分数的意义和性质.docx
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分数的意义和性质
分数的意义和性质
分数的意义和性质汉阳区德才小学孙巧丽各位老师好！
我和大家分享的是第四单元《分数的意义和性质》的教材分析。
在准备的过程中，我感觉本单元的内容多，而且是本书中与旧教材区别最多的。
因此，在教学中，值得我们注意的地方也很多。
我们具体来看！
一、教学内容第四单元《分数的意义和性质》属于《数与代数》版块中数的认识。
本单元是学生系统学习分数的开始。
包括：
1．分数的意义、分数与除法的关系2．真分数与假分数3．分数的基本性质4．最大公因数与约分5．最小公倍数与通分6．分数与小数的互化二、教学目标。
1、《课程标准》关于这一内容的具体目标：
（1）、进一步认识分数，探索小数和分数之间的关系，并会进行转化（不包括将循环小数化成分数）。
（2）、会比较小数和分数的大小。
（3）、进一步体会数在日常生活中的作用，会用数表示事物，并能进行交流。
（4）、能找出10以内两个数的公倍数和最小公倍数。
（5）、能找出两个数的公因数和最大公因数。
2、单元教学目标：
（1）．知道分数是怎样产生的，理解分数的意义，明确分数与除法的关系。
（2）．认识真分数和假分数，知道带分数是一部分假分数的另一种书写形式，能把假分数化成带分数或整数。
（3）．理解和掌握分数的基本性质，会比较分数的大小。
（4）．理解公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数，能找出两个数的最大公因数与最小公倍数，能比较熟练地进行约分和通分。
注意，本册教材里最小公倍数和通分都只要求到会求两个数的。
对三个数的最小公倍数十不作要求的，教材中也予以了回避。
（5）．会进行分数与小数的互化。
3、教学重点：
能正确的进行分数的约分和通分4、教学难点：
①理解分数和除法的关系②理解分数的意义和基本性质三、编排上与旧教材的不同与联系体现如下：
1．多侧面地展现了分数的来源。
从现实需要和数学需要两个方面突出分数的产生。
2．把因数、倍数的有关知识与分数的相关知识结合起来教学。
即：
将公因数、最大公因数与约分编为一节；同样，将公倍数、最小公倍数与通分编为一节。
在以往的教材中，我们知道公因数和公倍数的概念是由数的整除引入，紧接着单元内一个概念紧跟一个概念，给学生的理解带来负担，而本教材这样的调整，分散了教学的难点，充分利用学生已有知识的迁移，最大公因数的应在于约分中，最小公倍数的应用在于通分中，降低了学习的难度，有利于学生认识的螺旋上升。
3．关注数学的抽象过程，从现实问题情境引出数学问题，得出数学知识。
本教材的实用性不断加强，无论是概念的引入或者练习的安排都特别注重数学知识在实际中的运用。
4．部分内容作了适当的精简处理或编排调整。
（1）求一个数是另一个数的几分之几的实际问题，原来安排在分数与除法的关系之后，现在挪后。
（2）分数大小比较，不单独列一段，而是与通分结合在一起学习。
（3）删去了原来第2节中把整数或带分数化成假分数的内容。
（4）分解质因数和用短除法分解质因数不作为正式教学内容，而只作为一个补充知识，安排在你知道吗？
中介绍。
