一次函数的应用.docx
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一次函数的应用
一次函数的应用
知识要点
1.一次函数
（1）一次函数的形式
（k，b为常数，k
0），
正比例函数的形式
（k为常数，k
0）正比例函数是特殊的一次函数
（2）、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数
的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数
的图像是经过原点（0，0）的直线。
2.一次函数的性质和正比例函数的性质
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
／k／的决定直线的倾斜程度，／k／越大直线越陡，／k／越小直线越缓
b代表与y轴交点的纵坐标。
当b>0直线交y轴正半轴b<0直线交y轴负半轴
3.一次函数与y轴的交点坐标为（0，b）；一次函数与x轴的交点坐标，另y等于0，求出x的值.即（—
，0）
4.一次函数与坐标轴围成的三角形面积：
×／与x轴的交点横坐标／×／与y轴的交点纵坐标／
5.两个一次函数
k
=k
b
≠b
两直线平行
k
≠k
b
=b
两直线相交于y轴上的点（0，b）
k
×k
=-1.两直线垂直
6.直线y=2x向上平移三个单位得到y=2x+3，向下平移三个单位得到y=2x-3
7.在实际问题的图像常取在第一象限，读图时注意x轴y轴代表的信息，若图中有两条直线应标注各个直线的名称。
8.一次函数与一元一次方程的关系：
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：
当一次函数值为0时，求相应x的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
典型例题
1．某移动公司开设了两种通信业务：
“全球通”要缴月租费50元．另外每分钟通话费0.4元；“神州行”不缴月租费，但每分钟通话费0.6元．若一个月通话x（min），两种收费方式的费用分别为y1和y2元．
（1）求y1、y2与x的函数解析式？
（2）一个月内通话多少分钟，两种收费方式的费用是相同的？
（3）若x=300，选择哪种收费方式更合适？
2．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，如图所示的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为 km；
（2）请解释图中点B的实际意义；
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
3．某市出租汽车收费标准如下：
3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分，每千米收费1.4元．
（1）写出应收车费y（元）与出租汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式．
（2）小明乘坐出租车行驶4千米应付多少元？
（3）若小华付车费19.2元，则出租车行驶了多少千米？
4．李老师每天坚持晨跑．如图反映的是李老师某天6：
20从家出发小跑到赵化北门，在北门休息几分钟后又慢跑回家的函数图象．其中x（分钟）表示所用时间，y（千米）表示李欢离家的距离．
（1）分别求出线段0≤x≤10和15≤x≤40的函数解析式；
（2）李老师在这次晨跑过程中什么时间距离家500米？
5．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如下表：
所挂物体的质量（kg）
0
1
2
3
4
5
6
7
弹簧的长度（cm）
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
15.5
（1）如果物体的质量为xkg，弹簧长度为ycm，根据上表写出y与x的关系式；
（2）当物体的质量为2.5kg时，根据
（1）的关系式，求弹簧的长度；
（3）当弹簧的长度为17cm时，根据
（1）的关系式，求弹簧所挂物体的质量．
6．甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球定价每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：
每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球；乙店：
按定价的九折优惠．某边需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．
（1）设购买乒乓球盒数为x（盒），在甲商店付款为y甲（元），在乙商店付款为y乙（元），分别写出y甲，y乙与x的关系式；
（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算？
