美国大学生数学建模大赛A题一等奖.docx

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美国大学生数学建模大赛A题一等奖

2013年美国大学生数学建模大赛A题-一等奖

最终的布朗尼蛋糕盘

Team#23686

February5,2013

摘要Summary/Abstract

为了解决布朗尼蛋糕最佳烤盘形状的选择问题，本文首先建立了烤盘热量分布模型，解决了烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题。

又建立了数量最优模型，解决了烤箱所能容纳最大烤盘数的问题。

然后建立了热量分布最优模型，解决了烤盘平均热量分布最大问题。

最后，我们建立了数量与热量最优模型，解决了选择最佳烤盘形状的问题。

模型一：

为了解决烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题，我们假设烤盘的任意一条边为半无限大平板，结合第三边界条件下非稳态导热公式，建立了不同形状烤盘的热量分布模型，模拟出不同形状烤盘热量分布图。

最后得到结论：

在烤盘由多边形趋于圆的过程中，烤焦的程度会越来越小。

模型二：

为了解决烤箱所能容纳最大烤盘数的问题，本文建立了随烤箱长宽比变化下的数量最优模型。

求解得到烤盘数目

随着烤箱长宽比和烤盘边数

变化的函数如下：

模型三：

本文定义平均热量分布

为未超过某一温度时的非烤焦区域占烤盘边缘总区域的百分比。

为了解决烤盘平均热量分布最大问题，本文建立了热量分布最优模型，求解得到平均热量分布随着烤箱长宽比和形状变化的函数如下：

结论是：

当烤箱长宽比为定值时，正方形烤盘在烤箱中被容纳的最多，圆形烤盘的平均热量分布最大。

当烤盘边数为定值时，在长宽比为1:

1的烤箱中被容纳的烤盘数量最多，平均热量分布

最大。

模型四：

通过对函数

和函数

作无量纲化处理，结合各自的权重

和

，本文建立了数量和热量混合最优模型，得到烤盘边数

随

值和

的函数。

当

，

时，此时的

。

Contents

Figure3半无限大平板加热过程中的温度分析

由上图可知，烤盘厚度为

时烤盘的加热情况：

第一阶段step1：

当烤制时间

时，空气流体不断的向烤盘内部导热，但是烤盘仍然有部分处于初始温度，未开始加热。

当

时，空气流体对烤盘的热量正好传到烤盘的内边缘；

第二阶段step2：

当

时，空气流体对整个烤盘加热的一段时间；

第三阶段step3：

当

时，烤盘的温度到达新的稳定状态。

烤盘的加热过程的微分方程[1]为：

其中，

为烤盘的温度，

为烤盘的初始温度，

为空气流体的温度，且

。

为空气流体与烤盘间的对流换热系数，且为常数。

为加热时间，

为烤盘边缘的厚度，

为热量传输系数（或导热系数）。

定解条件：

，

，

，

，

（对称性）

，

，

引入过余温度:

。

在此定解条件下微分方程解的结果为：

式中的

是下列超越方程的根，称为特征值。

从上式看出解得结果可表示为：

从上述的结果可知，烤盘的加热过程函数是一个无穷级数，计算工作量较大。

但对比计算表明，当傅里叶系数

时，采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的差别小

。

这样的误差在计算中是被允许的，因而当此

后可以采用以下简化结果：

（4）

其中特征值

的值与

有关。

从上式可知得当

以后平板中的任意一点的过余温度

与平板中心的过余温度

之比为：

（5）

非稳态导热的这一阶段就是所谓的导热正规状况或充分发展阶段。

确认正规状况阶段的存在具有重要的意义，因为本文计算中关心的非稳态导热过程常常处于正规状况阶段，此时的计算可以采用上述的简化公式。

为了便于计算，人们广泛采用按分析解的级数第一项而绘制的一些线算图（诺曼图）。

其中用以确定温度分布的线算图称为海斯勒（Heasler）图。

以无限大平板为例，它首先根据等式（4）中给出的

随

及

变化的曲线（此时

），然后再根据等式（5）确定

的值。

于是平板中任意一点的

值便为：

（6）

无限大平板的

和

的计算图[2]如图4和图5所示：

Figure4无限大平板中心无量纲温度图

Figure5无限大平板的

曲线图

3.3模型求解

设烤盘密度

，比热容

，导热率

，对流换热系数

，烤盘的宽度

，烤箱内的温度

。

当时间

时，根据图4和图5和等式（6）得到若干大平板的温度和大平板距离的散点数据，拟合出大平板的温度和大平板距离的曲线如图6所示：

Figure6大平板的温度和大平板距离的拟合曲线

3.4四边形烤盘情况

烤盘形状为四边形的受热情况：

Figure7烤盘形状为四边形的受热图

四边形的烤盘可以看做成由四个半无限大平板所围成的，根据多维非稳态导热的乘积解法可以得出如下结果：

（7）

图像如图8所示：

Figure8四边形烤盘的热量分布图

3.5五边形烤盘情况

烤盘形状为五边形的受热情况：

Figure9烤盘形状为五边形的受热图

五边形的烤盘可以看做成由五个半无限大平板所围成的，根据多维非稳态导热的乘积解法可以得出如下结果：

（8）

图像如图10所示：

Figure10五边形烤盘的热量分布图

3.6多边形烤盘情况

烤盘形状为

边形的受热情况：

：

Figure11烤盘形状为

边形的受热图

边形的烤盘可以看做成由

个半无限大平板所围成的，根据多维非稳态导热的乘积解法可以得出如下结果：

（9）

图像如图12所示：

Figure12多边形烤盘的热量分布图

4烤盘数量最优模型

当用相同多的材料做成烤箱时，存在以下等式：

式中，

为烤箱的长度，

为烤箱的宽度，

为常数。

多边形的边长数为

。

当

时，多边形的形状可以近似看做其多边形的外圆。

则

边形的排列方式如图：

Figure13

边形的排列方式

其中，三角形的面积：

（10）

式中：

为多边形所外外接圆的半径；

经过推到可以得到多边形的面积为：

（11）

式中,

为烤盘的面积。

则：

（12）

每层的烤盘总数

：

烤箱有两层，则烤箱能够放的烤盘总数

：

化简得到：

（13）

当用相同多的材料做成烤箱时，存在：

。

可推出

（13.5）

结合式（13）和式（13.5）可得函数：

（13.55）

当

，

，做出烤盘总数

随着

和多边形的边数

而变化的曲线如图14所示：

Figure14烤盘总数

随着

和多边形的边数

而变化的曲线示意图

由此可得到结论为：

在区间

上，随着

的增大，烤箱内所容纳的烤盘数

随多边形

变化而变化的曲线将整体上移。

由此可知，

时，烤箱所盛的烤盘数最大。

当

的取值为某一定值时，烤箱内所能容纳的烤盘数

随着多边形边数

的增大而增大，其中，

。

特别的，当

时，烤盘数量

大于任意多边形的烤盘数，即正方形的烤盘在烤箱中的数目最多。

5烤盘热量最优模型

我们假设烤制时间为

时，蛋糕已经成熟。

烤盘温度超过某一温度（即烤焦overcooked的温度）的区域面积为

：

（14）

如图15所示：

Figure15烤焦区域面积图

用图像表示多边形随着边数

的变化引起的烤焦面积变化的趋势如图16所示：

Figure16多边形随着边数

变化引起的烤焦面积变化的示意图

每个烤盘的平均热量分布为

，考虑每个烤盘的各区域温度未超过某一温度（即烤焦overcooked的温度）的区域面积为总面积减去

，

表示如下：

（15）

当多边形的边数变化时，得到结果如图17所示：

Figure17每个烤盘的平均热量分布图

总的烤盘的平均热量分布

为每个烤盘的平均热量分布（H）和烤盘数量（N）的乘积，即：

（16）

根据式（13.55）和式（15）可得函数。

（16.5）

当

，

，做出烤盘热量平均分布随着

和多边形的边数

而变化的曲线：

Figure18烤盘热量平均分布随着

和

变化示意图

当

在区间

上时，随着

的增大，烤盘平均热量

分布随多边形

变化而变化的曲线将整体上移。

由此可知，

时，烤盘的平均热量分布

为最大。

当

的取值为某一定值时，烤盘平均热量

分布随着多边形边数

的增大而增大，其中，

。

且，当

时，烤盘平均热量

分布大于任意多边形的烤盘平均热量

分布，即圆形烤盘平均热量分布最多。

6烤盘数量与热量最优模型

分别将图14和图18做无纲量化处理，并放置在同一坐标系中，烤盘总数

和热量平均分布

随着

和多边形的边数

而变化的关系，如图19所示：

Figure19烤盘总数和热量平均分布随

和

变化示意图

无量纲化的

和

的权重分别为

和

，即：

（17）

此时，

和

比为：

（18）

权重比为的纵坐标之比，即：

（18.5）

即：

（19）

根据式（13），（13.5），（18），可得函数：

（20）

当

，

时，利用matlab作出以上函数，函数图象如下图所示：

Figure20烤盘边数

随

和

变化示意图

由此我们可以得到以下结论：

当

为定值时，

与

呈一一对应的关系，

值随

值的增加而减少；当

为定值时，

与

呈一一对应的关系，

值随

值的增加而增大。

通过确定

和

，可以得到相应的

值。

例如当

，

时，此时的

。

7.参考文献References

[1]沈巧珍，杜建明，冶金传输原理，北京：

冶金工业出版社，2006.8

[2]沈巧珍等，冶金传输原理，

[3]董霖，MATLAB使用详解，北京：

电子工业出版社，2009.1

[4]陈伟忠，林宏谕，北京：

中国铁道出版社，2007.9

[5]谢兆鸿，范正森，数学建模技术，中国水利水电出版社，2003

[6]王跃刚，动态数学模型测试建模方法，西安：

西安电子科技大学出版社，2012.3

[7]MarkM.Meerschaert,MathematicalModeling（ThirdEdition）,北京：

机械工业出版社,2009.5

8.附录Appendixes

Appendix1——MatlabFigure6制作编程

f（x）=p1*x^2+p2*x+p3

Coefficients（with95%confidencebounds）:

p1=20.82（19.66,21.98）

p2=4.872e-015（-0.2821,0.2821）

p3=169.3（169.1,169.5）

Appendix2——MatlabFigure18制作编程

ezplot（'0.25*n*sin（2*pi/n）/0.01*（1-tan（pi/n）*0.0005/（2*sin（pi/n）*（sqrt（0.005/（n*sin（2*pi/n））-0.0005/cos（pi/n）））））',[4,50,50,200]）;

holdon

ezplot（'2/9*n*sin（2*pi/n）/0.01*（1-tan（pi/n）*0.0005/（2*sin（pi/n）*（sqrt（0.005/（n*sin（2*pi/n））-0.0005/cos（pi/n）））））',[4,50,50,200]）;

holdon

ezplot（'4/25*n*sin（2*pi/n）/0