高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案第九章平面解析几何.docx
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高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案第九章平面解析几何
第九章平面解析几何
全国卷年考情图解
高考命题规律把握
1.高考在本章一般命制两道小题和一道解答题,分值占22分左右．
2.高考基础小题主要考查直线和圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质,尤其是双曲线的渐近线与离心率,抛物线定义的应用等．
3.高考综合性较强的小题主要考查两个方面,一是直线和圆锥曲线的位置关系,涉及弦长计算与三角形面积的求解等；二是两种圆锥曲线的综合,涉及两类曲线性质的综合．
4.解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等,难度较大．
主要题型有:
（1）直线、圆、圆锥曲线方程的求解；
（2）直线与圆锥曲线的位置关系；
（3）圆锥曲线的最值、范围问题；
（4）圆锥曲线的定点、定值问题．
题中常设置两问:
第1问一般考查动点轨迹方程或曲线方程的求解（多以圆的方程为背景）,第2问多侧重直线被曲线所截弦长及范围、最值问题．考查函数与方程及数形结合,分类讨论等数学思想.
第一节
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
一、基础知识批注——理解深一点
倾斜角从“形”的方面直观地描述且体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．每条直线都有唯一确定的倾斜角．
1．直线的倾斜角
（1）定义:
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,
x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线
l的倾斜角.
直线倾斜角为
时,斜率不存在
（2）规定:
当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.
（3）范围:
直线l倾斜角的取值范围是[0,π）．
2．斜率公式
斜率公式与两点的顺序无关,即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2.
（1）定义式:
直线l的倾斜角为α,则斜率k＝tanα.
（2）坐标式:
P1（x1,y1）,P2（x2,y2）在直线l上,
且x1≠x2,则l的斜率k＝.
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k（x－x0）
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1（x1≠x2）和直线y＝y1（y1≠y2）
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0,A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用
“截距式”中截距不是距离,在用截距式时,应先判断,截距是否为0,若不确定,则需分类讨论.
二、常用结论汇总——规律多一点
特殊直线的方程
（1）直线过点P1（x1,y1）,垂直于x轴的方程为x＝x1；
（2）直线过点P1（x1,y1）,垂直于y轴的方程为y＝y1；
（3）y轴的方程为x＝0；
（4）x轴的方程为y＝0.
三、基础小题强化——功底牢一点
（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．（ ）
（2）过点M（a,b）,N（b,a）（a≠b）的直线的倾斜角是45°.（ ）
（3）直线的倾斜角越大,斜率k就越大．（ ）
（4）经过点P（x0,y0）的直线都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示．（ ）
（5）经过任意两个不同的点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）的直线都可以用方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示．（ ）
答案:
（1）×
（2）× （3）× （4）× （5）√
（二）选一选
1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是（ ）
A. B.
C.D.
解析:
选D 由直线的方程得直线的斜率为k＝－,设直线的倾斜角为α,则tanα＝－,又α∈[0,π）,所以α＝.故选D.
2．过点M（－2,m）,N（m,4）的直线的斜率等于1,则m的值为（ ）
A．1B．4
C．1或3D．1或4
解析:
选A 由k＝＝1,得m＝1.
3．已知直线l经过点P（－2,5）,且斜率为－,则直线l的方程为（ ）
A．3x＋4y－14＝0B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0D．4x－3y＋14＝0
解析:
选A 由y－5＝－（x＋2）,得3x＋4y－14＝0.
（三）填一填
4．已知三角形的三个顶点A（－5,0）,B（3,－3）,C（0,2）,则BC边上中线所在的直线方程为________．
解析:
由已知,得BC的中点坐标为,且直线BC边上的中线过点A,则BC边上中线的斜率k＝－,故BC边上的中线所在直线方程为y＋＝－,即x＋13y＋5＝0.
答案:
x＋13y＋5＝0
5．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2,则实数k＝________.
解析:
令x＝0,得y＝；令y＝0,得x＝－,则有－＝2,所以k＝－24.
答案:
－24
[典例]
（1）直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C.D.
（2）直线l过点P（1,0）,且与以A（2,1）,B（0,）为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________．
[解析]
（1）直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα,
因为α∈,所以≤cosα≤,
因此k＝2·cosα∈[1,]．
设直线的倾斜角为θ,则有tanθ∈[1,]．
又θ∈[0,π）,所以θ∈,
即倾斜角的取值范围是.