7．百舸竞渡，激情飞扬．为纪念爱国诗人屈原，某市举行龙舟赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时，路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）最先达到终点的是 队，比另一对早 分钟到达；
（2）在比赛过程中，乙队在第 分钟和第 分钟时两次加速；
（3）求在什么时间范围内，甲队领先？
（4）相遇前，甲乙两队之间的距离不超过30m的时间范围是 ．
8．甲、乙两个工程队共同修建一条乡镇公路，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队遇到山坡路段，工作效率降低，当乙队完成山坡路段时恰好公路修建完成，此时甲队工作了60天，设甲、乙两队各自修建的公路的长度为y（米），甲队工作时间为x（天），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求甲队的工作效率；
（2）求乙队在山坡路段施工时，y与x之间的函数关系式；
（3）求这条乡镇公路的总长度．
9．如图，在四中八年级学生耐力测试赛中，甲、乙两学生跑的距离S（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD．根据图象的信息，解答以下问题：
（1）甲同学前15秒跑了 米， 同学先到终点．
（2）出发后第几分钟两位同学第一次相遇？
本次测试的全程是多少米？
（3）两位同学第二次相遇是在距终点多远的地方？
10．某校张老师暑假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：
“如果带队张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：
“所有游客全部享受6折优惠．”则：
（1）设学生数为x（人），甲旅行社收费为y甲（元），乙旅行社收费为y乙（元），两家旅行社的收费各是多少？
（2）哪家旅行社收费较为优惠？
经典练习
11．某商场投入资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的进价与售价（单位：
元/箱）如下表所示
类别
进价
售价
甲
24
36
乙
33
48
（1）若某商场为购进甲、乙两种矿泉水共投入资金为13800元．
①该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
②全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
（2）若设购进甲种矿泉水x箱，全部售完后商场共获得利润为y元．
③求出y与x之间的函数关系式；
④若商场进货部门拟定了两种进货方案：
方案a：
甲、乙两种矿泉水各进250箱，方案b：
甲种矿泉水进300箱，乙种矿泉水进200箱，哪一种进货方案获利大？
12．小王计划租一间商铺，下面是某房屋中介提供的两种商铺的出租信息：
设租期为x（月），所需租金为y（元），其中x为大于1的整数．
（1）若小王计划租用的商铺为90m2，请分别写出在商座A，B租商铺所需租金yA（元），yB（元）与租期x（月）之间的函数关系式；
（2）在
（1）的前提下，请你帮助小王分析：
根据租期，租用哪个商座的商铺房租更低．
13．甲乙两台智能机器人从同一地点P出发，沿着笔直的路线行走了450cm到点Q．甲比乙先出发，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．甲匀速走完全程．两机器人行走的路程y（cm）与时间x（s）之间的函数图象如图所示．根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）乙比甲晚出发 秒，乙提速前的速度是每秒 cm，t= ；
（2）当x为何值时，乙追上了甲？
（3）若两台机器人到达终点Q后迅速折返，并保持折返前的速度继续匀速行走返回到点P，乙比甲早到多长时间？
14．一个容积为400升的水箱，安装A、B两个进水管向水箱注水，注水过程中A水管始终打开，两水管进水的速度保持不变，当水箱注满时，两水管自动停止注水，注水过程中水箱中水量y（升）与A管注水时间x（分）之间的函数图象如图所示．
（1）分别求出A、B两注水管的注水速度．
（2）当8≤x≤16时，求y与x之间的函数关系式．
（3）当两水管的注水量相同时，直接写出x的值．
15．为了保证安全，某仓库引进A型、B型两台机器人搬运某种有毒货物到仓库存放，这两台机器人充满电后，各能连续工作5h，按照指令，A型机器人于某日零时开始搬运，过了1h，B型机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA（kg）与A型机器人搬运时间x（h）之间的关系图象，线段EF表示B种机器人的搬运量yB（kg）与A型机器人的时间x（h）之间的关系图象，根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）点P表示的意义为：