四、具体编排形式、内容及知识点分数的意义分数的产生分数的意义分数与除法例1（单位1是一个物体）例2（单位1是多个物体）真分数与假分数例1（真分数）例2（假分数）例3（带分数）例4（假分数化成整数或带分数）分数的基本性质例1（分数基本性质的原理）例2（分数基本性质的应用）约分最大公因数例1（公因数、最大公因数的概念）例2（最大公因数的求法）约分例3（最简分数）例4（约分）通分最小公倍数例1（公倍数、最小公倍数的概念）例2（最小公倍数的求法）通分例3（分数的大小比较）例4（通分）分数与小数的互化例1（小数化分数）例2（分数化小数）五、学生已有知识基础1、在三年级上学期，已经初步认识了几分之一和几分之几（基本上是真分数），知道了分数各部分的名称，会读、写简单的分数，会比较分子是1的分数，以及同分母分数的大小。
还学习了简单的同分母分数加、减法。
2、已经感受过分数是由平均分后，反映整体与部分的关系。
3、学习了因数和倍数等概念，掌握了2、3、5的倍数的特征。
学好本单元的内容是顺利掌握分数四则运算并学会运用分数知识解决一系列实际问题的必要基础。
六、教学建议与畅想。
本单元建议20课时左右。
分数的意义的教学本节教材由分数的产生、分数的意义、分数与除法的关系三个层次的内容组成。
通过这三个层次的教学，能使学生比较完整地建立起分数的概念。
1.通过揭示概念的现实意义，激发学生的学习兴趣。
分数的意义的教材本身具有很强的现实意义，就是我们生活中遇到很多的分物情况，而且富有相当的趣味性。
教学时，应充分利用教材的这一特点，为学生提供现实的分物情境，在分得过程中，说的过程中去体会分数的意义。
在分数的产生的教学中，教材的情景图只展示了测量和分物两种情况下，得不到到整数的结果，教师还要在课堂中补充在计算中，往往也不能得到整数结果，在这三种情况下，形成认知冲突，突出扩充整数的必要性。
2．重视概念的形成过程。
在本节的教学中，必须重视单位1和分数单位这两个概念，以及分数与除法关系的认识。
因为这三个知识点是完整分数概念的重要组成部分，而且它们本身又比较抽象。
所以教学时，应注意由具体到抽象，由个别到一般，适当展开概念的形成过程，帮助学生在这过程中获得感悟，自己建构这些概念的意义。
本节的内容分4课时完成。
在第1课时教学分数的产生和意义，教学落脚感受分数的产生，理解分数的意义，重点突破单位1的教学。
第2课时接着教学分数单位进行巩固练习,要加强对把一些物体看作单位1后所得到的分数的感受和理解。
第3课时只教学例1和例2，落脚于理解分数与除法的关系，为把假分数改写成整数、带分数做准备。
例1、例2的教学中，例1是学生较容易理解的，而例2这个是学生在认识中容易混淆，难理解的，要让学生经历3块月饼平均分给4个人的不同分法，得出每人最后分的了多少张饼？
学生难理解在①单位1此处是多个物体在进行平均分，②用分数表示的是具体数量多少张饼，是带有单位名称的。
具体关于这一课，我是这样做的：
（1）口算：
284=2100=64=16=0.72=910=（进而提出当16得不到一个准确的小数时，又该如何表示？
）
（2）在寻找解决方法的过程，揭示课题。
（3）解决例1中，列出算式13，结合图示理解，根据除法的意义把除法的意义和分数的意义进行统一。
（4）进而出示例2，用除法的意义列出除法算式34（5）小组活动，利用3个圆片自己动手分一分。
老师收集不同的分法。
可能会出现：
①有将每个圆片平均分成4份，分了3次，再把12个分给4个人；②有将3个圆片摞起来一块分，分一次，每个人分得3个的；③先把2个圆摞在一起，分成4个1/2块，再把1个圆平均分成4份剪开，然后把1/2块和1/4块拼在一起，得出每人分到块；④操作与推理结合：
1块月饼平均分给4人，每人分得块，3块月饼平均分给4人，每人分得3个块，是块。
（6）结合具体分法，理解关系老师可以通过这样设计的问题，引导学生将自己的想法表达清楚：
a：
你们是几张几张的分的？
b：
每人每次分得多少张饼？
c：
分了几次，共分了多少张？
