建模.docx
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建模
目录
1摘要.............................................................1
2模型的背景问题描述........................................3
3模型的假设.....................................................4
4分析与建立模型...............................................5
4.1问题一的分析........................................5
4.2问题二的分析........................................8
5模型的求解....................................................10
5.1问题一的求解.......................................10
5.2问题二的求解........................................11
6模型的应用与推广............................................11
1、摘要
在我国西北部某些干旱地区，水资源量不足是发展农牧业生产的主要限制因素之一。
本文围绕合理开发利用水资源，农田改造等，建立线性规划模型，从而为政府提供科学的农田基本建设规划方案。
根据问题一中提供的耕地、供水量及收益情况，取规划期限为五年，建立以净收益最大为目标函数，投资额、可利用水量、国家征购指标及改造土地与原土地关系为约束的线性规划模型。
使用matlab求解后，得到不修建水库，第二类耕地全部改造成第一类耕地即为8.2万亩，荒地全部改造成第一类耕地即3.5万亩，经过改造后，将不再有第Ⅱ类耕地和荒地。
扬花时浇水的第一类耕地的数量为5.3571万亩，扬花时不浇水的第一类耕地的数量为8.8429万亩，规划年份内获得最大收益为33.34百万元。
对于问题二，分别建立使规划期内收益与计划投资金额之差为目标函数，在投资额、可利用电量、国家征购指标等方面受到约束的线性规划模型。
最佳收益为322.5313百万元。
应该对主河道进行治理。
规划期内由I类改造为III类的土地面积为3.5万亩，由II类改造为IV类、III类改造为IV类的土地面积分别为1.25万亩和4.5万亩。
关键词：
线性规划、农田基本建设规划、最大收益
2、模型的背景问题描述
在我国西北部某些干旱地区，水资源量不足是发展农牧业生产的严重限制因素之一，紧密配合国家西部大开发和新农村建设的方针政策，合理利用水资源，加强农田水利工程建设，加速西部农牧业发展，这是当地政府的一个重要任务。
在水利工程建设中，如何合理规划，发挥最大的水利经济效益，是值得研究的一个问题。
问题一：
某地区现有耕地可分为两种类型，第一类耕地具备各种水利设施配套，土地平整，排灌便利；第二类耕地则未具备以上条件。
其中第一类耕地有2.5万亩，第二类耕地有8.2万亩，此外尚有宜垦荒地3.5万亩。
该地区主要作物是小麦，完全靠地表水进行灌溉。
由于地表水的供应量随季节波动，在小麦扬花需水是恰逢枯水季节，往往由于缺水使一部分麦田无法灌溉，影响产量。
而且由于第二类耕地条件差，土地不平整，所以灌溉定额高，浪费水量比较大，而且产量不如大一类产量高。
进一步合理利用水资源的措施有二：
其一是进行农田建设，把一部分第二类耕地改造成第一类耕地，以节约用水，提高单产；其二是修建一座水库，闲水期蓄水，到小麦扬花需水的枯水期放水，从而调节各季节的水量。
目前该地区在整个小麦生长期的地表水资源可利用量为96.5百万方，其中小麦扬花需水季节可供水量为7.5百万方，水库建成后在小麦扬花需水季节可多供水量为6.5百万方。
修建水库需要投资5.5百万元，将第二类耕地改为第一类耕地每亩需要投资20元，将荒地开垦为第二类耕地每亩需要投资85元，将荒地直接开垦为第一类耕地每亩需要投资100元。
规划期内，计划总投资额为900万元。
该地区对小麦的需求量及国家征购指标共计2万吨，超额向国家交售商品粮每吨可加价100元。
各种条件下水道灌溉额及净收益情况如下表一所示。
表一收益表
类别
全生长期浇水量（百万/亩）
扬花时浇水量
（百万/亩）
单产
（吨/亩）
净产值
（百万/亩）
扬花时浇水的
第一类耕地
7.5
1.4
0.25
0.52
扬花时不浇水
的第一类耕地
6.1
0.0
0.2
0.43
扬花时浇水的
第二类耕地
9.0
1.65
0.23
0.47
扬花时不浇水
的第二类耕地
7.35
0.0
0.185
0.39
为了充分利用水资源，发挥最大的经济效益，规划期内应该将多少亩第二类耕地改造为第一类耕地，应该开垦多少亩土地，水库有没有必要修建。
问题二：
另一地区现有4种类型土地，其基本情况如下表所示
表二某地区现有土地基本情况
土地类型
农田工程条件
现有面积
（万亩）
单产
（万吨/万亩）
生产耗电
（百万度/万亩）
净产值
（百万元/万亩）
Ⅰ
无抗旱，无排涝
6.0
0.075
0.0
1.5
Ⅱ
无抗旱，有排涝
2.5
0.1
0.15
2.0
Ⅲ
有抗旱，无排涝
1.0
0.09
0.2
1.8
Ⅳ
有抗旱，有排涝
0.5
0.125
0.25
2.5
