函数图像综合应用.docx
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函数图像综合应用
一.教学内容：
函数图象、函数的综合应用
二.教学重、难点：
1.掌握利用描点法和图象变换作出函数图象的一般方法；掌握函数图象变化的一般规律；能够利用函数的图象来观察分析函数的性质。
2.掌握函数与其它数学知识，实际问题的综合，掌握数学模型的构造，函数关系式的建立。
【典型例题】
[例1]设
，二次函数
的图象为下列之一，则
的值为（ ）
A.1 B.
C.
D.
解：
∵
∴不是前两个图形，从后两个图形看
∴
，故应是第3个图形 ∵图象过原点 ∴
，结合
∴
[例2]在同一平面直角坐标系中，函数
和
的图象关于直线
对称，现将
的图象沿
轴向左平移2个单位，再沿
轴向上平移1个单位，所得到的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数
的表达式为（ ）
A.
B.
C.
D.
解：
由图象求得解析式
将
图象向右平移2个单位，向下平移1个单位得到
图象
∴
∵
与
的图象关于
对称
∴
与
互为反函数
∴
[例3]关于
的方程
恰有三个不相等的实数根，则实数
的值是 。
解：
原方程化为
。
作函数
及
的图象如图所示。
由图可知当
或
时，两图象恰有三个交点，即原方程有三个实数解。
[例4]某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量
（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为P=24200
，且生产
吨的成本为R=50000+200
元。
问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？
最大利润是多少？
（利润=收入－成本）
解：
设生产
吨产品，利润为
元
，
当每月生产200吨时利润最大，最大利润为3150000元。
[例5]已知
（
），设
，试确定实数
的取值范围，使得对于一切大于1的正整数
，不等式
恒成立。
解：
由
，得
∴
∴
∴
∴
要使对于一切大于1的正整数
使原不等式恒成立，只需不等式
成立即可。
设
，则
于是
，解得
从而
解得
且
∴实数
的取值范围为
且
[例6]某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道该厂生产这种仪器次品率P与日产量
（件）之间大体满足关系：
（其中
为小于96的正常数）
注：
次品率
，如
表示每生产10件产品，约有1件为次品。
其余为合格品。
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损
元，故厂方希望定出合格的日产量。
（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量
（件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
解析：
（1）当
时，P
，所以每天的盈利额
当
时，
，所以每日生产的合格仪器约有
件，次品约有
件，故每天的盈利额
综上，日盈利额T（元）与日产量
（件）的函数关系为
（2）由
（1）知，当
时，每天的盈利额为0
当
时，
令
，则
故
当且仅当
，即
（即
）时等号成立。
所以①当
时，
（当且仅当
时等号成立）
②当
时，由
，得
，易证函数
在
（12，95）上单调递增（证明过程略）
所以
所以
即
（当且仅当
时等号成立）
综上，若
，则当日产量为84件时，可获得最大利润；若
，则当日产量为
时，可获得最大利润。
[例7]已知
平面ABC，
，垂足D在BC的延长线上，且BC=CD=DA=1，设PD=
，
，求
的最大值。
解：
设
，
，则
由
面ABC，
，易知
（三垂线定理）
易求得
，
∴
（
）
由
可先求得
故当
，即
时，
取得最大值
[例8]定义在R上的函数
满足：
如果对任意
，都有
，则称
是R上的凹函数。
已知二次函数
（
，且
）
（1）求证：
当
时，函数
为凹函数；
（2）如果
时，
，试求
的取值范围。
解：
（1）证明：
任取
，则
∵
∴
∴
时，
为凹函数
（2）
（*）
当
时，
当
时，（*）式
当
时，
的最大值为
的最小值为0
∴
但
∴
【模拟试题】
一.选择题：
1.为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有的点（ ）
A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
2.函数
对一切实数
都满足
，
有3个实根，则这3个实根之和为（ ）
A.6 B.9 C.4 D.3
3.函数
的图象是（ ）
4.函数
的图象大致是（ ）
5.在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，由
沿边运动，设点P的运动路程为
，
的面积为
，如果函数
的图象如图
（2）所示，则
的面积为（ ）
A.10 B.16 C.18 D.32
6.由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机的价格降低
，则现在价格为8100元的计算机9年后的价格为（ ）
A.300元 B.900元 C.2400元 D.3600元
7.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：
万元）分别为
和
，其中
为销售量（单位：
辆），若该公司在这两地共销售15辆车，则获得的最大利润为（ ）
A.45.606 B.45.6 C.45.56 D.45.51
8.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么（ ）
A.人可在7米内追上汽车
B.人可在10米内追上汽车
C.人追不上汽车，他们之间距离最近为5米
D.人追不上汽车，他们之间距离最近为7米
二.解答题：
1.已知二次函数
的图象与
轴交于A、B两点且
，它在
轴上截距为
，对任意的实数
都有
成立。
（1）求二次函数解析式；
（2）若二次函数图象与直线
：
只有一个公共点，求
的值。
2.直线
：
和双曲线
的左支交于A、B两点，直线
过点P（
）和AB线段的中点M，求
在
轴上的截距
的取值范围。
3.某汽车厂有一条价值为
万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值
万元与技术改造投入
万元之间满足：
①
与
和
的乘积成正比；②当
时，
，并且技术改造投入比率：
，其中
是常数，且
。
（1）设
，求
的表达式及定义域；
（2）求出产品增加值
的最大值及相应的
的值。
一.
1.A
解析：
由图象平移知识，可知
可由
向右平移3个单位产生，再将
向下平移1个单位即得
的图象。
2.D
解析：
由
，可知
的图象关于直线
对称，因而它的图象与
轴的交点也关于直线
对称，设这三根从小到大依次为
，则
，
，∴三根之和为3。
3.A
解析：
首先作出
的图象，再作
轴下方的图象关于
轴的对称图象，再将
轴下方图象去掉。
4.D
解析：
讨论去掉绝对值：
时，
；
时，
观察图象知选D。
5.B
解析：
由图象知，BC=4，CD=9－4=5，AD=14－9=5
故
故
6.C
解析：
9年后即计算机价格连续三次降价，故9年后的价格为
元
7.B
解析：
设甲地销售
辆，则乙地销售
辆，总利润
对称轴
，当
时，取最大值
8.D
解析：
若经
秒人刚好追上汽车，则
由
，得
此方程无解，即人不可能追上汽车
考虑距离差
故当
时，
有最小值7，即人与汽车最少相距7米，故选D。
二.
1.解析：
（1）∵
又
为二次函数 ∴可设
又当
时，
∴
∴
令
，得
∴
又
∴
，即
（2）由条件知
，即
∴
，即
2.解析：
将
代入
，得
整理，得
设
，由题意得
解之，得
设AB的中点M为（
）
由题意知
即M（
）
易求得直线
的方程为
故
令
，易知
∴
，即截距
的取值范围为
3.解析：
（1）由题意，设
，又
时，
，故
解得
由
，解得
故
，定义域为（0，
（2）
，令
，得
，即
在
上为增函数
①当
，即
，
时，
取得最大值
②当
，即
，
时，
取得最大值
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