变式2、两个圆心为O的甲、乙两圆,半径分别为r1和r2,且r1<OA<r2,那么点A在()
A.甲圆内B.乙圆外C.甲圆外,乙圆内D.甲圆内,乙圆外
变式3、⊙O的半径为10cm,OP=28cm,A为线段OP的中点,则点A在圆________
变式4、P为⊙O内与O不重合的一点,则下列说法正确的是()
A.点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径B.⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径
C.⊙O上有两点到点P的距离最小D.⊙O上有两点到点P的距离最大
例2、如图,Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,斜边AB上的高为CD,若以C为圆心,分别以r1=2cm,r2=2.4cm,r3=3cm为半径作圆,试判断D点与这三个圆的位置关系.
变式1、已知△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点C为圆心作⊙C,半径为r.
(1)当r取什么值时,点A、B在⊙C外.
(2)当r在什么范围时,点A在⊙C内,点B在⊙C外。
变式2、若⊙A的半径为5,圆心A的坐标是(3,4),点P的坐标是(5,8),你认为点P的位置为()
A.在⊙A内B.在⊙A上C.在⊙A外D.不能确定
变式3、⊙O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与⊙O的位置关系是()
A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.点P在⊙O上或⊙O外
变式4、在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4cm,D是AB边的中点,以C为圆心,4cm长为半径作圆,则A、B、C、D四点中在圆内的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
变式5、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,
CM为中线,以C为圆心,
cm为半径作圆,则A、B、C、M
四点在圆外的有,在圆上的有,在圆内的有.
变式6、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15cm,BC=10cm,以A为圆心,12cm为半径作圆,则点C与⊙A的位置关系是.
(提高)
变式7、已知:
如图,矩形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm.若以A为圆心作圆,使B、C、D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,求⊙A的半径r的取值范围.
变式8、菱形的四边中点是否在同一个圆上?
如果在同一圆上,请找出它的圆心和半径.
例3、设⊙O的半径为2,点P到圆心的距离OP=m,且m使关于x的方程2x2-2
x+m-1=0有实数根,试确定点P的位置.
例4、城市规划建设中,某超市需要拆迁.爆破时,导火索的燃烧速度与每秒0.9厘米,点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域,这个导火索的长度为18厘米,那么点导火索的人每秒跑6.5米是否安全?
变式1、由于过渡采伐森林和破坏植被,使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭.近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处,正在向西北方向移动(如图3-1-5),距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响,问A市是否会受到这次沙尘暴的影响?
变式2、如图,公路MN和公路PQ在P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m.假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?
请说明理由;如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/时,那么学样受影响的时间为多少秒?
变式3、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=4,BC=9,AB=12,M为AB的中点,以CD为直径画圆P,判断点M与⊙P的位置关系.
圆的对称性
圆是轴对称图形,经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
圆是中心对称图形,对称中心是圆心。
1、
上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
以A,B两点为端点的弧.记作AB,
读作“弧AB”
2、连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).圆心到弦的距离叫做弦心距3、经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).4、直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).5、小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB(用两个字母).大于半圆的弧叫做优弧,
如记作AmB(用三个字母)
例1、判断下列图形是否具有对称性?
如果是中心对称图形,指出它的对称中心;如果是轴对称图形,指出它的对称轴。
变式1、下列命题中,正确的有()
A.圆只有一条对称轴B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条
C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴
D.圆有无数条对称轴,经过圆心的每条直线都是它的对称轴
变式2、已知⊙O的半径为R,弦AB的长也是R,则∠AOB的度数是_________.
变式3、已知⊙O的半径为R,弦AB的长也为R,则弦心距是。
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分这条弦所的两条弧。
条件:
①CD是直径③AM=BM,
推出结论
④AC=BC,
②CD⊥AB⑤AD=BD.逆定理:
平分弦的直径垂直于弦并且平分这条弦所的两条弧。
条件是:
①平分弦、②直径。
结论是:
垂直
例1、如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点M
1)若OC=5,AB=6,则OM=_____,MC=____;
2)若OC=10,OM=6,则AB=______
3)若AB=8,MC=2,则OC=_______
变式1、已知⊙O中,OC⊥弦AB于C,AB=8,OC=3,则⊙O的半径长等于。
变式2、若⊙O的半径为5,弦AB长为8,求拱高
例2、已知,如图在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点,
求证:
AC=BD
变式1、如图,在⊙O中,弦AB=8cm,OC⊥AB于C,OC=3cm,求⊙O的半径长.
变式2、如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,EB=2cm,∠CEA=30°,求CD的长.
变式3、如图,已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm,求点O到AB的距离及
∠OAB的余弦值。
●O
B
A
例3、在直径为
的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图,如果油的最大深度为
,那么油面宽度AB是多少?
变式1、储油罐的截面如图3-2-12所示,装入一些油后,若油面宽AB=600mm,求油的最大深度.
变式2、“五段彩虹展翅飞”,我省利用国债资金修建的,横跨南渡江的琼州大桥(如图3-2-16)已于今年5月12日正式通车,该桥的两边均有五个红色的圆拱,如图
(1).最高的圆拱的跨度为110米,拱高为22米,如图
(2)那么这个圆拱所在圆的直径为米.
例4、如图1,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F,EC和DF相等吗?
说明理由.
如图2,若直线EF平移到与直径AB相交于点P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,原结论是否改变?
为什么?
如图3,当EF∥AB时,情况又怎样?
如图4,CD为弦,EC⊥CD,FD⊥CD,EC、FD分别交直径AB于E、F两点,你能说明AE和BF为什么相等吗?
变式1、已知:
如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB<CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有.
图中相等的劣弧有.
变式2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
变式3、已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD,AB将CD分成3cm和7cm两部分,
求:
圆心O到弦AB的距离
变式4、已知:
⊙O半径为6cm,弦AB与直径CD垂直,且将CD分成1∶3两部分,求:
弦AB的长.
变式5、已知:
⊙O弦AB∥CD求证:
变式6、已知:
△ABC内接于⊙O,边AB过圆心O,OE是BC的垂直平分线,交⊙O于E、D两点,求证,
变式7、已知:
AB为⊙O的直径,CD是弦,BE⊥CD于E,AF⊥CD于F,连结OE,OF求证:
⑴OE=OF⑵CE=DF
变式8、已知:
⊙O与⊙O'相交于P、Q,过P点作直线交⊙O于A,交⊙O'于B使OO'与AB平行求证:
AB=2OO'
1、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
2、在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。
例1、如图,AB、CD、EF都是⊙O的直径,且∠1=∠2=∠3,弦AC、EB、DF是否相等?
为什么?
变式1、下列说法中,正确的是()
A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等,所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等
变式2、如果两条弦相等,那么()
A.这两条弦所对的弧相等B.这两条弦所对的圆心角相等
C.这两条弦的弦心距相等D.以上答案都不对
变式3、半径为5的⊙O内有一点P,且OP=4,则过点P的最短的弦长是,最长的弦长是.
变式4、一条弦把圆分成1:
3两部分,则弦所对的圆心角为.
变式5、弦心距是弦的一半时,弦与直径的比是,弦所对的圆心角是.
变式6、⊙O的直径为50cm,弦AB∥CD,且AB=40cm,CD=48cm,求弦AB和CD之间的距离.
变式7、如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
为什么?
变式8、如图,已知⊙O1和⊙O2是等圆,直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F,且CF交O1O2于点M,
,O1M和O2M相等吗?
为什么?