如何整体把握高中数学课程针对课程内容进.docx
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如何整体把握高中数学课程针对课程内容进
如何整体把握高中数学课程，针对课程内容进行主线分析
一．高中数学课程其实就是分成几大板块，如：
1曲线分为那些椭圆，圆，抛物线。
2函数，这个很重要，和别的联系性也很强，
3概率
4立体几何立体感强的人容易一些对于有的人就不是特别好学，亲身体验
5向量
6集合与函数有时会联系在一起
7排列组合
印象回忆，也许不太全，但是这些都是重点，也是必考的。
然后有得部分间是有联系的，有的是毫无联系性的，像毫无联系性的，用我们老师的话说，就是无论你数学多烂，到了一个新的部分也一样是和别人一样，都是起步。
二．内容主线：
2.1函数主线
20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。
克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：
“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。
以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。
”
高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的主线，这条线将延续到大学的数学中，我们知道，大学几乎所有的专业都开设了高等数学，有文科的高等数学，有工科的高等数学，在数学系中，有数学与应用数学专业、信息与计算专业、统计数学专业，这些专业开设了不同高等数学内容的课程，虽然，不同的专业开设不同的高等数学课程，但是，函数是这些高等数学课程的一条主线，在数学系课程中，尤显突出，例如，数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，这些课程都是把函数作为研究对象。
函数、映射不仅是数学的基本研究对象，它们的思想渗透到几乎每一个数学分支。
在高中阶段，如何认识函数的作用？
如何把握函数的内容？
如何进行函数的教学？
学生学完高中课程，在函数的学习中，应留下什么呢？
每一个高中数学教师都应该认真思考这些问题。
1．对函数的认识
（1）函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型
把函数看作是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，通过探索，理解可以用变量与变量之间的依赖关系反映自然规律，这是我们认识现实世界的重要视角。
在现实生活中，在其他学科中，有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，一般的说，速度和湿度就没有依赖关系；有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个量的变化。
例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化。
又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。
这些对象的变量之间都有着密切的依赖关系，而且，这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量有唯一确定的值。
具有这种特征的变量之间的依赖关系在现实世界中大量存在。
例如，在汽车的运动中，运动时间和速度是有依赖关系的两个变量，在任何时刻，汽车只能有唯一的一个速度。
又如，邮局按邮件的重量收取邮资，邮资与邮件的重量是有依赖关系的两个变量，对同类型具有一定重量的邮件，只能收取唯一确定的邮资。
函数正是反映变量与变量之间这种依赖关系的，它是刻画现实世界中自然规律的重要模型。
这也是数学联系实际的基础。
（2）函数是联结两类对象的桥梁
把函数看作是联结两类对象的桥梁，即通常说的映射关系。
在高中阶段，函数的定义为：
给定两个实数集合A、B，对集合A的任一元素a，按照某种对应关系f，在集合B中存在唯一元素b与之对应，即f（a）=b。
