动力学和能量观点的综合应用之传送带模型问题.docx

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动力学和能量观点的综合应用之传送带模型问题

动力学和能量观点的综合应用之传送带模型问题

1.分析流程

2.相对位移

一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量Q＝Ff·x相对，其中x相对是物体间相对路径长度．如果两物体同向运动，x相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，x相对为两物体对地位移大小之和．

3.功能关系

（1）功能关系分析：

WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q.

（2）对WF和Q的理解：

①传送带的功：

WF＝Fx传；

②产生的内能Q＝Ff·x相对．

模型1　水平传送带模型

【题型1】如图所示，传送带始终保持v＝3m/s的速度顺时针运动，一个质量为m＝1.0kg，初速度为零的小物体放在传送带的左端，若物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.15，传送带左右两端距离为x＝4.5m（g＝10m/s2）．

（1）求物体从左端到右端的时间；

（2）求物体从左端到右端的过程中产生的内能；

（3）设带轮由电动机带动，求为了使物体从传送带左端运动到右端而多消耗的电能．

【题型2】倾角为30°的光滑斜面的下端有一水平传送带，传送带正以6m/s的速度运动，运动方向如图所示．一个质量为2kg的物体（可视为质点），从h＝3.2m高处由静止沿斜面下滑，物体经过A点时，不管是从斜面到传送带还是从传送带到斜面，都不计其动能损失．物体与传送带间的动摩擦因数为0.5，物体向左最多能滑到传送带左右两端A、B连线的中点处，重力加速度g取10m/s2，求：

（1）传送带左、右两端A、B间的距离L；

（2）上述过程中物体与传送带组成的系统因摩擦产生的热量；

（3）物体随传送带向右运动，最后沿斜面上滑的最大高度h′.

模型2　倾斜传送带模型

【题型3】如图所示，传送带与地面的夹角θ＝37°，A、B两端间距L＝16m，传送带以速度v＝10m/s，沿顺时针方向运动，物体质量m＝1kg，无初速度地放置于A端，它与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，试求：

（1）物体由A端运动到B端的时间．

（2）系统因摩擦产生的热量．

【题型4】如图所示，比较长的传送带与水平方向的夹角θ＝37°，在电动机带动下以v0＝4m/s的恒定速率顺时针方向运行．在传送带底端P处有一离传送带很近的固定挡板，可将传送带上的物体挡住．在距P距离为L＝9m的Q处无初速度地放一质量m＝1kg的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，物体与挡板的碰撞能量损失及碰撞时间不计，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，求物体从静止释放到第一次返回上升至最高点的过程中：

（1）相对传送带发生的位移；

（2）系统因摩擦产生的热量；

（3）传送带多消耗的电能；

（4）物体的最终状态及该状态后电动机的输出功率．

针对训练

1.如图所示，皮带的速度是3m/s，两轮圆心间距离s＝4.5m，现将m＝1kg的小物体（可视为质点）轻放在左轮正上方的皮带上，物体与皮带间的动摩擦因数μ＝0.15，皮带不打滑，电动机带动皮带将物体从左轮正上方运送到右轮正上方时，（取g＝10m/s2）求：

（1）小物体获得的动能Ek；

（2）这一过程中摩擦产生的热量Q；

（3）这一过程中电动机多消耗的电能E.

2.如图所示，传送带与地面的夹角θ＝37°，A、B两端间距L＝16m，传送带以速度v＝10m/s沿顺时针方向运动，物体质量m＝1kg无初速度地放置于A端，它与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，sin37°＝0.6，g＝10m/s2，试求：

（1）物体由A端运动到B端的时间；

（2）系统因摩擦产生的热量．

3.如图甲所示，一倾角为37°的传送带以恒定速度运行．现将一质量m＝1kg的小物体抛上传送带，物体相对地面的速度随时间变化的关系如图乙所示，取沿传送带向上为正方向，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：

（1）0～8s内物体位移的大小；

（2）物体与传送带间的动摩擦因数；

（3）0～8s内物体机械能增量及因与传送带摩擦产生的热量Q.