d：
怎样才能看出是张？
几种分法都强调分得了多少张饼，让学生初步体会了分数的另一种含义，带上了单位名称张之后，就表示具体的数量了。
（7）如果不借助学具，你能想像出5张饼平均分给8个人，每人分多少张吗？
（8）大家观察这些算式，看看你能发现什么？
思考：
分数和除法有关系吗？
有怎样的关系？
引导学生明确，两个自然数相除，不能整除时，他的商可以用分数表示。
除法里的被除数相当于分数中的分子，除数相当于分母，除号相当于分数中的分数线。
在这儿，可以把分数的意义进一步扩展，它既可以表示作为结果的一个数，也可以表示一种运算过程。
具体谈三点：
a、可以解决整数除法中商不是整数的情况。
b、分数与除法可以互逆，可看作同一种运算。
c、因为除数不能为0，所以分母不能为0。
除了联系，还可以让学生说说除法和分数的区别。
除法是一种运算，分数师一个数，并不是分数就是除法，除法就是分数，而只是相当于。
要引导学生用字母关系式抽象描述分数与除法的关系。
ab=（9）开课的口算题，用分数表示他们的计算结果。
注意：
0.72=是可以的，这种分数形式平时并不常见，随着今后的学习，大家就能把它转化成常见的分数。
3、温馨提示
（1）你知道吗？
可以作为阅读材料，布置学生课外阅读。
课本的小知识，往往引不起学生的注意，要通过教师的简单介绍及学生课后的阅读，让学生体会到分数表示的多样性和一些历史面目，开拓学生的知识面。
（2）练习十一是配合第1、2课时，练习十二是配合3、4课时（3）练习十一第9题学生表示出分数应该问题不大，但我们应当更深入挖掘教材的价值，使学生看到，同一个单位1，随着分母的增大，几分之一所表示的苹果个数，从1/2的6个到1/12的1个，相应地在减少。
这道题，还可以增加这样的问题：
如果我想使7个表示1/2，应该增加几个苹果？
（4）P67第3题，这题是换算单位名称，以前是在整数范围内，现在换算时，整数已经不能解决问题了，先让学生理解题意，9cm=多少m,列出算式9100，用低级单位除以进率，再根据除法与分数的关系，将其写成分数。
真分数和假分数1.数形结合，帮助学生建构概念意义。
理解三种分数，我们有几种有利的工具：
一是用图形的等份，揭示真分数、假分数和带分数的意义；二是用数轴上的点，三种分数的集中位置，清楚揭示真分数、假分数的大小。
在教学中，我们要充分运用好这些材料，帮助我们突破难点。
2.方法与算理、概念结合，帮助学生掌握方法。
假分数化带分数或整数的方法，既可以由分数与除法的关系导出，例如7/3=73=21=21/3，又可以根据分数的意义来解释假分数化带分数或整数的结果，结合直观图解释。
教学时，先让学生探索交流，感受方法的多样性。
在交流的过程中，学生优化各自的想法，教师画龙点睛式的引导，促进学生对方法的理解，而不是让学生简单机械的简单模仿学习，再通过回顾反思、讨论交流，统一并总结化法。
本节内容分三个课时。
第一课时教学真分数和假分数的概念，配套是P72第13题。
第二课时教学带分数的概念以及假分数化成整数和带分数的方法,个人认为这是本小节中学生难理解的内容，配套P72页47题，第三课时为练习课，配套P73页813题，可适当加入练习。
温馨提示：
（1）例2的教学中，需指出这里的单位1是一个圆而不是所有圆的总体。
认识假分数是学生认识的难点。
从分散难点出发，可以将教材中的三个分数图逐个呈现借助4/4的图，重点是让学生理解把一个圆看作单位1，4个1/4是4/4，借助7/4的图的呈现，重点是让学生体会到一个圆中不能涂色表示7/4，借助11/5的图，让学生感受11/5的形成过程，理解分母、分子所表示的意义，从而为后继认识假分数大于1或者等于1提供表象支撑。
