专题74 二次函数在实际应用中的最值问题解析版.docx

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专题74二次函数在实际应用中的最值问题解析版

专题74二次函数在实际应用中的最值问题

1、某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种水果每次降价的百分率；

（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

（3）在

（2）的条件下，若要使第15天的利润比

（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

【答案】

（1）10%；

（2），第10天时销售利润最大；（3）0.5．

【详解】

解：

（1）设该种水果每次降价的百分率是x，10（1﹣x）2=8.1，x=10%或x=190%（舍去）．

答：

该种水果每次降价的百分率是10%；

（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：

10×（1﹣10%）=9，∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）=﹣17.7x+352，∵﹣17.7＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=1时，y有最大值，y大=﹣17.7×1+352=334.3（元）；

当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：

8.1元，∴y=（8.1﹣4.1）（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）=﹣3x2+60x+80=﹣3（x﹣10）2+380，∵﹣3＜0，∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，∴当x=10时，y有最大值，y大=380（元）．

综上所述，y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式为：

，第10天时销售利润最大；

（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，由题意得：

380﹣127.5≤（4﹣a）（120﹣15）﹣（3×152﹣64×15+400），252．5≤105（4﹣a）﹣115，a≤0.5．

答：

第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．

2、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：

（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；

（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？

（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）

【答案】

（1）p=﹣30x+1500；

（2）这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）a=2．

【详解】

（1）假设P与的一次函数关系,设函数关系式,

则,解得,

∴,

检验:

当,当当,均符合一次函数解析式

∴所求的函数关系式,

（2）设日销售利润,

即,

当时,有最大值为3000元,

故这批农产口的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大,

（3）日获利,

即,

对称轴这,

若,则当时,有最大值,即（不合题意）,

若,则当时,有最大值,

把代入,可得,

当时,,

解得,（舍去）,

综上所述,的值为2.

3、怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．

（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份；

（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少．

【答案】

（1）60；

（2）316．

【详解】

解：

（1）、设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份，

根据题意得：

，

解得：

，

答：

该店每天卖出这两种菜品共60份；

（2）、设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖（20+a）份，总利润为w元，

因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B种菜品卖（40﹣a）份，每份售价提高0.5a元．

则w=（20﹣14﹣0.5a）（20+a）+（18﹣14+0.5a）（40﹣a）

=（6﹣0.5a）（20+a）+（4+0.5a）（40﹣a）=（﹣0.5a2﹣4a+120）+（﹣0.5a2+16a+160）

=﹣a2+12a+280=﹣（a﹣6）2+316，

当a=6，w最大，w=316

答：

这两种菜品每天的总利润最多是316元．

4、“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数：

y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润=票房收入﹣运营成本）．

（1）试求w与x之间的函数关系式；

（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？

最大利润是多少元？

【答案】

（1）w=﹣4x2+220x﹣1000；

（2）影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．

【详解】

（1）根据题意，得：

w=（﹣4x+220）x﹣1000=﹣4x2+220x﹣1000；

（2）∵w=﹣4x2+220x﹣1000=﹣4（x﹣27.5）2+2025，∴当x=27或28时，w取得最大值，最大值为2024，答：

影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．

5、把函数的图象绕点旋转，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数．的图象的对称轴与轴交点坐标为．

（1）填空：

的值为　　（用含的代数式表示）

（2）若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的解析式；

（3）当时，的图象与轴相交于两点（点在点的右侧）．与轴相交于点．把线段原点逆时针旋转，得到它的对应线段，若线与的图象有公共点，结合函数图象，求的取值范围．

【答案】

（1）；

（2）；（3）或或

【详解】

解：

（1）

顶点围绕点旋转180°的对称点为，

，函数的对称轴为：

，

，

故答案为：

；

（2）时，

，

①当时，

时，有最小值，

时，有最大值，

则，无解；

②时，

时，有最大值，

时，有最小值，

（舍去）；

③当时，

时，有最大值，

时，有最小值，

，

解得：

或2（舍去0），

故；

（3），

，

点的坐标分别为，

当时，越大，则越大，则点越靠左，

当过点时，，解得：

，

当过点时，同理可得：

，

故：

或；

当时，

当过点时，，解得：

，

故：

；

综上，故：

或或．

6、湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．

（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；

（2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：

与的函数关系为；与的函数关系如图所示．

①分别求出当和时，与的函数关系式；

②设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？

并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）

【答案】

（1）a的值为0.04，b的值为30

（2）①y=t+15，y=t+30②当t为55天时，W最大，最大值为180250元

【详解】

（1）由题意得

解得

答：

a的值为0.04，b的值为30.

（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数关系式为y=k1t+n1

把点（0，15）和（50，25）的坐标分别代入y=k1t+n1，得

解得

∴y与t的函数关系式为y=t+15

当50＜t≤100时，设y与t的函数关系式为y=k2t+n2

把点（50，25）和（100，20）的坐标分别代入y=k2t+n2，得

解得

∴y与t的函数关系式为y=t+30

②由题意得，当0≤t≤50时，

W=20000×（t+15）-（400t+300000）=3600t

∵3600＞0，∴当t=50时，W最大值=180000（元）

当50＜t≤100时，W=（100t+15000）（t+30）-（400t+300000）=-10t2+1100t+150000=-10（t-55）2+180250

∵-10＜0，∴当t=55时，W最大值=180250

综上所述，当t为55天时，W最大，最大值为180250元.

7、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为．

（1）如图，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？

（2）如图，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：

“只要饲养室长比

（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．

【答案】

（1）x=25；

（2）小敏的说法不正确．

【详解】

（1）∵=，∴当x=25时，占地面积y最大；

（2）=，∴当x=26时，占地面积y最大．即当饲养室长为26m时，占地面积最大．∵26-25=1≠2，∴小敏的说法不正确．

8、铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：

第x天

1≤x≤6

6＜x≤15

每天的销售量y/盒

10

x+6

（1）求p与x的函数关系式；

（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？

（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？

请直接写出结果．

【答案】

（1）p=x+18；

（2）第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元； （3）第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．

【详解】

（1）设p=kx+b（k≠0），∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，∴，解得：

，所以p=x+18；

（2）1≤x≤6时，w=10[50﹣（x+18）]=﹣10x+320，6＜x≤15时，w=[50﹣（x+18）]（x+6）=﹣x2+26x+192，所以，w与x的函数关系式为，

当1≤x≤6时，∵﹣10＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x=1时，w最大为﹣10+320=310，6＜x≤15时，w=﹣x2+26x+192=﹣（x﹣13）2+361，∴当x=13时，w最大为361，

综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；

（3）w=325时，﹣x2+26x+192=325，x2﹣26x+133=0，解得x1=7，x2=19，所以，7≤x≤13时，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．

9、2016年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮，某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销，若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”，共需120元；若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”，共需205元．

（1）设A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；

（2）B种“火龙果”每件的