我们称这个对应关系f为集合A到集合B的一个函数关系，简称函数,记作：
f:
AB。
这是用映射的观点刻画函数，它反映两个数集之间的关系，在两个数集之间架起了一座桥梁。
这样的看法反映了数学中的一种基本思想。
在代数学中，同构、同态都是构架两个代数结构的桥梁。
在拓扑学中，连续、同胚都是构架两个拓扑结构的桥梁。
这种思想渗透到每一个数学分支中。
（3）函数是“图形”
函数关系是平面上点的集合，又可以看作平面上的一个“图形”。
在很多情况下，函数是满足一定条件的曲线。
因此，从某种意义上说，研究函数就是研究曲线的性质，研究曲线的变化。
运用这种看法，函数可以看作数形结合的载体之一。
实际上，高中数学课程中的数形结合主要有三个载体：
解析几何、向量几何、函数。
在讨论函数问题时，帮助学生养成画函数图形，并且用函数图形思考问题的习惯。
树立“图形意识”是掌握函数性质、学好函数的关键。
以上是认识函数的三个不同角度，它们可以帮助我们更全面地认识函数，也是学生在高中阶段中应留下的东西。
这些对于进一步学习是很重要的。
进入大学，在高等数学的学习中，我们还会学习认识函数的新的视角，例如，在很多情境中，常常要把具有某些形式的函数作为一个整体，并讨论整体的结构。
2．中学数学研究函数的什么性质
数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。
因为，函数的变化特征反映了它所刻画的自然规律的特征。
在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性。
也讨论某些函数的奇偶性。
单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质。
就是当自变量增加（减少）时，函数值是增加还是减少？
单调性反映的是某个范围里函数的变化，不是函数的局部性质。
从几何的角度看，就是研究函数图像走势的变化规律。
在高中数学课程中，对于函数这个性质的研究分成两个阶段。
第一阶段，安排在必修1中。
要求理解单调性的图形直观，理解单调性的定义，通过大量的具体函数，理解单调性在研究函数中的作用。
单调性与函数图形有密切联系，了解了函数的单调性，基本上就可以决定函数图形的走势；反过来，掌握了函数图形的走势，也就基本上了解了函数的单调性，这是掌握函数的最基本的东西；单调性与不等式联系密切，单调性的形式化定义是借助于不等式给出的。
反之，具体函数的单调性反映了一些不等关系。
关于单调性的证明一定要把握好它的“度”，一般的只证明以下几种函数的单调性：
y=ax+b, y=ax2+bx+c, y=x3,y=x-1, y=.
我们应该看到，还可以运用导数与函数单调性的关系来证明上述函数的单调性，这样，我们就会有不同的思想、方法、工具研究函数。
对数函数、指数函数单调性的证明也不作要求，因为对数函数、指数函数单调性的严格证明是有难度的。
学习了导数的知识，可以给出说明。
第二阶段，安排在选修系列1、2课程的导数及其应用中。
导数是描述函数变化率的概念，导数概念可以帮助我们对“函数的变化”有进一步了解。
在这一部分内容中，要求学生理解导数与单调性的联系：
在一个区间内，如果函数在每一点的导数大于零，则函数是递增的；如果函数在每一点的导数小于零，则函数是递减的；反之，也可以用单调性判断导数的符号。
在一个区间内，递增函数如果有导函数，那么每一点的导数大于或等于零；在一个区间内，递减函数如果有导函数，那么每一点的导数小于或等于零。
这些结论的证明要用到拉格朗日中值定理，在高中是不要求的。
此外，在高中阶段，对严格单调性和单调性的区别不必深究，否则，会因小失大。
对于一些对数学有兴趣的同学，教师可以适当引导他们阅读一些相关的参考书。
周期性是中学阶段学习函数的另一个基本的性质。
周期性反映了函数变化周而复始的规律。
在我们的生活中，存在着大量的周期变化的现象，大到宇宙的变化，例如，在太阳系中，行星围绕太阳的运动；小到粒子的变化。
因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。
周期函数，比如，正弦和余弦函数、正切和余切函数都是刻画周期变化的基本函数模型。