（2）设PA与PB的倾斜角分别为α,β,直线PA的斜率是kAP＝1,直线PB的斜率是kBP＝－,当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角由α增至90°,斜率的取值范围为[1,＋∞）．
当直线l由PC变化到PB的位置时,它的倾斜角由90°增至β,斜率的变化范围是（－∞,－]．
故直线l斜率的取值范围是（－∞,－]∪[1,＋∞）．
[答案]
（1）B
（2）（－∞,－]∪[1,＋∞）
[变透练清]
1.若将本例
（1）中的条件变为:
平面上有相异两点A（cosθ,sin2θ）,B（0,1）,则直线AB的倾斜角α的取值范围是________．
解析:
由题意知cosθ≠0,则斜率k＝tanα＝＝－cosθ∈[－1,0）∪（0,1],所以直线AB的倾斜角的取值范围是∪.
答案:
∪
2.若将本例
（2）中P（1,0）改为P（－1,0）,其他条件不变,则直线l斜率的取值范围为________．
解析:
设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y＝k（x＋1）,即kx－y＋k＝0.
∵A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上,
∴（2k－1＋k）（－＋k）≤0,
即（3k－1）（k－）≤0,解得≤k≤.
即直线l的斜率的取值范围是.
答案:
3．若点A（4,3）,B（5,a）,C（6,5）三点共线,则a的值为________．
解析:
因为kAC＝＝1,kAB＝＝a－3.由于A,B,C三点共线,所以a－3＝1,即a＝4.
答案:
4
[解题技法] 斜率取值范围的两种求法
数形结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正切函数的单调性确定
函数图象法
根据正切函数图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可
[典例]
（1）若直线经过点A（－5,2）,且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍,则该直线的方程为________________．
（2）若直线经过点A（－,3）,且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半,则该直线的方程为________________．
（3）在△ABC中,已知A（5,－2）,B（7,3）,且AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,则直线MN的方程为________________．
[解析]
（1）①当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线方程为y＝kx,将（－5,2）代入y＝kx中,得k＝－,此时,直线方程为y＝－x,即2x＋5y＝0.
②当横截距、纵截距都不为零时,
设所求直线方程为＋＝1,
将（－5,2）代入所设方程,解得a＝－,此时,直线方程为x＋2y＋1＝0.
综上所述,所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
（2）由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－,所以倾斜角为120°,从而所求直线的倾斜角为60°,故所求直线的斜率为.
又直线过点A（－,3）,所以所求直线方程为y－3＝（x＋）,即x－y＋6＝0.
（3）设C（x0,y0）,则M,N.
因为点M在y轴上,所以＝0,所以x0＝－5.
因为点N在x轴上,所以＝0,
所以y0＝－3,即C（－5,－3）,
所以M,N（1,0）,
所以直线MN的方程为＋＝1,
即5x－2y－5＝0.
[答案]
（1）x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0
（2）x－y＋6＝0 （3）5x－2y－5＝0
[解题技法]
1．求解直线方程的2种方法
直接法
根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程
待定系数法
①设所求直线方程的某种形式；
②由条件建立所求参数的方程（组）；
③解这个方程（组）求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程
2．谨防3种失误
（1）应用“点斜式”和“斜截式”方程时,要注意讨论斜率是否存在．
（2）应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点,截距是否为0.
（3）应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.
[题组训练]
1．过点（1,2）,倾斜角的正弦值是的直线方程是________________．
解析:
由题知,倾斜角为或,所以斜率为1或－1,直线方程为y－2＝x－1或y－2＝－（x－1）,即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
答案:
x－y＋1＝0或x＋y－3＝0
2．过点P（6,－2）,且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________________．
解析:
设直线方程的截距式为＋＝1,则＋＝1,解得a＝2或a＝1,则直线的方程是＋＝1或＋＝1,即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
答案:
2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0
[典例] 已知直线l过点M（2,1）,且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点,求当||·||取得最小值时直线l的方程．
[解] 设A（a,0）,B（0,b）,则a＞0,b＞0,直线l的方程为＋＝1,
所以＋＝1.
||·||＝－·＝－（a－2,－1）·（－2,b－1）
＝2（a－2）＋b－1＝2a＋b－5
＝（2a＋b）－5
＝＋≥4,
当且仅当a＝b＝3时取等号,此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
[解题技法]
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
（1）求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值．
（2）求直线方程．弄清确定直线的两个条件,由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
（3）求参数值或范围．注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的性质或基本不等式求解．
[题组训练]
1．若直线ax＋by＝ab（a>0,b>0）过点（1,1）,则该直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．4D．8
解析:
选C ∵直线ax＋by＝ab（a>0,b>0）过点（1,1）,
∴a＋b＝ab,即＋＝1,
∴a＋b＝（a＋b）
＝2＋＋≥2＋2＝4,
当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．
∴直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为4.
2．已知直线l:
x－my＋m＝0上存在点M满足与A（－1,0）,B（1,0）两点连线的斜率kMA与kMB之积为3,则实数m的取值范围是（ ）
A．[－,]
B.∪
C.∪
D.
解析:
选C 设M（x,y）,由kMA·kMB＝3,得·＝3,即y2＝3x2－3.
