高中数学数列知识点总结精华版.docx
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高中数学数列知识点总结精华版
..
一、数列
1.数列的定义:
按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.
⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不强调有“规
律”.因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列.
⑵在数列中同一个数可以重复出现.
⑶项an与项数n是两个根本不同的概念.
⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依
次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列
2.通项公式:
如果数列an的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫
做这个数列的通项公式,即af(n)
n.
3.递推公式:
如果已知数列an的第一项(或前几项),且任何一项an与它的前一项
a(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即anf(an1)或anf(an1,an2),
n1
那么这个式子叫做数列
a的递推公式.如数列an中,a11,an2an1,其中
n
an2an1是数列an的递推公式.
4.数列的前n项和与通项的公式
①
Sna1a2a;②
n
S(n1)
1
an.
SS(n2)
nn1
5.数列的表示方法:
解析法、图像法、列举法、递推法.
6.数列的分类:
有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;
有界数列,无界数列.
①递增数列:
对于任何nN,均有an1an.
②递减数列:
对于任何nN,均有an1an.
③摆动数列:
例如:
1,1,1,1,1,.
④常数数列:
例如:
6,6,6,6,⋯⋯.
⑤有界数列:
存在正数M使anM,nN.
⑥无界数列:
对于任何正数M,总有项
a使得anM.
n
1、已知
n
*
a2(nN)
n
n156
,则在数列{}
a的最大项为__(答:
n
1
25
);
2、数列{}
a的通项为
n
an
an,其中a,b均为正数,则an与an1的大小关系为___(答:
bn1
aan1);
n
2
3、已知数列{a}中,a是递增数列,求实数的取值范围(答:
3);
ann,且{}nnn
4、一给定函数yf(x)的图象在下列图中,并且对任意a(0,1),由关系式an1f(an)
1
*得到的数列{}
a满足an1an(nN),则该函数的图象是()(答:
A)
n
eord完美格式
..
二、等差数列
1、等差数列的定义:
如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,
那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。
即
ann且.(或an1and(nN*)).
1d(nN*,n
2)
a
2、
(1)等差数列的判断方法:
①定义法:
an1and(常数)an为等差数列。
②中项法:
2an1anan2an为等差数列。
③通项公式法:
ananb(a,b为常数)an为等差数列。
2(A,B为常数)an为等差数列。
④前n项和公式法:
snAnBn
如设{a}是等差数列,求证:
以b
n=
n
a1a2an
n
nN*为通项公式的数列{b}为
n
等差数列。
(2)等差数列的通项:
aand或anam(nm)d。
公式变形为:
ananb.
n
1
(1)
其中a=d,b=a1-d.
如1、等差数列{a}中,a1030,a2050,则通项an(答:
2n10);
n
2、首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______
(答:
8
3
d3)
n(aa)n(n1)
(3)等差数列的前n和:
1
n
S,Sna1d。
公式变形为:
nn
22
sn
2
An
Bn
d
,其中A=2
d
1,an,s
a.注意:
已知n,d,a
,B=
n中的三者可以求
1
2
另两者,即所谓的“知三求二”。
如数列{a}中,
n
1
*
aa(n2,nN),
nn1
2
3
a,前n项和
n
2
15
S,则
n
2
a=_,n=_(答:
a13,n10);
(2)已知数列{}
a的前n项和
1n
2
S12nn,
n
求数列{|a|}的前n项和Tn(答:
n
T
n
2*
12nn(n6,nN)
2*
n12n72(n6,nN)
).
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..
(4)等差中项:
若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且
ab
A。
2
提醒:
(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:
a、d、n、an及
1
S,其中a1、d称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,
n
即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为⋯,
a2d,ad,a,ad,a2d⋯(公差为d);偶数个数成等差,可设为⋯,
a3d,ad,ad,a3d,⋯(公差为2d)
7.等差数列的性质:
(1)当公差d0时,等差数列的通项公式
aanddnad是关于n的一
n
1
(1)1
次函数,且斜率为公差d;前n和
n(n1)dd
2
Snadn(a)n是关于n的二次
n11
222
函数且常数项为0.等差数列{an}中,
Sn
n
Sn
n
是n的一次函数,且点(n,
)均在直线y=
d
2
x
d
+(a1-
2
)上
(2)若公差d0,则为递增等差数列,若公差d0,则为递减等差数列,若公差
d0,则为常数列。
(3)对称性:
若an是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之
和.当mnpq时,则有
amaaa,特别地,当mn2p时,则有
npq
aa2a.