用周期的观点来研究周期函数，可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。
在高中数学课程中，不讨论一般函数的周期性，只讨论基本的具体三角函数的周期性，例如，正弦、余弦、正切函数的周期性。
奇偶性也是我们在中学阶段学习函数时要研究的函数的性质，但它不是最基本的性质。
奇偶性反应了函数图形的对称性质，偶函数图形是关于y轴对称的，奇函数图形是关于原点对称的，奇偶性反应图形的对称与坐标系的选择有关。
奇偶性可以帮助我们用对称思想来研究函数的变化规律。
在高中数学课程中，对于一般函数的奇偶性，也不做深入讨论，只讨论基本的具体函数的奇偶性，例如，简单幂函数的奇偶性，如，y=x2,y=x3,y=x-1。
3．具体函数模型
了解函数的形式定义，仅仅是理解函数的一部分，理解函数一个重要方法，就是在头脑中留住一批具体函数的模型。
在高中阶段，学生应留住哪些函数模型呢？
如何让学生把这些模型留在头脑中，并能帮助思考问题？
这是每位教师应该思考的问题。
对于一个好的数学教育工作者，要帮助学生对每一个抽象的数学概念，使他们在头脑中都有一批具体的“模型”。
要帮助学生养成这样一种学习数学的好习惯。
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数是基本初等函数，这些函数是最基本的，也是最重要的。
还有简单的分段函数，一些有实际背景的函数，等等。
这些都是基本的、重要的函数模型。
（1）线性函数y=ax+b与幂函数相联系，它的图形是一条直线；它是函数关系中最常见的，也是最简单的；在很多情况下，例如，在研究比较复杂的函数时，我们常常用它在一点附近的线性函数来近似表示，“以直代曲”是微分的基本思想。
（2）正整数指数幂函数
正整数指数幂函数y=xn也是基本的函数，它们的代数和构成我们熟悉的多项式函数，这些函数都是“好”的函数。
所谓好，是指它具有任意阶导数，非常的光滑。
此外，它们还有一个极为重要的性质，对于任意一个“好的函数”，在一定范围内都可以用多项式函数来近似地表示，在高等数学中，称为泰勒公式，这是高等数学的重要结果之一`，它就是建立在正整数指数幂函数的基础上的。
这也是为什么幂函数重要和基本的原因之一。
在高中阶段，对幂函数不做一般的讨论，仅仅讨论几种简单的情况：
例如，y=x3,y=x-1, y=。
一元二次函数是最重要的一类多项式函数，在高中阶段，我们对这类函数作了详细的研究，我们应该很好掌握这一类函数。
（3）指数函数、对数函数
指数函数、对数函数本身都是重要的函数，在刻画自然规律时，它们是用的最多的函数，也是最基本的函数；同时，它们是好函数，它们具有任意阶导数。
我们从两个角度认识指数函数、对数函数。
一个角度是运算，从运算的角度认识指数、对数的运算规律，利用运算的规律研究函数；另一个角度是函数，从函数的角度认识指数函数、对数函数的规律。
对数函数（底数大于1）、多项式函数（例如，y=x2）、指数函数（底数大于1），这三类函数都是随着自变量的增加而增加，但是，它们增长的速度是不同的，对数函数最慢，多项式函数快一些，指数函数最快，在实际中，我们常常分别称为：
对数增长，多项式增长，指数增长，这些是刻画增长的最基本的模式。
（4）三角函数
周期现象是现实世界最基本的现象之一，三角函数是刻画周期现象最基本的模型，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等。
很多现实生活中的周期现象都可以用这些三角函数表示。
三角函数也是最基本的周期函数，通过三角函数可以帮助我们更好地理解周期函数；三角函数也都是好的函数，具有任意阶导数；三角函数的代数和可以用来表示更多的函数（包括那些好的和不好的函数，如，某些不连续的函数），构成三角级数的理论，它是数学中分析学的基本内容，它还是重要的一个数学分支——调和分析、小波分析的基础，小波分析是图像压缩技术的基础，具有极为广泛的应用。
综上所述，幂函数、指数函数、对数函数、三角函数都是最基本的初等函数，高中数学的最重要的任务之一就是要把这些基本初等函数模型留在学生脑子里，这些模型是思考其他函数问题的基础。
对于上述基本初等函数模型，我们希望学生在脑子里留下三方面的东西：
背景，从函数模型的实际背景的角度把握函数；