地方政府新农村建设项目中计划兴建抗旱排涝设施，兴建抗旱设施每万亩需投资100万元，若再建排涝设施则必须先治理该流域的主河道，主河道治理需投资300万元。
主河道治理后可在使4.5万亩土地能够搞排涝工程，每万亩需投资50万元。
地方政府在规划期内可筹集资金1000万元，国家对该地区每年可供农业用电2.5百万度，当地对粮食需求量及国家征购任务总计为0.8万吨，超额生产粮食向国家交售每吨可加价100元。
地方政府应该如何确立农田基本建设规划，使该地区到规划期内净产值最大（资本回收因子取0.1）。
3、模型假设
1.假设除了问题所述中的费用外，没有其他所需费用。
2.改造后，第一、二类耕地分别完全分成扬花时浇水和不浇水部分。
3.不考虑自然灾害对作物单产的影响。
4、分析与建立模型
4.1.1：
问题一符号说明：
把第二类耕地改造成第一类耕地的数量（万亩）
把荒地开垦为第一类耕地的数量（万亩）
把荒地开垦为第二类耕地的数量（万亩）
扬花时浇水的第一类耕地的数量（万亩）
扬花时不浇水的第一类耕地的数量（万亩）
扬花时浇水的第二类耕地的数量（万亩）
扬花时不浇水的第二类耕地的数量（万亩）
4.1.2模型的分析与建立
我们先假设不对土地做任何改造也不修建水库，扬花期所有土地都不浇水，则可容易的算出现有耕地的产量为2.0170万吨。
所以明显可知现有耕地的产量一定大于该地区对小麦的需求量及国家征购指标共计的2万吨。
已知第一类耕地原有2.5万亩，而由上述假设可知，第二类耕地改造成第一类耕地的数量为
万亩，荒地开垦为第一类耕地的数量为
万亩，则改造后的第一类耕地为（2.5+
+
）万亩，同理可知改造后的第二类耕地为（
+8.2-
）万亩，荒地的数量为（3.5-
-
）万亩。
由问题分析和题目可知，我们要求的经济收益分为两部分：
一.满足该地区对小麦的需求量及国家征购指标以内的产值。
二.超额向国家交售商品食量的额外收益。
目标函数是规划期内的收益总额与投资总额之差，记为Z。
假设规划期为五年，则不修水库时的目标函数如下：
不修水库时：
s.t.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
约束条件说明：
（1）可利用水资源约束：
扬花时浇水的第Ⅰ类耕地、扬花时不浇水的第Ⅰ类耕地、扬花时浇水的第Ⅱ类耕地、扬花时不浇水的第Ⅱ类耕地上的小麦全生长期浇水量不超过96.5百万方。
（2）扬花时浇水的第Ⅰ类耕地和扬花时浇水的第Ⅱ类耕地上的小麦在扬花期的浇水量不超过7.5百万方。
（3）规划期内由第II类耕地改造为第I类耕、由荒地开垦为第II类耕地、由荒地直接开垦并改造为第I类耕地的投资,这些投资总额不超过9百万元。
（4）（5）（6）（7）土地资源的约束：
改造的土地亩数不能多于原有土地亩数，扬花期浇水的土地亩数不超过改造后的对应土地亩数。
（8）所有变量满足大于等于零。
4.2.1问题二符号说明
规划期内由I类改造为II类的土地面积（万亩）
规划期内由I类改造为III类的土地面积（万亩）
规划期内由II类改造为IV类的土地面积（万亩）
规划期内由III类改造为IV类的土地面积（万亩）
4.2.2模型的分析与建立
由题设可得到规划后的I类土地的面积为
（万亩），II类土地的面积为
（万亩），III类土地的面积为
（万亩），IV类土地的面积为
（万亩）
5.模型的求解
5.1.1问题一不修水库时的模型求解
利用matlab编程如下：
c=[0.2;1;0.85;-3.85;-3.15;-3.5;-2.875];
A=[0,0,0,7.5,6.1,9.0,7.35;
0,0,0,1.4,0,1.65,0;
0.2,1,0.85,0,0,0,0;
1,0,0,0,0,0,0;
0,1,1,0,0,0,0];
b=[96.5;7.5;9;8.2;3.5];
Aeq=[-1,-1,0,1,1,0,0;1,0,-1,0,0,1,1];
beq=[2.5;8.2];
[x,fval]=linprog（c,A,b,Aeq,beq,zeros（7,1））
Optimizationterminated.
x=
8.2000
3.5000
0.0000
5.3571
8.8429
0.0000
0.0000
fval=
-43.3400
而Z=-fval-10=33.3400
我们由matlab编程求得不修水库时，第二类耕地全部改造成第一类耕地即为8.2万亩，荒地全部改造成第一类耕地即3.5万亩，经过改造后，将不再有第Ⅱ类耕地和荒地。
扬花时浇水的第一类耕地的数量为5.3571万亩，扬花时不浇水的第一类耕地的数量为8.8429万亩，规划年份内获得最大收益为33.34百万元。
5.1.2修水库时的模型求解
当修建水库时，目标函数中投资总额中需包括修建水库需投资的5.5百万元，约束条件
（2）中扬花时浇水的第Ⅰ类耕地和扬花时浇水的第Ⅱ类耕地上的小麦在扬花期的浇水量不超过14百万方。
在不修水库情况的基础上我们利用matlab编程如下：
>>c=[0.2;1;0.85;-3.85;-3.15;-3.5;-2.875];
A=[0,0,0,7.5,6.1,9.0,7.35;
0,0,0,1.4,0,1.65,0;
0.2,1,0.85,0,0,0,0;
1,0,0,0,0,0,0;
0,1,1,0,0,0,0];
b=[96.5;14;3.5;8.2;3.5];
Aeq=[-1,-1,0,1,1,0,0;1,0,-1,0,0,1,1];
beq=[2.5;8.2];
[x,fval]=linprog（c,A,b,Aeq,beq,zeros（7,1））
Optimizationterminated.