mnp
如1、等差数列{a}中,Sn18,anan1an23,S31,则n=____(答:
27);
n
2、在等差数列
a中,a100,a110,且a11|a10|,Sn是其前n项和,则A、
n
S1,S2S10都小于0,S11,S12都大于0B、S1,S2S19都小于0,S20,S21都大于
0C、
S1,S2S5都小于0,S6,S7都大于0D、S1,S2S20都小于0,S21,S22
都大于0(答:
B)
(4)项数成等差,则相应的项也成等差数列.即ak,km,km,...(,*)成等差.若
aa2kmN
*
{an}、{bn}是等差数列,则{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常数)、{apnq}(p,qN)、
2).,⋯也成等差数列,而{a}
S,SS,SS(公差为nda成等比数列;若{an}是
n
n2nn3n2n
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..
等比数列,且0
a,则{lgan}是等差数列.
n
如等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为。
(答:
225)
(5)在等差数列{a}中,当项数为偶数2n时,s();ssnd
n
奇
nn
1
s1
偶
a
n
s
奇
a
n
.
项数为奇数2n1时,s2n1(2n1)an;ssa1
偶;
奇
s1
偶
n
s
奇
n
。
如1、在等差数列中,S11=22,则a6=______(答:
2);
2、项数为奇数的等差数列{a}中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的
n
中间项与项数(答:
5;31).
(6)单调性:
设d为等差数列an的公差,则
d>0an是递增数列;d<0an是递减数列;d=0an是常数数列
A
(7)若等差数列{a}、{bn}的前n和分别为An、Bn,且()
n
fn
n
B
n
,则
a(2n1)aA
nn2n1
b(2n1)bB
nn2n1
f(2n1)
.
如设{
a}与{bn}是两个等差数列,它们的前n项和分别为Sn和Tn,若
n
S3n1
n,那么
T4n3
n
a
n
b
n
___________(答:
62
n
8n7
)
(8)设al,am,an为等差数列中的三项,且al与am,am与an的项距差之比
l
m
m
n
=
(≠-1),则am=
ala
n
1
.
(9)在等差数列{a
n}中,Sn=a,Sm=b(n>m),则Smn=
n
n
m
m
(a-b).
8、已知an成等差数列,求sn的最值问题:
①若a0,d<0且满足
1
a
a
0,
n,则sn最大;
0
n1
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..
②若a0,d>0且满足
1
a
a
n,则sn最小.
0,
0
n1
“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等
差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。
法一:
由不等式组
a
n
a
n
0a
n
或
0a
1n
1
0
0
确定出前多少项为非负(或非正);法二:
因等差数列前n项是关于n的二次函数,故可转
化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性
*
nN。
上述两种方法是运用了哪种数学
思想?
(函数思想),由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?
如1、等差数列{a}中,
n
a125,
SS,问此数列前多少项和最大?
并求此最大值。
917
(答:
前13项和最大,最大值为169);
2、若{a}是等差数列,首项
n
a10,a2003a20040,
a2003a20040,则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是(答:
4006)
(10)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,
且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意:
公共项仅是公共的项,其项
数不一定相同,即研究
ab.
nm
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..
三、等比数列
1、等比数列的有关概念:
如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常
a
n(或
数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫等比数列的公比。
即(*,2)
qN
nn
a
n1
a
n
a
n
1
qn)
(*
N
a
为常数),其中q0,an0或
2、等比数列的判断方法:
定义法n1(
qq
a
n
aa
n1n
aa
nn
1
(n2)。
如1、一个等比数列{
a}共有2n1项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则an1
n
为____(答:
5
6
);
2、数列{}
a中,Sn=4an1+1(n2)且a1=1,若bnan12an,求证:
数列{bn}
n
是等比数列。
3、等比数列的通项:
1
n
aaq或
n1
nm
aaq。
nm
如设等比数列{}
a中,a1an66,a2an1128,前n项和Sn=126,求n和公比
n
q.(答:
n6,
1
q或2)
2
4、等比数列的前n和:
当q1时,
Sna;当q1时,
n1
S
n
n
aq
1
(1)
1q
aaq
1n
1q
。
如等比数列中,q=2,S
99=77,求
a3aa(答:
44)
699
提醒:
等比数列前n项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n项和时,首先要判断
公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比q是否为1时,要对
q分q1和q1两种情形讨论求解。
5、等比中项:
如果a、G、b三个数成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,即G=ab.