图像，从几何直观的角度把握函数；
基本变化，从代数的角度把握函数的变化情况，如，指数函数（底数大于1）变化之所以快是因为指数运算将和变为积，对数函数（底数大于1）变化之所以慢是因为对数运算将积变为和。
对于函数的教学，教师应该有一个全面的设计，思考一下，高一上学期做什么，下学期做什么，高二上学期做什么，…高三下学期做什么。
通过函数的教学，要使函数在学生头脑中扎下根。
4．函数与其他内容的联系
函数作为高中数学的一条主线，贯穿于整个高中数学课程中。
特别是在方程、不等式、线性规划、算法、随机变量等内容中都突出的体现了函数思想。
（1）函数与方程
用函数的观点看待方程，可以把方程的根看成函数与x轴交点的横坐标，即零点的横坐标，因此，解方程f（x）=0就是求函数y=f（x）的零点的横坐标，从而，方程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了思考函数图形与x轴的交点问题。
函数图形与x轴的交点是函数的局部性质，如何利用函数的整体性质来讨论函数的局部性质？
这是解决方程问题的基本思想。
具体来说，如果函数y=f（x）连续，且y=f（x）在区间[a,b]两端点的值异号，即f（a）f（b）<0，那么函数图像会从（a,f（a））点出发一定会穿过x轴到达（b,f（b））点，即方程f（x）=0在区间[a,b]内有解，原因就是由于函数不间断。
如果函数有这一性质我们就可以运用二分法求出方程的近似解。
例如，判断方程x2−x−6=0的根的存在性。
我们可以考察函数f（x）＝x2−x−6，其图像为抛物线，如图。
容易看出，f（0）=−6＜0，f（4）=6＞0，f（−4）=14＞0，
由于函数f（x）的图像是连续曲线，因此点B（0,−6）与点C（4,6）之间的那部分曲线必然穿过x轴，即在区间（0,4）内必有一点x1，使f（x1）＝0；同样，在区间（−4,0）内也必有一点x2，使f（x2）＝0。
所以，方程x2−x−6=0有两个实根。
我们可以用学过的解方程的方法来验证这个结论。
二分法本质上就是用函数的整体性质：
“函数在闭区间连续，且端点函数值异号，”去寻求函数图像与x轴的交点。
除了二分法外，在数学分析中，还有一些用整体性质讨论方程近似求解的方法。
这些方法都是从整体看待局部。
例如，切线法，如果一个函数y=f（x）在闭区间有一阶导数，则可用切线法求方程f（x）=0的解；又如，割线法，如果一个函数y=f（x）在闭区间有二阶导数，则可用割线法求方程f（x）=0的解。
在“计算方法”中可以证明：
切线法比二分法快，割线法比切线法快。
这是因为，割线法比切线法要求函数具有更好的性质，切线法比二分法要求函数具有更好的性质。
有了近似逼近求方程解的思想，解方程的视野界开阔了，微积分的作用也就体现出来了。
在初中，解方程的思路只局限在用恒等变形来解方程，时间和精力主要花在恒等变形上。
（2）函数与数列
数列是特殊的函数。
它的定义域一般是指非负的正整数集，有时也可以为自然数集，或者自然数集的子集。
自然数是离散的，因此，数列通常称为离散函数，离散函数是相对于定义域为实数或者实数的区间上的函数而言的。
数列作为离散函数，在数学中有着自己的重要地位。
在高中和大学，我们所遇到的大部分函数都是“好函数”，“好函数”不仅是连续的，而且是可导的，像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等都是好函数，它们具有任意阶导数。
数列在研究这些连续函数中发挥着重要作用。
在高中阶段，主要讨论一些特殊的数列——等差、等比数列的性质。
等差数列、等比数列都是基本的数学模型，在我们日常经济生活中许多经济问题都可以归结为等差数列、等比数列模型。
例如，存贷款、教育储蓄、分期付款、商家返卷等等问题，都可以用等差数列、等比数列来刻画。
等差数列是线性函数的离散化，而等比数列是指数函数的离散化。
（3）函数与不等式
函数y=f（x）的图像把坐标系的横坐标轴分成若干部分区域，一部分区域是使函数值等于0，即；一部分区域是使函数值大于0，即；一部分区域是使函数值小于0，即。
用函数的观点看，就是确定使函数图像y=f（x）在轴上方或下方的的区域。
这样，我们首先确定函数图像与x轴的交点（方程f（x）=0的解），再根据函数的图像来求解不等式。
