考点训练三角形内角和定理3.docx

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考点训练三角形内角和定理3

【考点训练】三角形内角和定理-3

一、选择题（共15小题）

1．（2014•邵阳）如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（　　）

A．

45°

B．

54°

C．

40°

D．

50°

2．（2011•台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？

（　　）

A．

B．

C．

D．

3．（2011•宁波）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为（　　）

A．

57°

B．

60°

C．

63°

D．

123°

4．（1997•浙江）如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，若∠A=42°，∠C=51°，则∠AOB=（　　）

A．

42°

B．

51°

C．

87°

D．

93°

5．（2012•连云港）如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为（　　）

A．

50°

B．

60°

C．

70°

D．

80°

6．（2010•大庆）如图，将一块三角板叠放在直尺上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）

A．

40°

B．

60°

C．

70°

D．

80°

7．（2013•鞍山）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A的度数为（　　）

A．

100°

B．

90°

C．

80°

D．

70°

8．（2008•毕节地区）若一个三角形的三个内角的度数比为3：

4：

7，则这个三角形的最大内角的度数为（　　）

A．

90°

B．

75°

C．

60°

D．

120°

9．（2004•丽水）三角形的内角和是（　　）

A．

360°

B．

180°

C．

90°

D．

60°

10．（2007•济南）已知一个三角形三个内角度数的比是1：

5：

6，则其最大内角的度数为（　　）

A．

60°

B．

75°

C．

90°

D．

120°

11．（2009•贵港）一个三角形三个内角的度数之比是2：

3：

5，则这个三角形一定是（　　）

A．

直角三角形

B．

等腰三角形

C．

钝角三角形

D．

锐角三角形

12．（2010•保山）如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠2=30°，则∠1是（　　）

A．

20°

B．

60°

C．

30°

D．

45°

13．（2006•柳州）如图所示，则△ABC的形状是（　　）

A．

锐角三角形

B．

钝角三角形

C．

直角三角形

D．

等腰三角形

14．（1999•哈尔滨）△ABC中，如果∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，则△ABC是（　　）

A．

锐角三角形

B．

直角三角形

C．

钝角三角形

D．

等腰三角形

15．（2006•临沂）已知△ABC，

（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+

∠A；

（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A；

（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣

∠A．

上述说法正确的个数是（　　）

A．

0个

B．

1个

C．

2个

D．

3个

二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）

16．（1997•湖南）已知△ABC中，∠A=65°40′，∠B=36°20′，则∠C的大小为　_________　．

17．（2006•玉溪）如图，已知DE∥BC，EF∥AB，∠DEF=50°，∠C=70°，则∠A=　_________　度．

18．（2003•青海）如图所示，两平面镜α，β的夹角为θ，入射光线AO平行于β，入射到α，经过两次反射后的反射光线O′B平行α，则∠θ的度数为　_________　度．

19．（2008•安徽）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=　_________　度．

20．（2009•黄石）如图，AB∥CD，∠1=50°，∠2=110°，则∠3=　_________　度．

21．（2009•衢州）如图，AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC的度数是　_________　度．

22．（2008•南通）如图，DE∥BC交AB、AC于D、E两点，CF为BC的延长线，若∠ADE=50°，∠ACF=110°，则∠A=　_________　度．

23．（2000•山西）若一个三角形的三个内角之比为4：

3：

2，则这个三角形的最大内角为　_________　度．

24．（2004•济南）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：

∠2：

∠3=28：

5：

3，则∠α的度数为　_________　度．

25．（2009•内江）如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80°，则∠B=　_________　度．

