算法设计普通背包问题与棋盘覆盖问题分析.docx
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算法设计普通背包问题与棋盘覆盖问题分析
目录
一、问题描述3
1、普通背包问题：
3
2、棋盘覆盖问题：
3
二、问题分析3
1、普通背包问题：
3
2、棋盘覆盖问题：
4
三、建立数学模型4
1、普通背包问题：
4
四、算法设计5
2、普通背包问题：
5
2、棋盘覆盖问题：
5
五、算法实现6
1、普通背包问题：
6
2、棋盘覆盖问题：
9
六、测试分析10
1、普通背包问题：
10
2、棋盘覆盖问题：
12
七、结论13
八、源程序13
1、普通背包问题：
13
2、棋盘覆盖问题：
16
九、参考文献：
17
一、问题描述
1、普通背包问题：
有一个背包容量为C，输入N个物品，每个物品有重量S[i]，以及物品放入背包中所得的收益P[i]。
求选择放入的物品，不超过背包的容量，且得到的收益最好。
物品可以拆分，利用贪心算法解决。
2、棋盘覆盖问题：
在一个2k×2k个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。
在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。
二、问题分析
1、普通背包问题：
贪心算法的基本思想是：
从问题的某一个初始解出发逐
步逼近给定的目标，以尽可能快的求得更好的解。
当达到算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。
背包问题用贪心算法来解决，先求出每件物品的平均价值即p[i]/s[i]，然后每次选择利润p[i]/s[i]最大的物品装进背包，这样就使得目标函数增加最快，当最后一种物品放不下时，选择一个适当的拆分，使物品装满背包，使得总的价值最大。
2、棋盘覆盖问题：
将2^kx2^k的棋盘，先分成相等的四块子棋盘，其中特殊方格位于四个中的一个，构造剩下没特殊方格三个子棋盘，将他们中的也假一个方格设为特殊方格。
如果是：
左上的子棋盘（若不存在特殊方格）则将该子棋盘右下角的那个方格假设为特殊方格
右上的子棋盘（若不存在特殊方格）则将该子棋盘左下角的那个方格假设为特殊方格
左下的子棋盘（若不存在特殊方格）则将该子棋盘右上角的那个方格假设为特殊方格
右下的子棋盘（若不存在特殊方格）则将该子棋盘左上角的那个方格假设为特殊方格
当然上面四种，只可能且必定只有三个成立，那三个假设的特殊方格刚好构成一个L型骨架，我们可以给它们作上相同的标记。
这样四个子棋盘就分别都和原来的大棋盘类似，我们就可以用递归算法解决。
三、建立数学模型
（根据问题情况选择，不需要此步骤可不要）
1、普通背包问题：
求平均价值即p[i]/s[i]
约束条件：
c1<=0
四、算法设计
2、普通背包问题：
用贪心算法进行设计，贪心算法的基本思想是：
从问题的某一个初始解出发逐
步逼近给定的目标，以尽可能快的求得更好的解。
当达到算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。
intn物品个数doubleC背包的容量
doubles[M]物品的重量（或大小）doublep[M]物品的价值
voidaverage（intn,doubles[M],doublep[M]）//按照价值密度的降序排列函数；
doublec1背包剩余容量totalp物品的总价值
voidbag（intn,doubleC,doubles[M],doublep[M],doublex[M]）求物品总价值的函数
在求物品总价值函数中药调用average函数，在主函数中调用bag（）函数。
2、棋盘覆盖问题：
采用分治法设计，分治法的基本思想：
分治法求解问题的过程是，将整个问题分解成若干个小问题后分而治之。
如果分解得到的子问题相对来说还太大，则可反复使用分治策略将这些子问题分成更小的同类型子问题，直至产生出方便求解的子问题，必要时逐步合并这些子问题的解，从而得到问题的解。
将2^kx2^k的棋盘，先分成相等的四块子棋盘，其中特殊方格位于四个中的一个，构造剩下没特殊方格三个子棋盘，将他们中的也假一个方格设为特殊方格。
如果是：
左上的子棋盘（若不存在特殊方格）则将该子棋盘右下角的那个方格假设为特殊方格
右上的子棋盘（若不存在特殊方格）则将该子棋盘左下角的那个方格假设为特殊方格
左下的子棋盘（若不存在特殊方格）则将该子棋盘右上角的那个方格假设为特殊方格
右下的子棋盘（若不存在特殊方格）则将该子棋盘左上角的那个方格假设为特殊方格
当然上面四种，只可能且必定只有三个成立，那三个假设的特殊方格刚好构成一个L型骨架，我们可以给它们作上相同的标记。
这样四个子棋盘就分别都和原来的大棋盘类似，我们就可以用递归算法解决。
tr:
棋盘左上方格行号；
tc：
棋盘左上方格列号；
dr：
特殊方格所在行号；
dc：
特殊方格所在列号；
size：
棋盘规格2k×2k
五、算法实现
1、普通背包问题：
（1）实现了按照价值密度的降序排列：
voidaverage（intn,doubles[M],doublep[M]）
{inti,j;
doubletemp1,temp2,temp3,c[M];
for（i=1;i<=n;i++）
c[i]=p[i]/s[i];
for（i=1;ifor（j=1;j<=n-i;j++）
if（c[j]{temp1=p[j];p[j]=p[j+1];p[j+1]=temp1;
temp2=s[j];s[j]=s[j+1];s[j+1]=temp2;
temp3=c[j];c[j]=c[j+1];c[j+1]=temp3;
}
};
（2）求最大总价值：
voidbag（intn,doubleC,doubles[M],doublep[M],doublex[M]）
{inti;
doublec1;
average（n,s,p）;
c1=C;
while（c1!