联立得x2＋x＋6＝0（m≠0）,
则Δ＝2－24≥0,即m2≥,解得m≤－或m≥.
∴实数m的取值范围是∪.
1．（2019·合肥模拟）直线l:
xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是（ ）
A. B.
C．－D．－
解析:
选A 设直线l的斜率为k,则k＝－＝.
2．倾斜角为120°,在x轴上的截距为－1的直线方程是（ ）
A.x－y＋1＝0B.x－y－＝0
C.x＋y－＝0D.x＋y＋＝0
解析:
选D 由于倾斜角为120°,故斜率k＝－.又直线过点（－1,0）,所以直线方程为y＝－（x＋1）,即x＋y＋＝0.
3．已知△ABC的三个顶点坐标为A（1,2）,B（3,6）,C（5,2）,M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为（ ）
A．2x＋y－12＝0B．2x－y－12＝0
C．2x＋y－8＝0D．2x－y＋8＝0
解析:
选C 由题知M（2,4）,N（3,2）,则中位线MN所在直线的方程为＝,整理得2x＋y－8＝0.
4．方程y＝ax－表示的直线可能是（ ）
解析:
选C 当a＞0时,直线的斜率k＝a＞0,在y轴上的截距b＝－＜0,各选项都不符合此条件；当a＜0时,直线的斜率k＝a＜0,在y轴上的截距b＝－＞0,只有选项C符合此条件．故选C.
5．在等腰三角形MON中,MO＝MN,点O（0,0）,M（－1,3）,点N在x轴的负半轴上,则直线MN的方程为（ ）
A．3x－y－6＝0B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0D．3x＋y－6＝0
解析:
选C 因为MO＝MN,所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数,所以kMN＝－kMO＝3,所以直线MN的方程为y－3＝3（x＋1）,即3x－y＋6＝0,选C.
6．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3,且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍,则（ ）
A．m＝－,n＝1B．m＝－,n＝－3
C．m＝,n＝－3D．m＝,n＝1
解析:
选D 对于直线mx＋ny＋3＝0,令x＝0得y＝－,即－＝－3,n＝1.
因为x－y＝3的斜率为60°,直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角是直线x－y＝3的2倍,所以直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角为120°,即－＝－,m＝.
7．当0kx－y＝k－1与直线l2:
ky－x＝2k的交点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析:
选B 由得
又∵00,
故直线l1:
kx－y＝k－1与直线l2:
ky－x＝2k的交点在第二象限．
8．若直线l:
kx－y＋2＋4k＝0（k∈R）交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为（ ）
A．x－2y＋4＝0B．x－2y＋8＝0
C．2x－y＋4＝0D．2x－y＋8＝0
解析:
选B 由l的方程,得A,B（0,2＋4k）．依题意得解得k＞0.因为S＝|OA|·|OB|＝·|2＋4k|＝·＝≥（2×8＋16）＝16,当且仅当16k＝,即k＝时等号成立．此时l的方程为x－2y＋8＝0.
9．以A（1,1）,B（3,2）,C（5,4）为顶点的△ABC,其边AB上的高所在的直线方程是________________．
解析:
由A,B两点得kAB＝,则边AB上的高所在直线的斜率为－2,故所求直线方程是y－4＝－2（x－5）,即2x＋y－14＝0.
答案:
2x＋y－14＝0
10．已知直线l过点（1,0）,且倾斜角为直线l0:
x－2y－2＝0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为________________．
解析:
由题意可设直线l0,l的倾斜角分别为α,2α,
因为直线l0:
x－2y－2＝0的斜率为,则tanα＝,
所以直线l的斜率k＝tan2α＝＝＝,
所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝（x－1）,
即4x－3y－4＝0.
答案:
4x－3y－4＝0
11．直线l经过点A（1,2）,在x轴上的截距的取值范围是（－3,3）,则其斜率的取值范围是________________．
解析:
由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y－2＝k（x－1）,直线l在x轴上的截距为1－,令－3<1－<3,解不等式得k>或k<－1.
答案:
（－∞,－1）∪
12．设点A（－1,0）,B（1,0）,直线2x＋y－b＝0与线段AB相交,则b的取值范围是________．
解析:
b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距,如图,当直线y＝－2x＋b过点A（－1,0）和点B（1,0）时,b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2]．
答案:
[－2,2]
13．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程:
（1）过定点A（－3,4）；
（2）斜率为.
解:
（1）设直线l的方程为y＝k（x＋3）＋4,它在x轴,y轴上的截距分别是－－3,3k＋4,
由已知,得（3k＋4）＝±6,
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
（2）设直线l在y轴上的截距为b,
则直线l的方程为y＝x＋b,它在x轴上的截距是－6b,
由已知,得|－6b·b|＝6,∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
第二节
两直线的位置关系
一、基础知识批注——理解深一点
1．两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1＝k2.