提醒:
不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个ab。
如已知两个正数a,b(ab)的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为
______(答:
A>B)
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..
提醒:
(1)等比数列的通项公式及前n项和公式中,涉及到5个元素:
a、q、n、an
1
及
S,其中a1、q称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2
n
个,即知3求2;
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为⋯,
aa
2
2,,a,aq,aq
qq
⋯(公比为q);但偶数个数成等比时,不能设为⋯
aa
3,,aq,aq
qq
3
,⋯,
因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为
2
q。
如有四个数,其中前三
个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三
个数的和为12,求此四个数。
(答:
15,,9,3,1或0,4,8,16)
6、等比数列的性质:
(1)对称性:
若an是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.
即当mnpq时,则有am.anap.aq,特别地,当mn2p时,则有
2
am.anap.
如1、在等比数列{}
a中,a3a8124,a4a7512,公比q是整数,则a10=___(答:
n
512);
2、各项均为正数的等比数列{a}中,若
n
a5a69,则
logalogaloga
3132310
(答:
10)。
(2)若{an}是公比为q的等比数列,则{|an|}、{a
2
n}、{kan}、{
1
a
n
}也是等比数
列,其公比分别为|q|}、{q
2}、{q}、{
1
q
a
n
}。
若{}{}
a、b成等比数列,则{anbn}、{}
nn
b
n
成等比数列;若{}
a是等比数列,且公比q1,则数列Sn,S2nSn,S3nS2n,⋯也
n
是等比数列。
当q1,且n为偶数时,数列
S,SS,SS,⋯是常数数列0,
n2nn3n2n
它不是等比数列.若an是等比数列,且各项均为正数,则logaan成等差数列。
若项数
为3n的等比数列(q≠-1)前n项和与前n项积分别为S1与T1,次n项和与次n项积分别
为S
2与T2,最后n项和与n项积分别为S3与T3,则S1,S2,S3成等比数列,T1,T2,
T3亦成等比数列
如1、已知a0且a1,设数列{x}满足
n
logaxn1loaxgn(nN*),且
1
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..
x1x2x100100,则
xxx.(答:
101102200
100
100a);
2、在等比数列{}
a中,Sn为其前n项和,若S3013S10,S10S30140,则S20
n
的值为______(答:
40)
(3)单调性:
若
a10,q1,或a10,0q1则{an}为递增数列;若a10,q1,
或
a10,0q1则{an}为递减数列;若q0,则{an}为摆动数列;若q1,则{an}为
常数列.
aa
1n1n,这里ab0,但a0,b0,
(4)当q1时,aqb
Sq
n11
qq
这是等比数列前n项和公式的一个特征,据此很容易根据
S,判断数列{an}是否为等比数
n
n
列。
如若{a}是等比数列,且S3r,则r=(答:
-1)
nn
(5)
mn
SSqSSqS.如设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,
mnmnnm
若
SSS成等差数列,则q的值为_____(答:
-2)
1,,2SSS成等差数列,则q的值为_____(答:
-2)
nnn
(6)在等比数列{a}中,当项数为偶数2n时,S偶qS奇;项数为奇数2n1时,
n
S奇aqS偶.
1
(7)如果数列{}
a既成等差数列又成等比数列,那么数列{an}是非零常数数列,故常数
n
数列{a}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
n
如设数列an的前n项和为Sn(nN),关于数列an有下列三个命题:
①若
2,
an(,则an既是等差数列又是等比数列;②若Snanbna、bR
a1nN
)n
则an是等差数列;③若
n
S11,则an是等比数列。
这些命题中,真命题的序号
n
是(答:
②③)
⑧等差数列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd;等比数列中,Sm+n=Sn+qm=Sm+q
nSmS
n;
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..
四、难点突破
1.并不是所有的数列都有通项公式,一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一.已
知一个数列的前几项,这个数列的通项公式更不是唯一的.
2.等差(比)数列的定义中有两个要点:
一是“从第2项起”,二是“每一项与它前一项
的差(比)等于同一个常数”.这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存
在,而“同一个常数”则是保证至少含有3项.所以,一个数列是等差(比)数列的必要非充
分条件是这个数列至少含有3项.
3.数列的表示方法应注意的两个问题:
⑴{a
n}与an是不同的,前者表示数列a1,
a2,⋯,an,⋯,而后者仅表示这个数列的第n项;⑵数列a1,a2,⋯,an,⋯,