当x=3h时
（2）直接写出线段OG所表示的搬运量与时间x（h）之间的关系式
（3）A型机器人每小时搬运有毒货物 kg，B型机器人每小时搬运有毒货物 kg．
（4）到工作结束（各5h），A型、B型两台机器人共搬运多少有毒货物？
16．一辆机动车以40km/h的速度匀速行驶若干小时候，邮箱中剩余的油量Q（L）与行驶时间t（h）之间的关系如下：
行驶时间t（h）
0
1
2
3
…
剩余油量Q（L）
42
36
30
24
…
根据以上信息，解答下列问题：
（1）机动车出发前油箱内存油 L；每小时耗油量为 L；
（2）写出Q与t的函数关系式；
（3）若该机动车从出发到目的地的路程为300km，问邮箱中的油够用吗？
为什么？
17．我市某风景区门票价格如图所示，某旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元．
（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元．
18．如图，分别表示甲步行与乙汽自行车（在同一条路上）行走的路程S甲、S乙与时间t的关系，观察图象并回答下列问题：
（1）乙出发时，乙与甲相距 千米；
（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为 小时；
（3）乙从出发起，经过 小时与甲相遇；
（4）甲行走的平均速度是多少千米/小时？
（5）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？
为什么？
19．某公司到果品基地购买某种优质水果慰问医务工作者，果品基地对购买量在3000kg以上（含3000kg）的顾客采用两种销售方案．甲方案：
每千克9元，由基地送货上门；乙方案：
每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费用为5000元．
（1）分别写出该公司两种购买方案付款金额y（元）与所购买的水果量x（kg）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当购买量在哪一范围时，选择哪种购买方案付款最少？
并说明理由．
20．移动营业厅推出两种移动电话计费方式：
方案一，月租费用15元/月，本地通话费用0.2元/分钟，方案二，月租费用0元/月，本地通话费用0.3元/分钟．
（1）以x表示每个月的通话时间（单位：
分钟），y表示每个月的电话费用（单位：
元），分别表示出两种电话计费方式的函数表达式；
（2）问当每个月的通话时间为300分钟时，采用哪种电话计费方式比较合算？
21．小文，小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一时间后，小亮骑自行车沿相同路线行走，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与小文出发时间t（分）之间的关系如图所示．
（1）求小文和小亮的速度各是多少？
（2）求学校到少年宫的距离．
（3）求图中的a，b的值．
22．甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，乙出发2h后甲再出发，且甲、乙两人离A地的距离y甲、y乙与时间x之间的函数图象如图所示．
（1）乙的速度是 km/h；
（2）当2≤x≤5时，求y甲关于x的函数解析式；
（3）当甲与B地相距120km时，乙与A地相距多少千米？
23．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市C，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，根据图象中的信息解答以下问题：
（1）A，B两地相距 km；
（2）分别求出摩托车和汽车的行驶速度；
（3）若两图象的交点为P，求点P的坐标，并指出点P的实际意义．
参考答案与试题解析
1．某移动公司开设了两种通信业务：
“全球通”要缴月租费50元．另外每分钟通话费0.4元；“神州行”不缴月租费，但每分钟通话费0.6元．若一个月通话x（min），两种收费方式的费用分别为y1和y2元．
（1）求y1、y2与x的函数解析式？
（2）一个月内通话多少分钟，两种收费方式的费用是相同的？
（3）若x=300，选择哪种收费方式更合适？
【解答】解：
（1）根据题意得
y1=50+0.4x；
y2=0.6x；
（2）当y1=y2，则50+0.4x=0.6x，
解得x=250．
∴通话250分钟两种费用相同；
（3）当x=300时，y1=50+0.4x=50+0.4×300=170，
y2=0.6x=0.6×300=180，
∴y1＜y2，
∴选择“全球通”比较合算．
2．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，如图所示的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