例如，解一元二次不等式。
首先分析函数的图像与轴有三种关系：
不相交、有一个交点、有两个交点。
如果再考虑函数的图像（抛物线）的开口方向，就有六种情况：
开口向上的三种情况和开口向下的三种情况。
对于每一种情况，我们都能根据函数图象确定出的范围（的范围可能是一个区间，也可能是两个区间的并，也可能只有一个点或是空集）。
因此，解一元二次不等式的问题就归结为以下算法：
第一步，确定函数图象的开口方向（根据的符号判断）；
第二步，确定函数图象与轴的关系（根据判别式△判断）；
第三步，确定的范围。
用函数的观点来讨论不等式的问题，无论是对于理解函数的思想，还是解不等式的有关问题，都是非常有益的，有助于更好的理解这些知识本身和解决有关问题。
（4）函数与线性规划
线性规划问题是最优化问题的一部分，从函数的观点看，首先，要确定目标函数，用目标函数来刻画“好、坏”或“大、小”等，在这里，目标函数实际上是二元函数，在具体问题中，学生是不难接受这个概念；接着，需要确定目标函数的可行域（由约束条件确定目标函数的定义域），用平面区域图形可以非常清晰地表达可行域（目标函数的定义域）的特征，可行域的边界是由“直线围成的区域”，其边界上定点的个数是有限的；最后，讨论目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题，为此，认识目标函数的变化趋势，使用等高线（其上函数值相等的平面上的直线）可以直观地给出了目标函数的变化趋势。
解线性规划问题，可归结为以下算法：
第一步，确定目标函数；
第二步，确定目标函数的可行域；
第三步，确定目标函数在可行域内的最值。
例1 某医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元。
若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：
应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足营养，又使费用最省？
解：
首先，确定目标函数。
设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg；
病人需要使用的费用为：
z＝3x＋2y；
然后，确定目标函数的可行域（定义域）。
病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为：
5x+7y35；
同理，对铁质的要求可以表示为：
10x+4y40；
这样，问题成为求目标函数在可行域（有约束条件确定）上的最小值。
或者说，在约束条件下，
求目标函数z=3x+2y的最小值。
最后，求目标函数在可行域上的最小值。
做出可行域，如图。
令z＝0，作直线l0：
3x+2y=0。
由图形可知，把直线l0平移至点A时,z取最小值.
由 得A（）
即需甲种原料（g），乙种原料3=30（g）时，费用最省。
（5）函数与算法
在算法中，最基本和重要的结构之一是循环结构。
循环结构是理解算法的一个难点，难在对于循环变量的理解。
循环结构是通过给循环变量赋值来实现循环的，给循环变量每赋一次值，就执行一次循环。
循环变量使得循环体得以“循环”，循环变量控制了循环的“开始”和“结束”，是刻画循环结构的关键。
用函数来刻画循环变量，把循环变量看作“运算次数”的函数。
循环结构中的循环变量分为两种形式。
一种循环变量的值可以取“运算次数”，以此来控制循环次数。
例如，从1000个数中选出最大数的算法，首先，选择一个数，然后，任选一个数与之比较，留下大的数，这算作一次运算，再进行重复，循环变量的值可以取“运算次数”，“运算次数”达到999次，算法就可以结束。
另一种循环变量的值可以取“运算结果”。
是控制结果精确度的变量，例如用二分法求方程f（x）=0在区间[0,1]上的一个近似解的算法，区间[0,1]是有解区域，每作一次运算，就得到缩小的新有解区域，循环变量的值可以取为有解区域的长度，也可以称为精确度。
那么，在这个算法过程中，循环变量达到要求的精确度，算法就可以结束。
循环变量体现了函数的思想。
因为“循环”的过程是依赖于循环变量取值的变化而一步步实现的，这种依赖关系体现了函数的思想。
