答案：
（28,57]
4．解析：
由题意知，流程图功能为
1×3×5×…×i≥10000，
∴i＝11，故输出的结果为i＝11＋2＝13.
答案：
13
5．解析：
利用循环结构相关知识直接运算求解．
k＝1，s＝1＋02＝1；k＝2，s＝1＋12＝2；k＝3，s＝2＋22＝6；k＝4，s＝6＋32＝15；k＝5，s＝15＋42＝31＞15.故输出k＝5.
答案：
5
6．解：
如图所示：
7．解：
（1）正确的流程图只有图③，
图①有三处错误：
第一处错误，第二个图框中i←42，应该是i←4，因为本流程图中的计数变量是i，不是i2，在22,42，…，1002中，指数都是2，而底数2,4,6,8，…，100是变化的，但前后两项的底数相差2，因此计数变量是顺加2.
第二处错误，第三个图框中的内容错误，累加的是i2而不是i，故应改为p←p＋i2.
第三处错误，第四个图框中的内容，其中的指令i←i＋1，应改为i←i＋2，原因是底数前后两项相差2.
图②所示的流程图中有一处错误，即判断框中的内容错误，应将框内的内容“i＜100”改为“i≤100”或改为“i＞100”且判断框下面的流程线上标注的Y和N互换．
（2）图①虽然能进行到底，但执行的结果不是所期望的结果，按照这个流程图最终输出的结果是p＝22＋42＋（42＋1）＋（42＋2）＋…＋（42＋84）．
图②虽然能进行到底，但最终输出的结果不是预期的结果而是22＋42＋62＋…＋982，少了1002.
8．解：
此男子田径队有22人，要解决该问题必须先对运动员进行编号．设第i个运动员编号为Ni，成绩为Gi，设计的算法如下：
S1 i＝1.
S2 输入Ni，Gi.
S3 如果Gi<6.8，则输出Ni，Gi，并执行S4；否则，直接执行S4.
S4 i＝i＋1.
S5 如果i≤22，则返回S2；否则，算法结束．
该算法的程序框图如图所示．
2019-2020年高中数学课下能力提升三新人教A版
（1）
题组1 数（式）中的归纳推理
1．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是（ ）
A．ak＋ak＋1＋…＋a2kB．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2kD．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
2．如图所示，n个连续自然数按规律排列如下：
根据规律，从2014到2016的箭头方向依次为（ ）
A．→↑B．↑→C．↓→D．→↓
3．根据给出的等式猜测123456×9＋7等于（ ）
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
A．1111110B．1111111
C．1111112D．1111113
4．设函数f（x）＝
（x＞0），观察：
f1（x）＝f（x）＝
，f2（x）＝f（f1（x））＝
，
f3（x）＝f（f2（x））＝
，
f4（x）＝f（f3（x））＝
，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn（x）＝f（fn－1（x））＝________.
题组2 图形中的归纳推理
5．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色（ ）
A．白色B．黑色
C．白色可能性大D．黑色可能性大
6．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为（ ）
A．an＝3n－1B．an＝3n
C．an＝3n－2nD．an＝3n－1＋2n－3
7．如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．
猜想：
在圆内画n（n≥2）条线段，彼此最多分割成多少条线段？
将圆最多分割成多少部分？
题组3 类比推理
8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为（ ）
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9
D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
9．在平面中，△ABC的∠ACB的平分线CE分△ABC面积所成的比
＝
，将这个结论类比到空间：
在三棱锥ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB且与AB交于E，则类比的结论为________．
10．在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．
[能力提升综合练]
1．观察下列各式：
72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72016的末两位数字为（ ）
A．01B．43C．07D．49
2．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：
那么下列4个图形中，
可以表示A*D，A*C的分别是（ ）
A．
（1），
（2）B．
（1），（3）
C．
（2），（4）D．
（1），（4）
3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图
（1）中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图
（2）中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．289B．1024C．1225D．1378
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：
设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，
成等比数列．
5．将正整数排成下表：
1
2 3 4
567 8 9
10 11 12 13 14 15 16
……
则在表中数字2016出现在第________行，第________列．
6．已知椭圆具有以下性质：
若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线
－
＝1（a＞0，b＞0）写出具有类似特征的性质，并加以证明．
7．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵（m∈N*，m≥2）．
（1）写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；
（2）若把
（1）中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；
（3）求a10，并说明a10表示的实际意义；
（4）已知an＝9900，问an是数列第几项？
答案
[学业水平达标练]
1．解析：
选D 利用归纳推理可知，第k项中第一个数为ak－1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为ak－1＋ak＋…＋a2k－2.
2．解析：
选B 观察总结规律为：
以4个数为一个周期，箭头方向重复出现．因此，
2014到2016的箭头方向和2到4的箭头方向是一致的．故选B.
3．解析：
选B 由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1111111.
4．解析：
根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知fn（x）的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn（x）＝
.
答案：
5．解析：
选A 由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．
6．解析：
选A ∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，
∴猜想an＝3n－1.
7．解：
设圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成的线段为f（n）条，将圆最多分割为g（n）部分．
f
（1）＝1＝12，
g
（1）＝2；
f
（2）＝4＝22，
g
（2）＝4＝2＋2；
f（3）＝9＝32，
g（3）＝7＝2＋2＋3；
f（4）＝16＝42，
g（4）＝11＝2＋2＋3＋4；
猜想：
f（n）＝n2，
g（n）＝2＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋
＝
.
即圆内两两相交的n（n≥2）条线段，彼此最多分割为n2条线段，将圆最多分割为
部分．
8．解析：
选D 等比数列中的积（乘方）类比等差数列中的和（积），得a1＋a2＋…＋a9＝2×9.
9．解析：
平面中的面积类比到空间为体积，
故
类比成
.
平面中的线段长类比到空间为面积，
故
类比成
.
故有
＝
.
答案：
＝
10．解：
如图①，在矩形ABCD中，cos2α＋cos2β＝
2＋
2＝
＝
＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，
证明如下：
如图②，cos2α＋cos2β＋cos2γ
＝
2＋
2＋
2
＝
＝
＝1.
[能力提升综合练]
1．解析：
选A 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401，75＝16807,76＝117649，…，
所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2016＝4×504，
所以72016的末两位数字与74的末两位数字相同，为01.
2．解析：
选C 由①②③④可归纳得出：
符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，
∴A*D是
（2），A*C是（4）．
3．解析：
选C 记三角形数构成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝
.
同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.
将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1225.
4．解析：
等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：
设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，
，
，
成等比数列．
答案：
5．解析：
第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2.
∵442＝1936,452＝2025，
且1936＜2016＜2025，
∴2016在第45行．
又2025－2016＝9，
且第45行有2×45－1＝89个数字，
∴2016在第89－9＝80列．
答案：
45 80
6．解：
类似的性质为：
若M，N是双曲线
－
＝1（a＞0，b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：
设点M，P的坐标分别为（m，n），（x，y），
则N（－m，－n）．
因为点M（m，n）在已知的双曲线上，
所以
－
＝1，
得n2＝
m2－b2.
同理，y2＝
x2－b2，则y2－n2＝
（x2－m2）．
所以kPM·kPN＝
·
＝
＝
·
＝
（定值）．
所以kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
7．解：
（1）当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….
（2）因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝（n＋1）（n＋2），n∈N*.
（3）a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
（4）令（n＋1）（n＋2）＝9900，所以n＝98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．
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