高中数学选修23第三章 章末复习提升.docx
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高中数学选修23第三章章末复习提升
一、两个基本思想
1．回归分析的基本思想
回归分析包括线性回归分析和非线性回归分析两种，而非线性回归分析往往可以通过变量代换转化为线性回归分析，因此，回归分析的思想主要是指线性回归分析的思想．
注意理解以下几点：
（1）确定线性相关关系
线性相关关系有两层含义：
一是具有相关关系，如广告费用与销售量的关系等在一定条件下具有相关关系，而气球的体积与半径的关系是函数关系，而不是相关关系；二是具有线性相关关系．
判断是否线性相关的依据是观察样本点的散点图．
（2）引起预报误差的因素
对于线性回归模型y＝x＋＋e，引起预报变量y的误差的因素有两个：
一个是解释变量x，另一个是随机误差e.
（3）回归方程的预报精度
判断回归方程的预报精度是通过计算残差平方和来进行的，残差平方和越小，方程的预报精度越高．
简单来说，线性回归分析就是通过建立回归直线方程对变量进行预报，用回归方程预报时，需对函数值明确理解，它表示当x取值时，真实值在函数值附近或平均值在函数值附近，不能认为就是真实值．
（4）回归模型的拟合效果
判断回归模型的拟合效果的过程也叫残差分析，残差分析的方法有两种，一是通过残差图直观判断，二是通过计算相关指数R2的大小判断．
2．独立性检验的基本思想
独立性检验的基本思想类似于反证法．要确认两个分类变量有关系的可信程度，先假设两个分类变量没有关系，再计算随机变量K2的观测值，最后由K2的观测值很大在一定程度上说明两个分类变量有关系．
进行独立性检验要注意理解以下三个问题：
（1）独立性检验适用于两个分类变量．
（2）两个分类变量是否有关系的直观判断：
一是根据2×2列联表计算|ad－bc|，值越大关系越强；
二是观察等高条形图，两个深色条的高度相差越大关系越强；
（3）独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．独立性检验的结论只能是有多大的把握确认两个分类变量有关系，而不能是两个分类变量一定有关系或没有关系．
二、两个重要参数
1．相关指数R2
相关指数R2是用来刻画回归模型的回归效果的，其值越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好．
2．随机变量K2
随机变量K2是用来判断两个分类变量在多大程度上相关的变量．独立性检验即计算K2的观测值，并与教材中所给表格中的数值进行比较，从而得到两个分类变量在多大程度上相关．
三、两种重要图形
1．散点图
散点图是进行线性回归分析的主要手段，其作用如下：
一是判断两个变量是否具有线性相关关系，如果样本点呈条状分布，则可以断定两个变量有较好的线性相关关系；
二是判断样本中是否存在异常．
2．残差图
残差图可以用来判断模型的拟合效果，其作用如下：
一是判断模型的精度，残差点所分布的带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．
二是确认样本点在采集中是否有人为的错误．
题型一 回归分析的思想及其应用
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．其基本步骤为：
通过散点图和经验选择回归方程的类型，然后通过一定的规则确定出相应的回归方程，通过一定的方法进行检验，最后应用于实际或对预报变量进行预测．
例1 某地搜集到的新房屋的销售价格（单位：
万元）和房屋面积（单位：
m2）的数据如下表：
房屋面积/m2
115
110
80
135
105
销售价格/万元
24.8
21.6
18.4
29.2
22
（1）画出数据对应的散点图；
（2）求回归直线方程；
（3）根据
（2）的结果，估计当房屋面积为150m2时的销售价格．
解
（1）设x轴表示房屋的面积，y轴表示销售价格，数据对应的散点图如图．
（2）由
（1）知y与x具有线性相关关系，可设其回归方程为＝x＋，依据题中的数据，应用科学计算器，可得出
＝i＝109，
（xi－）2＝1570，
＝i＝23,2，
（xi－）（yi－）＝308，
∴＝＝≈0.1962，
＝－≈23.2－0.1962×109＝1.8142.
故所求的回归直线方程为＝0.1962x＋1.8142.
（3）由
（2）知当x＝150时，销售价格的估计值为＝0.1962×150＋1.8142＝31.2442（万元）．
故当房屋面积为150m2时，估计销售价格是31.2442万元．
反思与感悟 解答此类问题，一般先根据散点图判断两个变量是否具有相关关系，然后求出回归方程，根据回归方程解决问题．
跟踪训练1 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：
千元）与月储蓄yi（单位：
千元）的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；
（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：
线性回归方程＝x＋中，＝，＝－，其中，为样本平均值．
解
（1）由题意知n＝10，＝i＝＝8，
＝i＝＝2，
又lxx＝－n2＝720－10×82＝80，
lxy＝iyi－n＝184－10×8×2＝24，
由此得＝＝＝0.3，
＝－＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为＝0.3x－0.4.