（2）认识假分数时，注重抓住从有几个分数单位入手，用分数形式表示，防治从分数意义上形成分数，假分数只是一种分数形式，并非表示部分与整体的关系。
（3）由于学生第一次接触假分数，往往只记住分子比分母大的分数是假分数，而忽视了分子与分母相等的分数也是假分数。
因此，教学假分数概念后，可以多举一些等于1的假分数让学生辨别。
（4）要把假分数化成整数或带分数是因为要培养学生对于分数的数感，看到假分数就能联想到它所对应的整数或者带分数。
要注意的是，书上教学完后没有文字的方法总结，教师要引导学生总结假分数化成整数或带分数的一般方法，进行概括。
要再猜想的基础上进行印证：
用分子除以分母，没有余数的化成整数；有余数时，化成带分数，特别是带分数的分数部分是本例题的难点。
（5）P70第2题用直线上的点表示分数，要注意引导学生观察0---1被平均分成了6份，在表示分母为3的分数时，应怎样取份数？
完成后，再及时引导学生观察，表示真分数的点和表示假分数的点，分别在直线的哪一段上？
分数的基本性质1.加强直观操作活动，帮助学生理解分数大小相等的算理。
这里是本单元的重点内容之一。
教学时，一定要通过折纸、涂色的操作活动，使学生获得非常具体、真切的感知。
有的教师单依靠说理来弄懂它，这样会在后面的教学中留下疑点。
2．教学例1时，观察规律，一定要从两个方向来进行，得出分母和分子的变化规律（图示）。
对于五年级的学生来说，找与1/2相等的恶分数应该是比较容易的，关键是通过让学生说明分数相等来感受分数分子和分母的变化。
3．通过观察例1后，让学生自主举例，从具体到一般，得出分数的基本性质。
4．注意通过类比，利用商不变性质，来理解分数的基本性质。
分数基本性质与商不变性质，在内容上、在语言叙述上，具有很大的一致性，有利于促进教学的正迁移。
教学中，要引导学生用除法中商不变的性质来说明分数的基本性质，利用这些知识来帮助学生归纳、理解分数的基本性质。
本节内容安排2课时。
例1教学分数基本性质的推导，例2教学分数基本性质的应用，把分数化成分母不同（分母扩大、缩小两种情况），但大小相同的另一分数。
P77的第15题配合第一课时，P78的第610题配合第二课时。
个人认为本小节最重要的是第一课时，理解好分数基本性质的算理。
温馨提示：
（1）分数的基本性质也可以从分数的意义来解释，例如：
就是把原来的每一等份再平均分成4份，所以单位1一共平均分成了24=8（份），表示有这样的14=4（份），反过来，也可以这样理解。
（2）在根据分数和除法的关系和商不变得性质来说明分数的基本性质时，学生一般不难回答，只是在说出除法与分数各部分的对应关系时，常常会说错，尤其是除法中的商相当于分数的大小，需要教师给以适当的帮助。
（3）在分数的基本性质的应用例2的教学时，要理清解决问题的思路。
大部分学生应该能顺利转化分数，关键是教师要引导学生运用分数的基本性质说清转化的过程和理由。
先考虑怎样使分母变成12，再考虑怎样变分子，使分数的大小不变，尽量让学生在说的过程中把分数的基本性质渗透在具体的题目中，促进队分数的基本形质的理解。
（4）P77第4题。
由于学生此时还没有学习约分，可能有的学生感到困难，教师要引导学生先观察，推算出每个分数中分母和分子可以同时除以几，然后在直线上画出表示该数的点。
本题6个分数，不同的分数值有2个，只需要画2个点。
约分大家可以看到，这是本套教材与旧教材最大的一个区别的地方，最大公因数是与约分一起编排的。
而且，分解质因数的方法找最大公因数是做为一个你知道吗？
提出的。
那么我们在充分吃透教材的基础上，注意以下几点：
