浙江数学二轮复习专题限时训练圆锥曲线定义方程性质word含答案.docx

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浙江数学二轮复习专题限时训练圆锥曲线定义方程性质word含答案

专题限时集训（十二）　

圆锥曲线的定义、方程、几何性质

（对应学生用书第141页）

[建议A、B组各用时：

45分钟]

[A组　高考达标]

一、选择题

1．设F为抛物线C：

y2＝4x的焦点，曲线y＝（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝（　　）

A.　　　　B．1　　　　

C.　　　　D．2

D　[∵y2＝4x，∴F（1,0）．

又∵曲线y＝（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，

∴P（1,2）．

将点P（1,2）的坐标代入y＝（k＞0）得k＝2.故选D.]

2．过点A（0,1）作直线，与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为（　　）

A．0　　　　B．2

C．4　　　　D．无数

C　[过点A（0,1）和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条，过点A（0,1）和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．]

3．已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为（　　）

A.－y2＝1B．x2－＝1

C.－＝1D.－＝1

A　[由焦距为2得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.

又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，

所以双曲线的方程为－y2＝1.]

4．设点P是椭圆＋＝1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率为

（　　）

A.B.

C.D.

A　[因为S△IPF1＋S△IPF2＋S△IF1F2＝S△PF1F2，所以3S△IF1F2＝S△PF1F2，设△PF1F2内切圆的半径为r，则有×2c×r＝×（|PF1|＋|PF2|＋2c）×r，整理得|PF1|＋|PF2|＝4c，即2a＝4c，所以e＝.]

5．已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　）【导学号：

68334127】

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

D　[椭圆的离心率e＝＝＝，

所以a＝2b.

所以椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.

因为双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，

所以渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为，

所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，

所以b2＝5，所以a2＝4b2＝20.

所以椭圆C的方程为＋＝1.故选D.]

二、填空题

6．双曲线M：

x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则P点的横坐标为________．

　[根据双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＝c＋2，所以|PF2|＝c，由勾股定理得（c＋2）2＋c2＝4c2，即c2－2c－2＝0，解得c＝＋1，根据△OPF2是等边三角形得P点的横坐标为.]

7．已知F1，F2为＋＝1的左、右焦点，M为椭圆上一点，则△MF1F2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M恰好有2个，则a2＝________.

【导学号：

68334128】

25　[由题意得内切圆的半径等于，因此△MF1F2的面积为××（2a＋2c）＝，即＝×|yM|×2c，因为满足条件的点M恰好有2个，所以M为椭圆短轴端点，即|yM|＝4，所以3a＝5c而a2－c2＝16，所以a2＝25.]

8．（2017·绍兴一中高考考前适应性考试）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．

　[由抛物线y2＝2px可得F，则|CF|＝－＝3p，又|CF|＝2|AF|，则|AF|＝，由抛物线的定义得|AB|＝|AF|＝，所以xA＝p，则|yA|＝p.由CF∥AB得△ABE∽△FCE，从而得＝＝＝2，所以S△CEF＝2S△CEA＝6，S△ACF＝S△AEC＋S△CFE＝9，所以×3p×p＝9，解得p＝.

]

三、解答题

9．（2017·温州市普通高中高考模拟考试）已知A，B，C是抛物线y2＝2px（p＞0）上三个不同的点，且AB⊥AC.

（1）若A（1,2），B（4，－4），求点C的坐标；

（2）若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标．

图125

[解]　

（1）∵A（1,2）在抛物线上，

∴p＝2.2分

设C，则由kABkAC＝－1，得t＝6，

即C（9,6）.4分

（2）设A（x0，y0），B，C，

则直线BC的方程为（y1＋y2）y＝2px＋y1y2，6分

由kABkAC＝·＝－1，

得y0（y1＋y2）＋y1y2＋y＝－4p2，8分

代入直线BC的方程，得（y1＋y2）（y＋y0）＝2p（x－2p－x0），

故直线BC恒过点E（x0＋2p，－y0），

因此直线AE的方程为y＝－（x－x0）＋y0，10分

代入抛物线的方程y2＝2px（p＞0），

得点D的坐标为.

因为线段AD总被直线BC平分，

所以13分

解得x0＝，y0＝±p

即点A的坐标为.15分

10．已知椭圆E：

＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k>0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（1）当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；

（2）当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．

[解]　设M（x1，y1），则由题意知y1>0.

（1）当t＝4时，E的方程为＋＝1，A（－2,0）.2分

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.

因此直线AM的方程为y＝x＋2.

将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.

解得y＝0或y＝，所以y1＝.4分

因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.5分

（2）由题意t＞3，k＞0，A（－，0）．

将直线AM的方程y＝k（x＋）代入＋＝1得

（3＋tk2）x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.

由x1·（－）＝得x1＝，

故|AM|＝|x1＋|＝.7分

由题设，直线AN的方程为y＝－（x＋），

故同理可得|AN|＝.

由2|AM|＝|AN|得＝，

即（k3－2）t＝3k（2k－1）．

当k＝时上式不成立，因此t＝.9分

t＞3等价于＝＜0，

即＜0.11分

由此得或

解得＜k＜2.