三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）

26．（2014•六盘水）

（1）三角形内角和等于　_________　．

（2）请证明以上命题．

27．（2006•浙江）已知：

如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：

∠P=90°．

【考点训练】三角形内角和定理-3

参考答案与试题解析

一、选择题（共15小题）

1．（2014•邵阳）如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（　　）

A．

45°

B．

54°

C．

40°

D．

50°

考点：

分析：

根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠BAD．

解答：

解：

∵∠B=46°，∠C=54°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=

∠BAC=

×80°=40°，

∵DE∥AB，

∴∠ADE=∠BAD=40°．

故选：

C．

点评：

本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．

2．（2011•台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？

（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

推理填空题．

分析：

根据钝角三角形有一内角大于90°且三角形内角和为180°，①∠C＞90°，②∠B＞90°，分类讨论解答．

解答：

解：

∵钝角三角形△ABC中，∠A=27°，

∴∠B+∠C=180°﹣27°=153°，

又∵△ABC为钝角三角形，有两种可能情形如下：

①∠C＞90°，

∴∠B＜153°﹣90°=63°，

∴选项A、B合理；

②∠B＞90°，

∴选项D合理，

∴∠B不可能为77°．

故选C．

点评：

本题考查了钝角三角形的定义及三角形的内角和定理，体现了分类讨论思想．

3．（2011•宁波）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为（　　）

A．

57°

B．

60°

C．

63°

D．

123°

考点：

分析：

根据三角形内角和为180°，以及对顶角相等，再根据两直线平行同旁内角互补即可得出∠EAB的度数．

解答：

解：

∵AB∥CD，

∴∠A=∠C+∠E，

∵∠E=37°，∠C=20°，

∴∠A=57°，

故选A．

点评：

本题考查了三角形内角和为180°，对顶角相等，以及两直线平行同旁内角互补，难度适中．

4．（1997•浙江）如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，若∠A=42°，∠C=51°，则∠AOB=（　　）

A．

42°

B．

51°

C．

87°

D．

93°

考点：

专题：

探究型．

分析：

先根据平行线的性质求出∠B的度数，再由三角形内角和定理即可得出∠AOB的度数．

解答：

解：

∵AB∥CD，∠C=51°，

∴∠B=∠C=51°，

在△AOB中，

∵∠A=42°，∠B=51°，

∴∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣42°﹣51°=87°．

故选C．

点评：

本题考查的是平行线的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐含条件．

5．（2012•连云港）如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为（　　）

A．

50°

B．

60°

C．

70°

D．

80°

考点：

专题：

压轴题．

分析：

先根据三角形内角和定理求出∠4的度数，由对顶角的性质可得出∠5的度数，再由平行线的性质得出结论即可．

解答：

解：

∵△BCD中，∠1=50°，∠2=60°，

∴∠4=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣50°﹣60°=70°，

∴∠5=∠4=70°，

∵a∥b，

∴∠3=∠5=70°．

故选：

C．

点评：

本题考查的是平行线的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．

6．（2010•大庆）如图，将一块三角板叠放在直尺上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）

A．

40°

B．

60°

C．

70°

D．

80°

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据对顶角的性质得出∠1=∠ABC=20°，求出∠ACB=70°，根据BC∥EF，推出∠2=∠WCE=70°即可．