1.用好教材资源，把握好联系实际的度。
本单元教材在教学公因数和最大公因数概念时，采用了由实际问题铺地砖问题引入概念的方式。
而不是像以前的教学利用直观教具和学具来引入公因数和最大公因数的概念，已开始就出现公因数和最大公因数的应用问题，问题解决和概念引入结合在一起，教学的难度比以往的教材自然要稍大一些，这样的处理的好处是便于揭示数学与现实世界的联系，有利于学生理解公因数、最大公因数概念的现实意义。
在练习中，也安排有应用最大公因数的实际问题。
这些教材资源应当充分利用好。
考虑到从现实情境中抽象出两个数的最大公因数的数学问题大多具有一定的思维难度，因此教学时不宜过多地补充其他情境的类似问题，以免增加学生的学习困难。
2.要重视对分解质因数方法的拓展。
除了书上介绍的两种方法A．分别列出18和27各自的因数，从中找出公因数，再看哪个最大；B．先写出较小的数18的因数，从中圈出27的因数，再看哪个最大。
还要对学生教学利用分解质因数的方法，找最大公因数的拓展，这可以单独加一课时进行拓展。
对是否使用短除法不作统一要求。
因为教材中呈现的都是比较直观、直接的思考方法，实际中，学生遇到分数约分的问题，也不会拿笔计算，就是用教材的方法去思考。
但我们也可以提升学生的抽象逻辑思维能力，从两个数的质因数入手，去找他们的公因数。
3.要结合具体素材，介绍互质数的含义。
在例3中，教学最简分数的概念，在之前可以结合情况，告诉学生，当分子和分母只有公因数1时，它们也叫互质数。
这也是教材P83页你知道吗？
的内容。
这个处理可以在P83页第6题，按要求写出最大公因数是1的两个数时，告诉学生这里写出的数，也叫互质数。
4．要总结概括出几种特殊情况下，两个数的最大公因数。
新课讲完后，结合做一做的练习，归纳出：
a、当两个数只有公因数1时，它们的最大公因数是1。
b、当两个数之间有倍数关系（一个数是另一个数的因数）时，比较小的数是它们的最大公因数。
教材没有文字概括，但是在实际教学中，要求学生能知道并记住。
约分是本单元的重点内容之一，方法就是找公因数和最大公因数。
本节内容安排4课时，建议在加一课时。
通过二个课时教学完最大公因数的概念及求法后，补充一课时单独讲解分解质因数并补充相应练习。
第四课时教学最简分数的概念及约分的方法，完成配套练习十六的习题，在这里个人认为要注意的是，最简分数的概念不是告诉，是探究，是感悟，是在学生多次尝试中自己得出的结论。
虽然此时还没有开始化简分数，但寻找最简分数的过程就是他们自我尝试约分的过程，是在练习判断最简分数的过程。
第五课时为练习课。
温馨提示：
（1）适当补充判断2、5、3的倍数的练习。
对学生来说，掌握约分的方法并不难，但要熟练进行约分，关键在于能够很快地看出分子、分母是否含有公因数2、5、3等。
因此，教学中可以根据本班学生的实际情况，适当补充一些判别2、5、3的倍数的练习。
为学习约分提供必要的扎实基础。
（特别当分子和分母中有公因数3，学生不容易直接看出的，要多加练习。
）
（2）适当加强口算练习，帮助学生掌握约分方法。
约分是化简分数的基本手段，在后面的分数的四则运算中运用很多。
为了帮助学生较为熟练的掌握约分的方法，行之有效的措施之一就是开展经常性的口算。
这样费时不多，练习效率较高。
（3）认识集合图的教学，可以与做一做的教学结合，在探究中体会数形结合的数学思想。
数形结合的思想就是充分利用形，把一定的数量关系形象的展示出来，帮助学生正确理解数量关系，使问题简明直观。
教学集合图，可以在学生认识公因数后，利用教材做一做为题材，组织学生开展游戏活动，要求卡片是18的约数的同学站在老师的左边，卡片是12的同学请站在老师的右边，当出现两难的同学时，又适时请同学们讨论他们应该站在什么位置？