（1）甲、乙两地之间的距离为 900 km；
（2）请解释图中点B的实际意义；
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【解答】解：
（1）由图象可得，
甲、乙两地之间的距离为900km，
故答案为：
900；
（2）图中点B的实际意义时当两车出发4小时时相遇；
（3）由题意可得，
慢车的速度为：
900÷12=75km/h，
快车的速度为：
（900﹣75×4）÷4=150km/h，
即慢车的速度是75km/h，快车的速度是150km/h；
（4）由题可得，
点C是快车刚到达乙地，
∴点C的横坐标是：
900÷150=6，纵坐标是：
900﹣75×6=450，
即点C的坐标为（6，450），
设线段BC对应的函数解析式为y=kx+b，
∵点B（4，0），点C（6，450），
∴
，得
，
即线段BC所表示的y与x之间的函数关系式是y=225x﹣900（4≤x≤6）．
3．某市出租汽车收费标准如下：
3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分，每千米收费1.4元．
（1）写出应收车费y（元）与出租汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式．
（2）小明乘坐出租车行驶4千米应付多少元？
（3）若小华付车费19.2元，则出租车行驶了多少千米？
【解答】解：
（1）y=
，y=
（2）x=4时y=1.4×4+3.8=9.4（元）
小明乘坐出租车行驶4千米应付9.4元
（3）y=19.2时1.4x+3.8=19.2，所x=11
若小华付车费19.2元，则出租车行驶了11千米
4．李老师每天坚持晨跑．如图反映的是李老师某天6：
20从家出发小跑到赵化北门，在北门休息几分钟后又慢跑回家的函数图象．其中x（分钟）表示所用时间，y（千米）表示李欢离家的距离．
（1）分别求出线段0≤x≤10和15≤x≤40的函数解析式；
（2）李老师在这次晨跑过程中什么时间距离家500米？
【解答】解：
（1）设OA的解析式为y1=kx，
则10k=2，
解得k=
，
所以，y=
x，
设直线BC解析式为y2=k1x+b，
∵函数图象经过点（15，2），（40，0），
∴
，
解得
．
所以，直线BC解析式为y=﹣
x+
；
∴线段0≤x≤10的函数解析式为y1=
x（0≤x≤10），
线段15≤x≤40的函数解析式为y2=﹣
x+
（15≤x≤40）；
（2）当y1=0.5km时，0.5=
x，x=2.5
当y2=0.5km时，0.5=﹣
x+
，x=
=33.75，
∴李老师在这次晨跑过程中分别于6点22.5分和6点53.75分距离家500米．
5．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如下表：
所挂物体的质量（kg）
0
1
2
3
4
5
6
7
弹簧的长度（cm）
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
15.5
（1）如果物体的质量为xkg，弹簧长度为ycm，根据上表写出y与x的关系式；
（2）当物体的质量为2.5kg时，根据
（1）的关系式，求弹簧的长度；
（3）当弹簧的长度为17cm时，根据
（1）的关系式，求弹簧所挂物体的质量．
【解答】解：
（1）由表可知：
常量为0.5，12，
所以，弹簧总长y（cm）与所挂重物x（㎏）之间的函数关系式为y=0.5x+12，
（2）当x=2.5时，y=0.5×2.5+12=12.75cm，
∴弹簧的长度是12.75cm；
（3）当y=17时，即0.5x+12=17，
∴x=10，
∴弹簧所挂物体的质量是10kg．
6．甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球定价每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：
每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球；乙店：
按定价的九折优惠．某边需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．
（1）设购买乒乓球盒数为x（盒），在甲商店付款为y甲（元），在乙商店付款为y乙（元），分别写出y甲，y乙与x的关系式；
（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算？
【解答】解：
（1）y甲=20×4+5（x﹣4）=60+5x（x≥4）；
y乙=20×0.9×4+5×0.9x=4.5x+72（x≥4）；
（2）y甲=y乙时，60+5x=4.5x+72，解得x=24，即当x=24时，到两店一样合算；
y甲＞y乙时，60+5x＞4.5x+72，解得x＞24，即当x＞24时，到乙店合算；
y甲＜y乙时，60+5x＜4.5x+72，x≥4，解得4≤x＜24，即当4≤x＜24时，到甲店合算．