4.如图所示，一质量为m＝1kg的可视为质点的滑块，放在光滑的水平平台上，平台的左端与水平传送带相接，传送带以v＝2m/s的速度沿顺时针方向匀速转动（传送带不打滑）．现将滑块缓慢向右压缩轻弹簧，轻弹簧的原长小于平台的长度，滑块静止时弹簧的弹性势能为Ep＝4.5J，若突然释放滑块，滑块向左滑上传送带．已知滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.2，传送带足够长，取g＝10m/s2.求：

（1）滑块第一次滑上传送带到离开传送带所经历的时间；

（2）滑块第一次滑上传送带到离开传送带由于摩擦产生的热量．

5.一质量为M＝2.0kg的小物块随足够长的水平传送带一起运动，被一水平向左飞来的子弹击中并从物块中穿过，子弹和小物块的作用时间极短，如图甲所示．地面观察者记录了小物块被击中后的速度随时间变化的关系如图乙所示（图中取向右运动的方向为正方向）．已知传送带的速度保持不变，g取10m/s2.

（1）指出传送带速度v的大小及方向，说明理由．

（2）计算物块与传送带间的动摩擦因数μ.

（3）传送带对外做了多少功？

子弹射穿物块后系统有多少能量转化为内能？

动力学和能量观点的综合应用之传送带模型问题参考答案

【题型1】【答案】

（1）2.5s　

（2）4.5J　（3）9J

【解析】

（1）滑动摩擦力产生的加速度为a＝μg＝0.15×10m/s2＝1.5m/s2

所以速度达到3m/s的时间为t1＝

＝

s＝2s

2s内物体发生的位移为x1＝

at

＝3m<4.5m

所以物体先加速后匀速到达另一端．t2＝

＝0.5s，总时间为t＝t1＋t2＝2.5s.

（2）物体与传送带之间的相对位移为Δx＝vt1－x1＝3m，所以产生的热量为

Q＝μmgΔx＝0.15×1×10×3J＝4.5J.

（3）解法1：

物体在传送带上滑行时皮带受到向右的摩擦力和电动机的牵引力做匀速直线运动．故摩擦力对传送带做功与电动机做的功（电动机多消耗的电能）大小相等．

故ΔE电＝μmgx2＝μmgvt＝9J，

解法2：

电动机多消耗的电能等于物体的动能的增加量与产生的内能之和，故有

ΔE电＝Q＋

mv2＝9J.

【题型2】【答案】

（1）12.8m　

（2）160J　（3）1.8m

【解析】

（1）物体从静止开始到在传送带上的速度等于0的过程中，由动能定理得：

mgh－

＝0－0，解得L＝12.8m.

（2）在此过程中，物体与传送带间的相对位移

x相＝

＋v带·t，又

＝

μgt2，而摩擦产生的热量Q＝μmg·x相，

联立得Q＝160J.

（3）物体随传送带向右匀加速运动，设当速度为v带＝6m/s时，向右运动的位移为x，则μmgx＝

mv带2，得x＝3.6m＜

，即物体在到达A点前速度与传送带速度相等，最后以v带＝6m/s的速度冲上斜面，由动能定理得

mv带2＝mgh′，解得h′＝1.8m.

【题型3】【答案】

（1）2s　

（2）24J

【解析】

（1）物体刚放上传送带时受到沿斜面向下的滑动摩擦力和重力，由牛顿第二定律得：

mgsinθ＋μmgcosθ＝ma1

设物体经时间t1，加速到与传送带同速，则v＝a1t1，x1＝

a1t12解得：

a1＝10m/s2

t1＝1s

x1＝5m

因mgsinθ>μmgcosθ，故当物体与传送带同速后，物体将继续加速

由mgsinθ－μmgcosθ＝ma2

L－x1＝vt2＋

a2t22

解得：

t2＝1s

故物体由A端运动到B端的时间t＝t1＋t2＝2s.

（2）物体与传送带间的相对位移

x相＝（vt1－x1）＋（L－x1－vt2）＝6m

故Q＝μmgcosθ·x相＝24J.

