过的距离S的图象大致是图中的（）
5.在一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系：
溶质质量÷溶剂质量=溶解度÷100克。
已知20ºC时硝酸钾的溶解度是31.6克，在此温度下，设x克水可溶解硝酸钾y克，则y关于x的函数关系式是（）
（A）y=0.316x（B）y=31.6x（C）y=0.316÷x（D）y=x÷0.316
6.一种浓度是15%的溶液30千克，现要用浓度更高的同种溶液50千克和它混合，使混合后的浓度大于20%，而小于35%，则所用溶液浓度x的取值范围是（）
（A）15%
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