再由学生在老师身边的位置过渡到数字啊仔集合圈中的位置，在探究中理解集合图的表示形式，较好的实现由具体到抽象的过渡。
（4）学习完约分后，在解决分数问题的过程中，提醒学生注意约分，用最简分数做为答案。
掌握约分，除了要很快看出分子、分母大于1的公因数之外，很重要的一点是能判定约分结果是不是最简分数，这是学生在实际中容易忽视的。
要通过教学，让学生有意识的将遇到的分数结果化简。
（5）P82页第4、5题，写出分子和分母的最大公因数，这也就是蕴含着下一课时约分的内容在里面，可以告诉学生，检验找的对不对，就看分子和分母同时除以答案后，还有没有公因数？
通分与最小公因数和约分的教学类似。
也可以补充课时介绍分解质因数找两个数的最小公倍数。
按照《标准》的要求，教材中只出现求两个数的最小公倍数。
搞好本节内容的教学，除了继续用好教材资源，把握好联系实际的度，继续适当加强口算练习以外，同时还要注意：
1、与九年义务教育大纲教材相比，课标实验教材在编排上和要求上有两点变化需要注意：
一是将分数的大小比较与通分结合在一起学习，在解决异分母分数大小比较问题的过程中教学通分。
二是通分时不强求取两个分母的最小公倍数做公分母，可以把分母都化成两个分母的最小公倍数，也可以化成其他较大的公倍数，教学时应让学生说说是怎样确定公分母的，为什么这样确定，帮助学生自己感悟方法的优势和不足。
2、注意揭示约分和通分的异同。
约分和通分既有联系，又有区别。
它们的联系在于：
都是根据分数的基本性质，都要保持分数的大小不变。
他们的区别在于：
约分可以只对一个分进行，而通分至少要对两个分数进行；约分是对分子、分母同除以一个不等于0的数，而通分则对分子、分母同乘一个不等于0的数；约分的结果是最简分数，而通分的结果是同分母分数。
教学时，要注意引导，促使学生理解约分和通分的异同，以防止混淆。
3、概念的教学也应体现解决问题策略的多样化。
学生比较异分母分数的方法可能有3至4种，一是画图表示2/5和1/4，直观比较；二是把分数化成效是来比较；三是化成同分母分数进行比较；四是化成同分子分数进行比较。
最小公倍数的教学，我是这样做的：
（1）引入：
蜜蜂采蜜，一组3分钟回来一次，一组4分钟回来一次，能遇上吗？
赋予数学知识应用价值。
（2）利用学具，证明自己的想法。
学具有相应长度的纸条。
（3）交流：
①：
用纸条证明，②：
用数轴证明，③：
找倍数的方法证明。
纸条因为其直观性，为学生提供基本探索的空间，学生易于观察，但我们同时还要一步步优化到找倍数这个方法上来。
（4）如果换个数，6分钟和9分钟，会遇上吗？
那是不是任意两个数都有公倍数呢？
（5）揭示公倍数的概念。
公倍数有多少个呢？
学会用集合图表示，重叠的部分为什么要添上省略号？
（6）你能找出最大或最小的公倍数吗？
（7）研究课本中用长方形砖铺地的实际问题。
观察发现铺成正方形的边长有可能是几？
与长方形的长、宽有什么关系？
结合操作过程学生会发现正方形的边长必须既是3的倍数，又是2的倍数。
进一步思考：
两个数的公倍数和最小公倍数之间有什么关系？
（8）完成做一做。
直接把找特殊情况下两个数最小公倍数这一问题抛给学生，通过学生练习、让学生不断发现不断改进。
不同的学生就会有不同的想法，并不断优化中，找出规律。
温馨提示：
（1）P92页的第9题，此题学生可能感觉无从下手，它是反其道而行之，从最小公倍数36入手，找
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