7．百舸竞渡，激情飞扬．为纪念爱国诗人屈原，某市举行龙舟赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时，路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）最先达到终点的是 乙 队，比另一对早 0.6 分钟到达；
（2）在比赛过程中，乙队在第 1 分钟和第 3 分钟时两次加速；
（3）求在什么时间范围内，甲队领先？
（4）相遇前，甲乙两队之间的距离不超过30m的时间范围是 0＜x≤0.5或3≤x≤
．
【解答】解：
（1）由图象可得，
最先达到终点的是乙队，比甲队早到：
（5﹣4.4）=0.6分钟，
故答案为：
乙，0.6；
（2）由图象可得，
在比赛过程中，乙队在第1分钟和第3分钟时两次加速，
故答案为：
1，3；
（3）设甲队对应的函数解析式为y=kx，
5k=800，得k=160，
即甲队对应的函数解析式为y=160x，
当3≤x≤4.4时，乙队对应的函数解析式为y=ax+b，
，得
，
即当3≤x≤4.4时，乙队对应的函数解析式为y=250x﹣300，
令250x﹣300＜160x，得x＜
，
即当0＜x＜
时，甲队领先；
（4）当0＜x＜1时，设乙对应的函数解析式为y=mx，
m=100，
即当0＜x＜1时，乙对应的函数解析式为y=100x，
160x﹣100x≤30，
解得，x≤0.5，
即当0＜x≤0.5时，甲乙两队之间的距离不超过30m，
当1＜x＜3时，设乙队对应的函数解析式为y=cx+d，
，得
，
当1＜x＜3时，乙队对应的函数解析式为y=175x﹣75，
160x﹣（175x﹣75）≤30，得x≥3（舍去），
乙在BC段对应的函数解析式为y=250x﹣300，
则160x﹣（250x﹣300）≤30，得x≥3，
令160x=250x﹣300，得x=
，
由上可得，当0＜x≤0.5或3≤x≤
时，甲乙两队之间的距离不超过30m，
故答案为：
0＜x≤0.5或3≤x≤
．
8．甲、乙两个工程队共同修建一条乡镇公路，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队遇到山坡路段，工作效率降低，当乙队完成山坡路段时恰好公路修建完成，此时甲队工作了60天，设甲、乙两队各自修建的公路的长度为y（米），甲队工作时间为x（天），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求甲队的工作效率；
（2）求乙队在山坡路段施工时，y与x之间的函数关系式；
（3）求这条乡镇公路的总长度．
【解答】解：
（1）甲队工作效率为150÷50=3（米/天）．
答：
甲队的工作效率为3米/天．
（2）设乙队在山坡路段施工时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将A（25，100）、B（50，150）代入y=kx+b中，
，解得：
，
∴乙队在山坡路段施工时，y与x之间的函数关系式为：
y=2x+50（25≤x≤60）．
（3）甲队完成的长度为3×60=180（米），
∵当x=60时，y=2x+50=170，
∴甲队完成的长度为170米，
∴公路的总长度为180+170=350（米）．
答：
这条乡镇公路的总长度为350米．
9．如图，在四中八年级学生耐力测试赛中，甲、乙两学生跑的距离S（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD．根据图象的信息，解答以下问题：
（1）甲同学前15秒跑了 100 米， 甲 同学先到终点．
（2）出发后第几分钟两位同学第一次相遇？
本次测试的全程是多少米？
（3）两位同学第二次相遇是在距终点多远的地方？
【解答】解：
（1）由图象可知，甲同学前15秒跑了100米，甲先到终点．
故答案为100，甲．
（2）设线段AB解析式为y=kx+b，把（15，100），（35，200）代入得
，
解得
，
∴线段AB解析式为y=5x+25，
当y=150时，150=5x+25，x=25．
∴出发后第25分钟两位同学第一次相遇，
设线段OD解析式为y=k′x，把（25，150）代入得k′=6，
∴线段OD解析式为y=6x，
当x=100时，y=600，
∴本次测试的全程是600米．
（3）设线段BC解析式为y=mx+n，把（35，200），（97.5，600）代入得
解得
，
∴线段BC解析式为y=6.4x﹣24．
由
解得
，
600﹣360=240，
∴两位同学第二次相遇是在距终点240米的地方．
10．某校张老师暑假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：
“如果带队张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：
“所有游客全部享受6折优惠．”则：
（1）设学生
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