在算法设计中，选择适当的循环变量是得到好算法的关键。
总之，在高中课程中，函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用，包括概率统计中的随机变量等，以及选修系列3、4中的大部分专题内容，都与函数有着密切的联系。
用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。
反过来，通过这些内容的学习，可以加深对于函数思想的认识。
实际上，在整个高中数学课程中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。
3.2几何主线
1．几何的教育功能
我们常常听到这样的一些词，空间想象能力，“几何直观”能力，把握图形能力，几何洞察能力，等等，这些词都是一些数学家提出来的，“空间想象能力”是我国著名数学家华罗庚提出的，“几何直观”能力是本世纪最著名的数学家希尔伯特提出的，他写了一本重要的著作“直观几何”，“把握图形能力”是著名数学家、本世纪最有影响的数学教育家弗赖登塔尔提出的，“几何洞察能力”是由著名华人数学家项武义提出的（我们没有能考证这些词是否是由他们最早提出的）。
这些词的内涵可能有些不同，我们感到这些词的基本含义是相同的，这些能力不仅对数学研究是极为重要的、基本的，对于数学教育、对于数学课程的设计同样是重要的、基本的。
培养几何直观能力不仅仅是几何课程的任务，而且是整个数学课程的基本任务。
因此，几何是贯穿于整个高中数学课程中的主线之一，在其他的数学内容学习中，也要强调通过直观，通过图形来认识相关内容的数学本质。
高中数学课程中，几何的作用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证能力。
这两种能力对于学生思维的发展和对数学本质的理解都是非常重要的。
在高中数学课程中，几何是“图”“文”并茂的内容，它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来。
几何思想主要体现在几何直观能力，即把握图形的能力。
几何直观能力主要包括空间想象力、直观洞察力、用图形语言来思考问题的能力。
借助几何这个载体，可以培养学生的逻辑推理能力。
但仅仅把几何作为培养形式推理能力载体的认识是片面的。
在中学数学课程中重视几何内容是我国数学教育的传统，也是共识。
但是，如何运用几何思想、把握图形的能力去学习其它的数学内容，却没有引起足够的重视。
在实验区听课时，最令我们感到遗憾的是：
教师不太喜欢“画图”，讲解析几何时也不画图。
事实上，几何学能够给我们提供一种直观的形象，通过对图形的把握，可以发展空间想象能力，这种能力是非常重要的，无论是数学本身、数学学习本身，还是在其他方面，都是一种基本能力。
搞艺术的人就经常说，这种空间想象能力与他们艺术上的想象能力、艺术创作能力是一种殊途同归的感觉。
英国著名数学家M.阿蒂亚曾说过，几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即‘洞察’与‘严格’，两者在真正的数学研究中起着本质的作用。
即，几何是直观逻辑，代数是有序逻辑。
这表明，几何学不只是一个数学分支，而且是一种思维方式，这种思维方式渗透到数学的所有分支。
因此，培养学生的几何直观能力、把握图形的能力应成为高中学习几何的主要目的。
我们知道，逻辑推理是数学的基本思维形式，在中学阶段，几何是培养学生推理论证能力的重要载体，但是，这里我们要说的是，我们还应该认识到几何更本质的作用，这就是上面我们所说的：
应当重视培养学生的几何直观能力，包括空间想象力、直观洞察力、用图形的语言来思考问题的能力等。
在高中数学课程中，我们更加关注通过对整体图形的把握去培养和发展空间想象能力；关注在空间想象能力培养中人的认识规律，并概括了人们认识和探索几何图形的位置关系和有关性质的规律，建议通过“直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算”等学习过程，培养和发展空间想象能力，这对几何课程的学习
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