解答：

解：

∵∠1=∠ABC=20°，

∴∠ACB=90°﹣∠ABC=70°，

∴∠WCE=∠ACB=70°，

∵BC∥EF，

∴∠2=∠WCE=70°．

故选C．

点评：

本题主要考查对三角形的内角和定理，平行线的性质，对顶角的性质等知识点的理解和掌握，求出∠WCE的度数是解此题的关键．

7．（2013•鞍山）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A的度数为（　　）

A．

100°

B．

90°

C．

80°

D．

70°

考点：

专题：

探究型．

分析：

先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可．

解答：

解：

∵DE∥BC，∠AED=40°，

∴∠C=∠AED=40°，

∵∠B=60°，

∴∠A=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣40°﹣60°=80°．

故选C．

点评：

本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．

8．（2008•毕节地区）若一个三角形的三个内角的度数比为3：

4：

7，则这个三角形的最大内角的度数为（　　）

A．

90°

B．

75°

C．

60°

D．

120°

考点：

分析：

已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，确定最大的内角的度数．

解答：

解：

设一份为k°，则三个内角的度数分别为3k°，4k°，7k°，

则3k°+4k°+7k°=180°，

解得7k°=90°．

所以最大的内角是90°．

故选A．

点评：

此类题利用三角形内角和定理列方程求解可简化计算．

9．（2004•丽水）三角形的内角和是（　　）

A．

360°

B．

180°

C．

90°

D．

60°

考点：

分析：

根据三角形内角和定理可知．

解答：

解：

作AB∥CD，

则∠D=∠1，∠2=∠C，

则∠C+∠D+∠3=∠2+∠3+∠1=180°．

故选B．

点评：

三角形的内角和是180度，可以根据平行线的性质，转化为平角的度数解答．

10．（2007•济南）已知一个三角形三个内角度数的比是1：

5：

6，则其最大内角的度数为（　　）

A．

60°

B．

75°

C．

90°

D．

120°

考点：

分析：

已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，确定最大的内角的度数．

解答：

解：

设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，5k°，6k°，

根据三角形内角和定理，可知k°+5k°+6k°=180°，

解得k°=15°．

所以6k°=90°，即最大的内角是90°．

故选C．

点评：

此类题利用三角形内角和定理列方程求解可简化计算．

11．（2009•贵港）一个三角形三个内角的度数之比是2：

3：

5，则这个三角形一定是（　　）

A．

直角三角形

B．

等腰三角形

C．

钝角三角形

D．

锐角三角形

考点：

专题：

压轴题．

分析：

已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，再判断三角形的形状．

解答：

解：

设一份为k°，则三个内角的度数分别为2k°，3k°，5k°．

根据三角形内角和定理可知2k°+3k°+5k°=180°，

得k°=18°，

所以2k°=36°，3k°=54°，5k°=90°．

即这个三角形是直角三角形．

故选：

A．

点评：

此类题利用三角形内角和定理列方程求解可简化计算．有一个角是90°的三角形是直角三角形．

12．（2010•保山）如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠2=30°，则∠1是（　　）

A．

20°

B．

60°

C．

30°

D．

45°

考点：

专题：

计算题；压轴题．

分析：

根据三角形内角之和等于180°，对顶角相等的性质求解．

解答：

解：

∵AB∥CD，EF⊥AB，

∴EF⊥CD．

∵∠2=30°，

∴∠1=∠3=90°﹣∠2=60°．

故选B．

点评：

考查平行线的性质和三角形内角之和等于180°．

13．（2006•柳州）如图所示，则△ABC的形状是（　　）

A．

锐角三角形

B．

钝角三角形

C．

直角三角形

D．

等腰三角形

考点：

分析：

根据三角形内角和定理计算．

解答：

解：

∠A+∠B+∠C=180°，

因为∠A=β，∠B=2β，

所以∠A+∠B=3β=∠C=90°，

△ABC的形状是直角三角形．

故选C．

点评：

此类题考查利用三角形内角和定理确定三角形的形状．

14．（1999•哈尔滨）△ABC中，如果∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，则△ABC是（　　）