x=
5.8178
2.3364
0.0000
10.0000
0.6543
0.0000
2.3822
fval=
-43.9097
而Z=-fval-10-5.5=28.4097
5.1.3结果分析
由上述结果可知，不修水库时，规划期内收益为33.34百万元，修水库时，规划期内收益为28.4097，由前者明显大于后者可知，没有必要修建水库。
耕地改造情况为：
第二类耕地全部改造成第一类耕地即为8.2万亩，荒地全部改造成第一类耕地即3.5万亩，经过改造后，将不再有第Ⅱ类耕地和荒地。
扬花时浇水分配情况为：
扬花时浇水的第一类耕地的数量为5.3571万亩，扬花时不浇水的第一类耕地的数量为8.8429万亩
5.2.1不治理河道时的模型的求解：
目标函数为：
S.t:
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（i=1,2,3,4）（6）
约束条件说明：
（1）投资额的约束：
水利工程建设投资总额小于或等于规划期内能够筹集到的资金额。
（2）用电量的约束：
所有类型土地的生产用电量总和不得超过国家对该地区每年可供农业用电2.5百万度。
仔细观察题中所给的数字，若第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类土地全部转化为第Ⅳ类土地类型用电量为最大，计算得2.5，也就是说不论如何规划都不会超过国家对该地区每年可供农业用电量，显然这个约束是多余的。
（3）（4）（5）（6）改造后所有土地类型的亩数均非负，各改造变量都需满足非负条件.
利用matlab编程如下：
c=[-7.875;-3.725;-6.875;-11.025];
A=[0,1,1,0;
1,1,0,0;
-1,0,1,0;
0,-1,0,1];
b=[10;6;2.5;1];Aeq=[];beq=[];
ub=[6.0;6.0;2.5;1.0];
lb=[0;0;0;0];
[x,fval]=linprog（c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,zeros（4,1））
Optimizationterminated.
x=
6.0000
0.0000
2.5000
1.0000
fval=
-75.4625
Z=-fval+256.5375=332
结果分析：
规划期内I类全部改造为II类的土地面积即6.0万亩，II类全部改造为IV类即2.5万亩，III类全部改造为IV类的土地面积为1.0万亩。
规划期末Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ类土地数量分别为0万亩、6.0万亩、0万亩和4.0万亩。
最佳收益为322百万元。
5.2.2治理河道时的模型求解：
当治理河道时，在不治理河道的基础上有题意可得到目标函数和约束条件如下：
S.t：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（i=1,2,3,4）（7）
用matlab编程如下：
c=[-7.375;-3.725;-6.875;-10.525];
A=[1,2,2,1;
1,0,0,1;
1,1,0,0;
-1,0,1,0;
0,-1,0,1];
b=[14;4.5;6;2.5;1];Aeq=[];beq=[];
ub=[6.0;6.0;2.5;1.0];
lb=[0;0;0;0];
[x,fval]=linprog（c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,zeros（4,1））
Optimizationterminated.
Optimizationterminated.
x=
0.0000
3.5000
1.2500
4.5000
fval=
-68.9938
Z=-fval+253.5375=322.5313
5.2.3结果分析
由运行结果可知，规划期内由I类改造为III类的土地面积为3.5万亩，内由II类改造为IV类的土地面积为1.25万亩，由III类改造为IV类的土地面积为4.5万亩。
规划期末Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ类土地数量分别为2.5万亩、1.25万亩、0万亩和6.25万亩。
最佳收益为322.5313百万元。
根据比较两种情况编程求得的结果，我们可知，需要治理河道，农田基本建设规划如下：
规划期内由I类改造为III类的土地面积为3.5万亩，内由II类改造为IV类的土地面积为1.25万亩，由III类改造为IV类的土地面积为4.5万亩。
规划期末Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ类土地数量分别为2.5万亩、1.25万亩、0万亩和6.25万亩。
且最佳收益为322.5313百万元。
6.模型的应用与推广
线性规划是运筹学的重要分支，它是一门实用性很强的应用数学学科。
随着计算机技术的发展和普及，线性规划的应用越来越广泛。
它已成为人们为合理利用有限资源制订最佳决策的有力工具。
在企业的各项管理活动中,例如计划、生产、运输、技术等问题，线性规划是指从各种限制条件的组合中，选择出最为合理的计算方法，建立线性规划模型从而求得最佳结果。
在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中都有着广泛的应用。
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