=0）
{for（i=1;i<=n;i++）
{if（s[i]<=c1）
{x[i]=1;
c1=c1-s[i];}
elseif（s[i]>c1）
{x[i]=c1/s[i];
c1=0;}//totalp=totalp+p[i]*x[i];
}}};
（3）主函数：
voidmain（）
{inti,n;
doubleC=0,totalp=0,s[M],p[M],x[M];
charch;
while
（1）
{display（n,C,s,p）;
bag（n,C,s,p,x）;//totalp
cout<<"结果表示为:
"<for（i=1;i<=n;i++）
cout<<"第"<"<"<"<cout<cout<<"向量表示:
"<<"（";
for（i=1;i<=n;i++）
{cout<totalp=totalp+p[i]*x[i];}
cout<<"）"<cout<<"背包的总价值为：
"<cout<<"按Y或y继续操作，否则按任意键"<cin>>ch;
if（ch=='Y'||ch=='y'）
continue;
else
break;
}}
显示函数Display（）:
voiddisplay（int&n,double&C,doubles[M],doublep[M]）
{inti;s[0]=0;p[0]=0;
cout<<"请输入物体数n:
";
cin>>n;
cout<cout<<"请输入背包总容量C:
";
cin>>C;
cout<cout<<"请输入各物体的大小或重量:
"<for（i=1;i<=n;i++）
cin>>s[i];
cout<<"请输入各物体的价值p:
"<for（i=1;i<=n;i++）
cin>>p[i];
cout<};
2、棋盘覆盖问题：
（1）棋盘覆盖分治实现：
voidchessBoard（inttr,inttc,intdr,intdc,intsize）
{if（size==1）
return;
intt=tile++;
ints=size/2;
if（drchessBoard（tr,tc,dr,dc,s）;
else
{board[tr+s-1][tc+s-1]=t;
chessBoard（tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s）;}
if（dr=tc+s）
chessBoard（tr,tc+s,dr,dc,s）;
else
{board[tr+s-1][tc+s]=t;
chessBoard（tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s）;}
if（dr>=tr+s&&dcchessBoard（tr+s,tc,dr,dc,s）;
else
{board[tr+s][tc+s-1]=t;
chessBoard（tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s）;}
if（dr>=tr+s&&dc>=tc+s）
chessBoard（tr+s,tc+s,dr,dc,s）;
else
{board[tr+s][tc+s]=t;
chessBoard（tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s）;}
}
（2）主函数：
voidmain（）
{intsize;
cout<<"输入棋盘的size（大小必须是2的n次幂）:
";
cin>>size;
intindex_x,index_y;
cout<<"输入特殊方格位置的坐标:
";
cin>>index_x>>index_y;
chessBoard（0,0,index_x,index_y,size）;
for（inti=0;i{
for（intj=0;jcout<cout<}
}
六、测试分析
1、普通背包问题：
（1）、输入物品个数n=3
（2）、输入背包容量C：
10
（3）、输入各物品的大小或重量：
6、5、5
（4）、输入各物品的价值p：
56、23、43
2、棋盘覆盖问题：
（1）、输入size：
8
（2）、输入特殊方块的位置:
1,1
七、结论
两个算法，普通背包问题是用的贪心算法设计的，棋盘覆盖问题是用的分治法设计的。
在开始设计时对贪心算法和分治算法的思想很好理解，但是在设计算法时大概思路还是有的，但写完算法写代码是发现写不出来，原因就是算法设计的还不够细，后来上网查了些资料，分析了别人的算法，最终实现了现在的算法设计。
在这两个算法中贪心算法求普通背包问题，基本上已经实现了主要的功能，在分治算法求棋盘覆盖问题，也基本上实现了它的功能，但在输入时还有不足，需要人工输入2的指数幂，不够方便。
不过总的来说这次实践收获很多，不仅对先前学到的知识进行了巩固，还在应用实践中获得了经验。
八、源程序
1、普通背包问题：
#include
#defineM100