A．

锐角三角形

B．

直角三角形

C．

钝角三角形

D．

等腰三角形

考点：

分析：

根据三角形的内角和定理和已知求最大角∠C的度数，再判断．

解答：

解：

∵∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，

∴∠A+∠B=∠C，

又∠A+∠B+∠C=180°，

∴2∠C=180°，即∠C=90°，

故该三角形是直角三角形．

故选：

B．

点评：

考查了三角形的内角和定理．

15．（2006•临沂）已知△ABC，

（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+

∠A；

（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A；

（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣

∠A．

上述说法正确的个数是（　　）

A．

0个

B．

1个

C．

2个

D．

3个

考点：

专题：

压轴题．

分析：

用角平分线的性质和三角形内角和定理证明，证明时可运用反例．

解答：

解：

（1）若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，

则∠PBC=

∠ABC，∠PCB=

∠ACB

则∠PBC+∠PCB=

（∠ABC+∠ACB）=

（180°﹣∠A）

在△BCP中利用内角和定理得到：

∠P=180﹣（∠PBC+∠PCB）=180﹣

（180°﹣∠A）=90°+

∠A，

故成立；

（2）当△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°时，结论不成立；

（3）若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，

则∠PBC=

∠FBC=

（180°﹣∠ABC）=90°﹣

∠ABC，

∠BCP=

∠BCE=90°﹣

∠ACB

∴∠PBC+∠BCP=180°﹣

（∠ABC+∠ACB）

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴∠PBC+∠BCP=90°+

∠A，

在△BCP中利用内角和定理得到：

∠P=180﹣（∠PBC+∠PCB）=180﹣

（180°+∠A）=90°﹣

∠A，

故成立．

∴说法正确的个数是2个．

故选C．

点评：

利用特例，反例可以比较容易的说明一个命题是假命题．

二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）

16．（1997•湖南）已知△ABC中，∠A=65°40′，∠B=36°20′，则∠C的大小为　78°　．

考点：

专题：

探究型．

分析：

直接根据三角形内角和定理进行解答即可．

解答：

解：

∵△ABC中，∠A=65°40′，∠B=36°20′，

∴∠C=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣（65°40′+36°20′）=180°﹣102°=78°．

故答案为：

78°．

点评：

本题考查的是三角形的内角和定理，即三角形内角和是180°．

17．（2006•玉溪）如图，已知DE∥BC，EF∥AB，∠DEF=50°，∠C=70°，则∠A=　60　度．

考点：

专题：

计算题．

分析：

利用平行线的性质和三角形的内角和就能求出．

解答：

解：

∵DE∥BC，EF∥AB，∠DEF=50°，∠C=70°，

∴∠1=∠DEF=50°，∠1=∠B，

故∠B=50°，

∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣70°=60°．

故填60．

点评：

此题很简单，考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，是中学阶段的常规题．

18．（2003•青海）如图所示，两平面镜α，β的夹角为θ，入射光线AO平行于β，入射到α，经过两次反射后的反射光线O′B平行α，则∠θ的度数为　60　度．

考点：

专题：

计算题；跨学科．

分析：

利用平行线的性质和反射的性质即可求出．

解答：

解：

假设OA与α的锐角夹角是∠1，OO′与α的锐角夹角是∠2，根据平行线和反射的性质可知：

∠1=∠2=θ，同理可知θ=∠BO′β=∠OO′θ．

∴△OO′θ是等边三角形，

∴∠θ的度数为60度．

故答案为：

60．

点评：

此题主要考查了平行线的性质和反射，最后利用三角形的内角和求解，注意平时学习时要把学科联系起来．

19．（2008•安徽）如图，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=　70　度．

考点：

专题：

计算题．

分析：

把∠2，∠3转化为△ABC中的角后，利用三角形内角和定理求解．

解答：

解：

由对顶角相等可得∠ACB=∠2=40°，

在△ABC中，由三角形内角和知∠ABC=180°﹣∠1﹣∠ACB=70°．

又a∥b，∴∠3=∠ABC=70°．

点评：

本题考查了平行线与三角形的相关知识．

20．（2009•黄石）如图，AB∥CD，∠1=50°，∠2=110°，则∠3=　60　度．

考点：

专题：

计算题．

分析：

如图所示，可根据邻补角、内错角以及三角形内角和求出∠3的度数．

解答：

解：

∵∠2=110°，

∴∠4=70°，

∵AB∥CD，

∴∠5=∠1=50°，

利用三角形的内角和定理，

就可以求出∠3=180°﹣∠4﹣∠5=60°．

点评：

本题考查了三角形的内角和定理，以及平行线的性质：

两直线平行，同旁内角互补．

21．（2009•衢州）如图，AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，则

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