在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形.
②当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
（2）两条直线垂直
①如果两条直线l1,l2的斜率存在,
设为k1,k2,则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1:
A1x＋B1y＋C1＝0,l2:
A2x＋B2y＋C2＝0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
3．三种距离公式
（1）两点间的距离公式
平面上任意两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）间的距离公式为|P1P2|＝.
利用点到直线的距离公式时,需要先将直线方程化为一般式.
（2）点到直线的距离公式
点P0（x0,y0）到直线l:
Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
（3）两平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0
利用两平行直线间的距离公式时,需要先将两条平行线方程化为x，y的系数对应相等的一般式.
间的距离d＝.
二、常用结论汇总——规律多一点
（1）与直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）垂直或平行的直线方程可设为:
①垂直:
Bx－Ay＋m＝0；
②平行:
Ax＋By＋n＝0.
（2）与对称问题相关的四个结论:
①点（x,y）关于点（a,b）的对称点为（2a－x,2b－y）．
②点（x,y）关于直线x＝a的对称点为（2a－x,y）,关于直线y＝b的对称点为（x,2b－y）．
③点（x,y）关于直线y＝x的对称点为（y,x）,关于直线y＝－x的对称点为（－y,－x）．
④点（x,y）关于直线x＋y＝k的对称点为（k－y,k－x）,关于直线x－y＝k的对称点为（k＋y,x－k）．
三、基础小题强化——功底牢一点
（1）当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1＝k2⇒l1∥l2.（ ）
（2）如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于－1.（ ）
（3）若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交．（ ）
（4）点P（x0,y0）到直线y＝kx＋b的距离为.（ ）
（5）两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.（ ）
答案:
（1）×
（2）× （3）√ （4）× （5）×
（二）选一选
1．已知过两点A（－3,m）,B（m,5）的直线与直线3x＋y－1＝0平行,则m的值为（ ）
A．3 B．7
C．－7D．－9
解析:
选C 由题可知,＝－3,解得m＝－7,故选C.
2．若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直,则a的值为（ ）
A．－3B．－
C．2D．3
解析:
选D 直线ax＋2y－1＝0的斜率k1＝－,直线2x－3y－1＝0的斜率k2＝,因为两直线垂直,所以－×＝－1,即a＝3.
3．已知点（a,2）（a>0）到直线l:
x－y＋3＝0的距离为1,则a的值为（ ）
A.B．2－
C.－1D.＋1
解析:
选C 由题意知＝1,∴|a＋1|＝,又a>0,∴a＝－1.
（三）填一填
4．若直线2x－y＝－10,y＝x＋1,y＝ax－2交于一点,则a的值为________．
解析:
由得
即直线2x－y＝－10与y＝x＋1相交于点（－9,－8）．
又因为直线2x－y＝－10,y＝x＋1,y＝ax－2交于一点,
所以－8＝－9a－2,解得a＝.
答案:
5．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行,则它们之间的距离是________．
解析:
∵＝≠,∴m＝8,直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0,两平行线之间的距离d＝＝2.
答案:
2
[典例] 已知两直线l1:
mx＋8y＋n＝0和l2:
2x＋my－1＝0,试确定m,n的值,使
（1）l1与l2相交于点P（m,－1）；
（2）l1∥l2；
（3）l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为－1.
[解]
（1）由题意得
解得
即m＝1,n＝7时,l1与l2相交于点P（m,－1）．
（2）∵l1∥l2,∴
解得或
即m＝4,n≠－2或m＝－4,n≠2时,l1∥l2.
（3）当且仅当2m＋8m＝0,
即m＝0时,l1⊥l2.
又－＝－1,∴n＝8.
即m＝0,n＝8时,l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为－1.
[解题技法]
1．解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想”
2．由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1:
A1x＋B1y＋C1＝0（A＋B≠0）
l2:
A2x＋B2y＋C2＝0（A＋B≠0）
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
＝≠（A2B2C2≠0）
l1与l2相交的充分条件
≠（A2B2≠0）
l1与l2重合的充分条件
＝＝（A2B2C2≠0）
[题组训练]
1．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直,垂足为（t,1）,则n的值为（ ）
A．7 B．9
C．11D．－7
解析:
选A 由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得,20－2m＝0,m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点（t,1）,所以4t＋10－6＝0,t＝－1.点（－1,1）又在直线5x－2y＋n＝0上,所以－5－2＋n＝0,n＝7.
2．（2019·保定五校联考）直线l1:
mx－2y＋1＝0,l2:
x－（m－1）y－1＝0,则“m＝2”是“l1∥l2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析:
选C 由l1∥l2得－m（m－1）＝1×（－2）,得m＝2或m＝－1,经验证,当m＝－1时,直线l1与l2重合,舍去,所以“m＝2”是“l1∥l2”
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