voiddisplay（int&n,double&C,doubles[M],doublep[M]）
{inti;s[0]=0;p[0]=0;
cout<<"请输入物体数n:
";
cin>>n;
cout<cout<<"请输入背包总容量C:
";
cin>>C;
cout<cout<<"请输入各物体的大小或重量:
"<for（i=1;i<=n;i++）
cin>>s[i];
cout<<"请输入各物体的价值p:
"<for（i=1;i<=n;i++）
cin>>p[i];
cout<};
voidaverage（intn,doubles[M],doublep[M]）//按照价值密度的降序排列；
{inti,j;
doubletemp1,temp2,temp3,c[M];
for（i=1;i<=n;i++）
c[i]=p[i]/s[i];
for（i=1;ifor（j=1;j<=n-i;j++）
if（c[j]{temp1=p[j];p[j]=p[j+1];p[j+1]=temp1;
temp2=s[j];s[j]=s[j+1];s[j+1]=temp2;
temp3=c[j];c[j]=c[j+1];c[j+1]=temp3;}};
voidbag（intn,doubleC,doubles[M],doublep[M],doublex[M]）//totalp（总价值）
{inti;doublec1;
average（n,s,p）;
c1=C;
while（c1!
=0）
{for（i=1;i<=n;i++）
{if（s[i]<=c1）
{x[i]=1;
c1=c1-s[i];}
elseif（s[i]>c1）
{x[i]=c1/s[i];
c1=0;}//totalp=totalp+p[i]*x[i];
}}};
voidmain（）
{inti,n;
doubleC=0,totalp=0,s[M],p[M],x[M];
charch;
while
（1）
{display（n,C,s,p）;
bag（n,C,s,p,x）;//totalp
cout<<"结果表示为:
"<for（i=1;i<=n;i++）
cout<<"第"<"<"<"<cout<cout<<"向量表示:
"<<"（";
for（i=1;i<=n;i++）
{cout<totalp=totalp+p[i]*x[i];}
cout<<"）"<cout<<"背包的总价值为：
"<cout<<"按Y或y继续操作，否则按任意键"<cin>>ch;
if（ch=='Y'||ch=='y'）
continue;
else
break;
}
}
2、棋盘覆盖问题：
#include
inttile=1;
intboard[100][100];
voidchessBoard（inttr,inttc,intdr,intdc,intsize）
{if（size==1）
return;
intt=tile++;
ints=size/2;
if（drchessBoard（tr,tc,dr,dc,s）;
else
{board[tr+s-1][tc+s-1]=t;
chessBoard（tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s）;}
if（dr=tc+s）
chessBoard（tr,tc+s,dr,dc,s）;
else
{board[tr+s-1][tc+s]=t;
chessBoard（tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s）;}
if（dr>=tr+s&&dcchessBoard（tr+s,tc,dr,dc,s）;
else
{board[tr+s][tc+s-1]=t;
chessBoard（tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s）;}
if（dr>=tr+s&&dc>=tc+s）
chessBoard（tr+s,tc+s,dr,dc,s）;
else
{
board[tr+s][tc+s]=t;
chessBoard（tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s）;}}
voidmain（）
{
intsize;
cout<<"输入棋盘的size（大小必须是2的n次幂）:
";
cin>>size;
intindex_x,index_y;
cout<<"输入特殊方格位置的坐标:
";
cin>>index_x>>index_y;
chessBoard（0,0,index_x,index_y,size）;
for（inti=0;i{
for（intj=0;jcout<cout<}
}
九、参考文献：
《算法设计与分析》第二版吕国英版清华大学出版社
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