【题型4】【答案】

（1）24.8m　

（2）100.8J　（3）76.8J（4）最终状态见解析　16W

【解析】　

图1图2

（1）解法1：

力和运动法．物体由静止释放，沿传送带向下加速运动，相对传送带亦向下滑，受力如图1所示，有mgsinθ－μmgcosθ＝ma1，得a1＝2m/s2

与P碰前速度v1＝

＝6m/s

设物体从Q到P的时间为t1，则t1＝

＝3s

设物体对地位移为x1，可知x1＝L＝9m，相对传送带向下的位移Δx1＝x1＋v0t1＝21m

物体与挡板碰撞后，以速度v1反弹，向上做减速运动，因v1>v0，物体相对传送带向上滑，设速度减小到与传送带速度相等的时间为t2，此过程受力如图2所示，有

mgsinθ＋μmgcosθ＝ma2得a2＝10m/s2，t2＝

＝0.2s

在t2时间内物体对地向上的位移x2＝

t2＝1m

相对传送带向上的位移Δx2＝x2－v0t2＝0.2m

物体速度与传送带速度相等后，由于mgsinθ>μmgcosθ物体不能匀速，将相对传送带向下滑，对地向上做加速度大小为a3＝a1＝2m/s2的减速运动，设速度减小到零的时间为t3，t3＝

＝2s

此过程中物体对地向上的位移x3＝

t3＝4m

相对传送带向下的位移Δx3＝v0t3－x3＝4m

整个过程中两者相对滑动位移为Δx＝Δx1－Δx2＋Δx3＝24.8m.

解法2：

相对运动法．以传送带为参考系，在求出相对初速度和相对加速度后，三个阶段物体相对传送带的位移分别为

Δx1＝v0t1＋

a1t

＝21m

Δx2＝（v1－v0）t2－

a2t

＝0.2m

Δx3＝

a3t

＝4m

第二阶段物体相对传送带向上运动，两者相对滑动总位移为Δx＝Δx1－Δx2＋Δx3＝24.8m.

解法3：

图象法．设沿传送带向上为正方向，画出如图3所示物体和传送带运动的v－t图象，直接用物体和传送带v－t图线所夹的面积表示相对发生的位移：

图3

Δx1＝

＝21m，Δx2＝

＝0.2m

Δx3＝

v0t3＝4m

两者相对滑动的总位移为Δx＝Δx1－Δx2＋Δx3＝24.8m.

（2）系统因摩擦产生的热量，是由于一对滑动摩擦力作用点移动的不同导致做功不等而造成的，产生的热量不是与传送带和物体间的相对移动的位移而是与相对移动的距离有关（如图4所示阴影部分面积）：

Q＝Q1＋Q2＋Q3＝Ff·Δl＝μmgcosθ（Δx1＋Δx2＋Δx3）＝100.8J.

图4图5

（3）传送带消耗的电能是因为传送带要克服摩擦力做功，这与传送带对地运动位移有关（如图所示阴影部分面积），在物体向下加速和相对传送带向下运动的减速阶段，摩擦力对传送带做负功消耗电能，在物体相对传送带向上运动的减速阶段，摩擦力对传送带做正功，减少电能损耗．

ΔE电＝－Ff（x传送带1－x传送带2＋x传送带3）＝－μmgcosθ（v0t1－v0t2＋v0t3）＝－76.8J

即传送带多消耗的电能为76.8J.

（4）物体返回上升到最高点时速度为零，以后将重复上述过程，且每次碰后反弹速度、上升高度依次减小，最终达到一个稳态：

稳态的反弹速度大小应等于传送带速度4m/s，此后受到的摩擦力总是斜向上，加速度为gsinθ－μgcosθ＝2m/s2，方向斜向下，物体相对地面做往返“类竖直上抛”运动，对地上升的最大位移为xm＝

＝4m，往返时间为T＝

＝4s

传送带受到的摩擦力大小始终为Ff＝μmgcosθ，稳态后方始终斜向下，故电动机的输出功率稳定为P＝Ffv0＝μmgcosθ×v0＝16W.

针对训练

1.【答案】

（1）4.5J　

（2）4.5J　（3）9J

【解析】

（1）物体开始做匀加速运动，加速度a＝μg＝1.5m/s2，

当物体与皮带速度相同时，有μmgx＝

mv2.

解得物体加速阶段运动的位移x＝3m＜4.5m，

则小物体获得的动能Ek＝

mv2＝

×1×32J＝4.5J.

