高中数学选修21课时作业1第二章 圆锥曲线与方程.docx

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高中数学选修21课时作业1第二章圆锥曲线与方程

章末检测

一、选择题

1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是（　　）

A．1B．2C．4D．8

[答案]　C

[解析]　抛物线的焦点到准线的距离为p＝4.

2．已知双曲线－y2＝1（a>0）的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（　　）

A．y＝±xB．y＝±x

C．y＝±xD．y＝±x

[答案]　D

[解析]　∵y2＝8x焦点是（2，0），

∴双曲线－y2＝1的半焦距c＝2，又虚半轴长b＝1且a>0，所以a＝＝，

∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.

3．已知点M（－3，0），N（3，0），B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于P点，则点P的轨迹方程为（　　）

A．x2－＝1（x>1）B．x2－＝1（x<－1）

C．x2＋＝1（x>0）D．x2－＝1（x>1）

[答案]　A

[解析]　设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，

则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.

∴|PM|－|PN|

＝（|PE|＋|ME|）－（|PF|＋|NF|）

＝|MB|－|NB|

＝4－2＝2，

所以点P的轨迹是以M（－3，0），N（3，0）为焦点的双曲线的右支，且a＝1，

∴c＝3，b2＝8，

所以双曲线方程是x2－＝1（x＞1）．

4．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是（　　）

A.B.C.D．3

[答案]　A

[解析]　设与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋c＝0，与抛物线联立方程组得，消去y得3x2－4x－c＝0，Δ＝（－4）2－4×3×（－c）＝0，解得c＝－，则抛物线与直线4x＋3y－8＝0平行的切线是4x＋3y－＝0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d＝＝，故选A.

5．设k<3，k≠0，则二次曲线－＝1与＋＝1必有（　　）

A．不同的顶点B．不同的准线

C．相同的焦点D．相同的离心率

[答案]　C

[解析]　当0

∴两曲线有相同焦点；

当k<0时，－k>0且3－k>－k，

∴＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆．

a2＝3－k，b2＝－k.

∴a2－b2＝3＝c2

与已知椭圆有相同焦点．

6．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（　　）

A.B.C.D.

[答案]　D

[解析]　不妨设双曲线方程为－＝1（a>0，b>0），则可令F（c，0），B（0，b），直线FB：

bx＋cy－bc＝0与渐近线y＝x垂直，所以－·＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，所以e＝或e＝（舍去）．

7．已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在抛物线x2＝y的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（　　）

A．4B．3C．2D．1

[答案]　A

[解析]　由已知可得|AB|＝2，要使S△ABC＝2，则点C到直线AB的距离必须为，设C（x，x2），而lAB：

x＋y－2＝0，所以有＝，所以x2＋x－2＝±2，

当x2＋x－2＝2时，有两个不同的C点；

当x2＋x－2＝－2时，亦有两个不同的C点．

因此满足条件的C点有4个，故应选A.

8．已知双曲线－＝1（a>）的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为

（　　）

A.B.C.D．2

[答案]　A

[解析]　如图所示，双曲线的渐近线方程为：

y＝±x，

若∠AOB＝，则θ＝，tanθ＝＝，

∴a＝>.

又∵c＝＝2，

∴e＝＝＝.

9．（2013·浙江）如图，F1，F2是椭圆C1：

＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　）

A.B.C.D.

[答案]　D

[解析]　设|AF1|＝x，|AF2|＝y，

因为点A为椭圆C1：

＋y2＝1上的点，

所以2a＝4，b＝1，c＝；

所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，即x＋y＝4；①

又四边形AF1BF2为矩形，

所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，

即x2＋y2＝（2c）2＝

（2）2＝12，②

由①②得：

，解得x＝2－，y＝2＋，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a＝|AF2|－|AF1|＝y－x＝2，2c＝2＝2，

所以双曲线C2的离心率e＝＝＝.

10．（2013·山东，理）已知抛物线C1：

y＝x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：

－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝（　　）

A.B.C.D.