因此k的取值范围是（，2）.15分

[B组　名校冲刺]

一、选择题

1．（2017·湖州调测）已知点A是抛物线C：

x2＝2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若以点M（0,8）为圆心，|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且△ABO为等边三角形，则p的值是（　　）

A.　　　　B．2

C．6　　　　D.

D　[由题意知|MA|＝|OA|，所以点A的纵坐标为4，又△ABO为等边三角形，所以点A的横坐标为，又点A是抛物线C上一点，所以＝2p×4，解得p＝.]

2．已知焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1，随着a的增大该椭圆的形状

（　　）

A．越接近于圆B．越扁

C．先接近于圆后越扁D．先越扁后接近于圆

D　[由题意知4a＞a2＋1且a＞0，解得2－＜a＜2＋，又e2＝1－＝1－＝1－.因此当a∈（2－，1）时，e越来越大，当a∈（1,2＋）时，e越来越小，故选D.]

3．已知F1，F2分别是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|（a为实半轴），则此双曲线的离心率e的取值范围是（　　）【导学号：

68334129】

A．（1，＋∞）B．（2,3]

C．（1,3]D．（1,2]

C　[由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|＝2a＋|PF1|，所以＝|PF1|＋＋4a＝8a，所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即2a＋4a≥2a，所以e＝≤3.又e＞1，所以1＜e≤3.故选C.]

4．（2017·嘉兴调测）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（　　）

A.　　　　B．1

C.　　　　D．2

A　[设AF＝a，BF＝b，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab≥（a＋b）2－2＝（a＋b）2.∵a＋b＝AF＋BF＝2MN，

∴|AB|2≥|2MN|2，∴≤.]

二、填空题

5．设F1，F2是椭圆x2＋＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，且AF2⊥x轴，则b2＝________.

　[由题意F1（－c,0），F2（c,0），AF2⊥x轴，∴|AF2|＝b2，∴A点坐标为（c，b2），设B（x，y），

则|AF1|＝3|F1B|，∴（－c－c，－b2）＝3（x＋c，y），∴B，代入椭圆方程可得2＋＝1.∵1＝b2＋c2，∴b2＝.]

6．（2017·杭州学军中学高三模拟）已知抛物线y＝x2和直线l：

y＝kx＋m（m＞0）交于两点A，B，当·＝2时，直线l过定点________；当m＝________时，以AB为直径的圆与直线y＝－相切．

（0,2）　　[设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），联立方程y＝x2与y＝kx＋m，消去y得x2－kx－m＝0，则x1＋x2＝k，x1x2＝－m　①

所以y1y2＝m2，y1＋y2＝k2＋2m　②

又·＝（x1，y1）·（x2，y2）＝x1x2＋y1y2＝2，所以m2－m－2＝0，又m＞0，所以m＝2，则直线的方程为y＝kx＋2，故过定点（0,2）．以AB为直径的圆与直线y＝－相切，故满足方程2＝＝，将①②代入，得4m2－2m＋＝0，解得m＝.]

三、解答题

7．如图126，椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|＝|BF|.

图126

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若点M在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ.求直线l的方程及椭圆C的方程．

【导学号：

68334130】

[解]　

（1）由已知|AB|＝|BF|，即＝a，2分

4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4（a2－c2）＝5a2，

∴e＝＝.4分

（2）由

（1）知a2＝4b2，∴椭圆C：

＋＝1.设P（x1，y1），Q（x2，y2），由＋＝1，＋＝1，

可得＋＝0，

即＋＝0，

即＋（y1－y2）＝0，从而kPQ＝＝2，6分

∴直线l的方程为y－＝2，即2x－y＋2＝0.8分

由⇒x2＋4（2x＋2）2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0，

9分

Δ＝322＋16×17（b2－4）＞0⇔b＞，x1＋x2＝－，x1x2＝.11分

∵OP⊥OQ，∴·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，

x1x2＋（2x1＋2）（2x2＋2）＝0,5x1x2＋4（x1＋x2）＋4＝0，13分

从而－＋4＝0，解得b＝1，椭圆C的方程为＋y2＝1.15分

8．已知抛物线C：

y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：

AR∥FQ；

（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

[解]　由题意知F.设l1：

y＝a，l2：

y＝b，则ab≠0，且A，B，P，Q，R.

记过A，B两点的直线为l，

则l的方程为2x－（a＋b）y＋ab＝0.2分

（1）由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.

记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则

k1＝＝＝＝＝－b＝k2.

所以AR∥FQ.4分

（2）设l与x轴的交点为D（x1,0），

则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，

S△PQF＝.6分

由题设可得2×|b－a|＝，8分

所以x1＝0（舍去）或x1＝1.

设满足条件的AB的中点为E（x，y）．

当AB与x轴不垂直时，9分

由kAB＝kDE可得＝（x≠1）．

而＝y，所以y2＝x－1（x≠1）.11分

当AB与x轴垂直时，E与D（1,0）重合．

所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.15分