（2）v＝at，解得t＝2s

Q＝μmg·x相对＝μmg（vt－x）＝0.15×1×10×（6－3）J＝4.5J.

（3）E＝Ek＋Q＝4.5J＋4.5J＝9J.

2.【答案】

（1）2s　

（2）24J

【解析】

（1）物体刚放上传送带时受到沿斜面向下的滑动摩擦力，由牛顿第二定律得mgsinθ＋μmgcosθ＝ma1，设物体经时间t加速到与传送带同速，则v＝a1t1，x1＝

a1t12，可解得a1＝10m/s2，t1＝1s，x1＝5m

因mgsinθ＞μmgcosθ，故当物体与传送带同速后，物体将继续加速

mgsinθ－μmgcosθ＝ma2

L－x1＝vt2＋

a2t22

解得t2＝1s

故物体由A端运动到B端的时间

t＝t1＋t2＝2s

（2）物体与传送带间的相对位移

x相对＝（vt1－x1）＋（L－x1－vt2）＝6m

故Q＝μmgcosθ·x相对＝24J.

3.【答案】

（1）14m　

（2）0.875　（3）90J　126J

【解析】

（1）从图乙中求出物体位移x＝－2×2×

m＋4×4×

m＋2×4m＝14m

（2）由图象知，物体相对传送带滑动时的加速度a＝1m/s2

对此过程中物体受力分析得μmgcosθ－mgsinθ＝ma得μ＝0.875

（3）物体被送上的高度h＝xsinθ＝8.4m

重力势能增量ΔEp＝mgh＝84J

动能增量ΔEk＝

mv

－

mv

＝6J

机械能增加ΔE＝ΔEp＋ΔEk＝90J

0～8s内只有前6s发生相对滑动．

0～6s内传送带运动距离x1＝4×6m＝24m

0～6s内物体位移x2＝6m

产生的热量Q＝μmgcosθ·Δx＝μmgcosθ（x1－x2）＝126J

4.【答案】

（1）3.125s　

（2）12.5J

【解析】

（1）释放滑块的过程中机械能守恒，设滑块滑上传送带的速度为v1，则Ep＝

mv12，得v1＝3m/s

滑块在传送带上运动的加速度a＝μg＝2m/s2

滑块向左运动的时间t1＝

＝1.5s

向右匀加速运动的时间t2＝

＝1s

向左的最大位移为x1＝

＝2.25m

向右加速运动的位移为x2＝

＝1m

匀速向右运动的时间为t3＝

＝0.625s

所以t＝t1＋t2＋t3＝3.125s.

（2）滑块向左运动x1的位移时，传送带向右的位移为x1′＝vt1＝3m

则Δx1＝x1′＋x1＝5.25m

滑块向右运动x2时，传送带向右的位移为x2′＝vt2＝2m

则Δx2＝x2′－x2＝1m

Δx＝Δx1＋Δx2＝6.25m

则产生的热量为Q＝μmg·Δx＝12.5J.

5.【答案】

（1）2.0m/s　方向向右　

（2）0.2　（3）24J　36J

【解析】

（1）从v－t图象中可以看出，物块被击穿后，先向左做减速运动，速度为零后，又向右做加速运动，当速度等于2.0m/s，则随传送带一起做匀速运动，所以，传送带的速度大小为v＝2.0m/s，方向向右．

（2）由v－t图象可得，物块在滑动摩擦力的作用下做匀变速运动的加速度

a＝

＝

m/s2＝2.0m/s2，

由牛顿第二定律得滑动摩擦力Ff＝μMg，则物块与传送带间的动摩擦因数μ＝

＝

＝

＝0.2.

（3）由v－t图象可知，传送带与物块间存在摩擦力的时间只有3s，传送带在这段时间内移动的位移为x，则x＝vt＝2.0×3m＝6.0m，

所以，传送带所做的功W＝Ffx＝0.2×2.0×10×6.0J＝24J.

设物块被击中后的初速度为v1，向左运动的时间为t1，向右运动直至和传送带达到共同速度的时间为t2，则有

物块向左运动时产生的内能Q1＝μMg（vt1＋

t1）＝32J

物块向右运动时产生的内能Q2＝μMg（vt2－

t2）＝4J.

所以整个过程产生的内能Q＝Q1＋Q2＝36J.