[答案]　D

[解析]　经过第一象限的双曲线的渐近线为y＝x.抛物线的焦点为F（0，），双曲线的右焦点为F2（2，0）．y′＝x，所以在M（x0，）处的切线斜率为，即x0＝，所以x0＝p，即三点F（0，），F2（2，0），M（p，）共线，所以＝，即p＝，选D.

二、填空题

11．（2013·江苏）双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．

[答案]　y＝±x

[解析]　a＝4，b＝3.∴y＝±x

12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．

[答案]　＋＝1（a＞0，b＞0）

[解析]　设椭圆方程为＋＝1，

由e＝知，＝，∴＝.

∵△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，

∴a＝4，∴b2＝8.

∴椭圆C的方程为＋＝1.

13．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.

[答案]　2

[解析]　设点A（x1，y1），点B（x2，y2）

抛物线y2＝4x，焦点为（1，0），准线为x＝－1.

|AF|＝x1－（－1）＝2，所以x1＝1.

则AF与x轴垂直，|BF|＝|AF|＝2.

14．抛物线y2＝x上存在两点关于直线y＝m（x－3）对称，则m的范围是________．

[答案]　（－，）

[解析]　设抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y＝m（x－3）对称，A，B中点M（x，y），则当m＝0时，有直线y＝0，显然存在点关于它对称．

当m≠0时，⇒＝＝＝－，

所以y＝－，所以M的坐标为（，－），∵M在抛物线内，则有>（－）2，得－

三、解答题

15．如图，直线l：

y＝x＋b与抛物线C：

x2＝4y相切于点A.

（1）求实数b的值；

（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

解　

（1）由得x2－4x－4b＝0，（*）

因为直线l与抛物线C相切，

所以Δ＝（－4）2－4×（－4b）＝0，解得b＝－1.

（2）由

（1）可知b＝－1，故方程（*）即为x2－4x＋4＝0，

解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1.

故点A（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，

所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－（－1）|＝2，

所以圆A的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝4.

16．炮弹在某处爆炸，在F1（－5000，0）处听到爆炸声的时间比在F2（5000，0）处晚s．已知坐标轴的单位长度为1m，声速为340m/s，爆炸点应在什么样的曲线上？

并求爆炸点所在的曲线方程．

解　由声速为340m/s可知F1、F2两处与爆炸点的距离差为340×＝

6000（m），因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上．

因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上．

设爆炸点P的坐标为（x，y），则

|PF1|－|PF2|＝6000，即2a＝6000，a＝3000.

而c＝5000，∴b2＝50002－30002＝40002，

∵|PF1|－|PF2|＝6000>0，∴x>0，

所求双曲线方程为－＝1（x>0）．

17．已知椭圆G：

＋＝1（a>b>0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为

P（－3，2）．

（1）求椭圆G的方程；

（2）求△PAB的面积．

解　

（1）由已知得c＝2，＝.

解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4.

所以椭圆G的方程为＋＝1.

（2）设直线l的方程为y＝x＋m.

由，得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①

设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1

则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝；

因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.

所以PE的斜率k＝＝－1.解得m＝2.

此时方程①为4x2＋12x＝0.

解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.

所以|AB|＝3.此时，点P（－3，2）到直线AB：

x－y＋2＝0的距离d＝＝，

所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.

18．（2013·山东，理）椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，过P点作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．

解　

（1）由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1得y＝±，

由题意知＝1，即a＝2b2.

又e＝＝，所以a＝2，b＝1.

所以椭圆方程为＋y2＝1.

（2）由题意可知：

＝，＝，设P（x0，y0）其中x02≠4，将向量坐标代入并化简得：

m（4x02－16）＝3x03－12x0，因为x02≠4，

所以m＝x0，而x0∈（－2，2），所以m∈（－，）．

（3）由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：

＋y0y＝1，所以k＝－，

而k1＝，k2＝，代入＋中得

＋＝－4（＋）＝－8.

因此＋为定值，这个定值为－8.