（2）由于变量y的值随x值的增加而增加（＝0.3>0），故x与y之间正相关．
（3）将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为
＝0.3×7－0.4＝1.7（千元）．
题型二 独立性检验思想
独立性检验研究的问题是两个分类变量之间是否有关系．为此需先列出2×2列联表，从表格中可以直观地得到两个分类变量是否有关系．另外等高条形图能更直观地反映两个分类变量之间的情况．独立性检验的思想是：
要判断两个分类变量是否有关系，可以先假设二者无关系，求随机变量K2的观测值k，若k大于临界值，则拒绝假设，否则，接受假设．
例2 考察小麦种子灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表：
种子灭菌
种子未灭菌
总计
黑穗病
26
184
210
无黑穗病
50
200
250
总计
76
384
460
试分析种子灭菌与小麦发生黑穗病是否有关．
解 由列联表的数据可求K2的观测值
k＝≈4.804.
而4.804>3.841，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为种子灭菌与小麦发生黑穗病有关系．
反思与感悟 在利用统计量K2进行独立性检验时，观测值的计算要准确，再把计算结果和临界值比较，从而得出判断的可信程度．
跟踪训练2 在研究某种新措施对猪白痢的防治效果问题时，得到以下数据：
存活率
死亡率
合计
对照
114
36
150
新措施
132
18
150
合计
246
54
300
试问新措施对防治猪白痢是否有效？
解 由列联表可求K2的观测值，
k＝≈7.317>6.635，
所以有99%的把握认为“新措施对防治猪白痢有效”．
题型三 数形结合思想
数形结合思想就是在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数信息，利用数量特征，将其转化为代数问题；在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题，从而利用数形的辩证统一和各自的优势尽快得到解决途径，这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助．数形结合的主要途径：
（1）形转化为数，即用代数方法研究几何问题，这是解决几何问题的基本方法；
（2）数转化为形，即根据给出的“数”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，用几何方法解决代数问题；
（3）数形结合，即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷．
在进行回归分析时，常利用散点图、残差图等说明线性相关情况或模型的拟合效果．
在独立性检验中，我们常用等高条形图直观地反映数据的情况，从而可以粗略地判断两个分类变量是否有关系．
例3 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图所示的是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
总计
男
女
10
55
总计
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）．
附：
K2＝
P（K2≥k）
0.05
0.01
k
3.841
6.635
解
（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
总计
男
30
15
45
女
45
10
55
总计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：
K2的观测值k＝
＝＝≈3.030.
因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．
（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意知X～B，从而X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
E（X）＝np＝3×＝，
D（X）＝np（1－p）＝3××＝.
反思与感悟 本题考查频率分布直方图的应用、独立性检验、随机变量的分布列、期望、方差计算．准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键．
跟踪训练3 PM2.5（细颗粒物）是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的质量分数是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表：
时间
周一
周二
周三
周四
周五
车流量x/万辆
50
51
54
57
58
PM2.5的质量分数y/（微克/立方米）
69
70
74
78
79
（1）根据上表数据，请在下列坐标系（如图
（1））中画出散点图；
图
（1）
（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据
（2）中求出的线性回归方程预测此时PM2.5的质量分数（保留整数）．
解
（1）散点图如图
（2）．
图
（2）
（2）计算得＝＝54，
＝＝74，
（xi－）（yi－）＝（－4）×（－5）＋（－3）×（－4）＋3×4＋4×5＝64，
（xi－）2＝（－4）2＋（－3）2＋32＋42＝50，
∴＝＝＝1.28，
＝－b＝74－1.28×54＝4.88.
故y关于x的线性回归方程是＝1.28x＋4.88.
（3）当x＝25时，y＝1.28×25＋4.88≈37，
∴可以预测此时PM2.5的质量分数约为37.
题型四 等价转化思想
等价转化就是将复杂问题简单化，抽象问题直观化，以便于应用数学规律解决问题．它是一种非常重要的数学思想方法．
在解决实际问题的预测和检验时，可以分别转化为回归分析模型和独立性检验问题．
例4 在考察黄烟经过药物处理和发生青花病的关系时，得到如下数据：
在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断药物处理跟发生青花病是否
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