第三章 中心对称图形一.docx

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第三章中心对称图形一

第三章中心对称图形

（一）

3.1图形的旋转

【课标要求】

⒈通过具体的实例认识旋转，探索它的性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。

⒉能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。

⒊欣赏旋转在现实生活中的应用。

【教学目标】

⒈知识与技能目标

通过具体实例认识旋转，知道旋转的性质。

⒉过程与方法目标

经历对具有旋转特征的图形的观察、操作、画图等过程，掌握作图的技能。

⒊情感与态度目标

经历对生活中旋转现象观察、分析过程，引导学生用

数学的眼光看待生活中的有题。

【教学重点】

⒈旋转图形的性质

⒉旋转图形的画法

【教学难点】

旋转图形的画法

【教学思路】

从学生熟悉的生活中的旋转现象入手，帮助学生通过具体的旋转实例认识旋转，理解旋转的基本涵义，再通过观察，从而得出旋转图形的性质，最后通过画旋转图形，让学生掌握作图技能，进一步加深对旋转图形性质的认识。

【教学过程】

一、创设情境

日常生活中，经常看到以下情境：

游乐场里的摩天轮绕着一个固定的点旋转；钟摆绕着一个固定的点摆动。

。

。

。

。

。

（有条件的学校可以用实物投影仪投放生活中的旋转实例）

提出问题：

⑴上述情境中的旋转现象有什么共同的特征？

⑵生活还有类似的例子吗？

【设计说明：

从学生熟悉的生活中的旋转现象入手，帮助学生通过具体实例认识旋转，理解旋转的基本涵义。

同时引导学生用数学的眼光看待生活中的有关问题，发展学生的数学观。

】

二、探索活动一

⒈将一块三角尺ABC绕点C按逆时针方向旋转到DCB的位置

问题:

度量∠ACD与∠BCE的度数，线段AC与DC、BC与EC的长度。

你发现了什么？

⒉将绕点按顺时针方向旋转到的位置。

问题：

度量∠AOA`、∠BOB`、∠COC`的度数，线段AO与A`O、BO与B`O、CO与C`O的长度。

你发现了什么？

【设计说明：

教学中，要引导学生根据课本的要求，实际度量相关角的度数、相关线段的长度。

通过对具体实例的观察和实际操作活动，帮助学生认识旋转，理解旋转的涵义，在此基础上，引入旋转的概念。

】

三、新课讲授

⒈在学生看了与做了的基础上，得出概念。

旋转，旋转中心，旋转角

【注意】对旋转概念的教学，要帮助学生理解如下两点：

⑴“将一个图形绕着一个定点旋转一定的角度”意味着图形上的每一点同时都按相同

的方式旋转相同的角度；

⑵与平移的情况相同，“图形的旋转不改变图形的形状、大小”，这是对旋转概念的一个补充。

⒉通过操作活动，让学生讨论：

三角形在旋转过程中哪些发生了改变？

哪些没有发生改变？

通过学生的讨论得出旋转的性质：

旋转前、后的图形全等。

对应点到旋转中心的距离相等。

每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。

【设计说明：

该讨论是对前面的操作活动：

“度量相关角、相关线段的长度，你发现了么？

”的一个提升。

对于“讨论”，应引导学生从旋转的概念出发，理解在图3-1、图3-2的旋转过程中，旋转中心是什么？

旋转角是什么？

图中的没一对对应点分别是什么？

】

⒊练一练

⑴P94练习1

⑵P94习题3.1第1题

【设计说明：

学习概念后，把概念直接运用到题目中，这是一个从一般到特殊的过程，也是数学学习的一大特点。

本题是概念的直接运用】

四、探索活动二

旋转作图

⒈已知线段AB和点O，按下面的方法画出线段AB绕点O按逆时针放向旋转100

后的图形：

【设计说明：

书P93给出了作图方法、步骤，要求学生阅读、理解给出的作图语句，画相应的图形。

】

⒉在图3-4中,画出△ABC按顺时针方向绕点O旋转120后对应的三角形。

【设计说明：

该操作活动实际上是第一个作图活动的迁移，在讲解时要引导学生对问题进行分析，加深对问题的理解，但不要求学生写出分析的过程，同时，在学生作业时，只要求学生能根据要求画出图形，不要求学生写出作图方法、步骤。

】

⒊练一练：

4练习2

【设计说明：

学会画法后，适当的模仿是必要的，加深了理解，使之掌握画法技能。

】

五、课堂小结

1、从生活中的旋转现象入手，通过具体的实例认识旋转，探索旋转的性质；

2、通过对具有旋转特征的图形的观察、操作、画图等过程，掌握作图技能。

【设计说明：

通过课堂小结，使学生明确本节课的教学内容，强化了记忆，并且使本节内容系统化。

】

六、作业布置P94习题3.1第2、3题

【设计说明：

让学生课后理解、消化、吸收。

】

3、从生活中的旋转现象入手，通过具体的实例认识旋转，探索旋转的性质；

4、通过对具有旋转特征的图形的观察、操作、画图等过程，掌握作图技能。

【设计说明：

通过课堂小结，使学生明确本节课的教学内容，强化了记忆，并且使本节内容系统化。

】

七预习

1中心对称有哪些性质？

2怎样画成中心对称的图形？

3.2中心对称与中心对称图形

（1）

【教学目标】

1.知识与技能目标

理解中心对称的涵义中心对称的性质.

2过程与方法目标

理解并掌握成中心对称的图形的画法

3.情感与态度目标

经历观察.操作.分析等数学活动过程,通过具体实例认识中心对称,知道中心对称的性质.

【教学难点】

⒈中心对称的性质.

⒉成中心对称的图形的画法

【设计思路】

通过具体的中心对称实例,让学生经历观察.操作.分析等数学活动,从而让学生认识中心对称,知道中心对称的性质,最后通过画图操作,进一步加深对性质的理解,同时掌握利用中心对称的基本性质作图的技能.

【教学过程】

一、情境引入

利用课本提供的两个实物图，引导学生观察、探索：

他们的形状、大小是否相同？

如果将其中一个图形绕着某一点旋转180

，能与另一个重合吗？

【设计说明：

通过现实情境激发学生的好奇心和主动学习的欲望。

】

二、新课讲授

⒈引出概念：

如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点

说一说：

观察你生活的周围各处，指出几个中心对称的现象，并加以数学描述。

【设计说明：

通过对生活中的中心对称现象的描述，加深了对中心对称的理解，锻练了用数学语言进行表达的能力】

⒉探索活动

活动一

用一张透明纸覆盖在图3-5上，描出四边形ABCD。

用大头针钉在点O处，将四边形ABCD绕点O旋转180度

问题一：

四边形ABCD与四边形

关于点O成中心对称吗？

问题二：

在图3-5中，分别连接关于点O的对称点A和

、B和

、C和

、D和

。

你发现了什么？

成中心对称的2个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

【设计说明：

让学生在操作与观察的基础上，发现中心对称的两个图形具有（一般地）旋转的一切性质，且具有特殊的性质——对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分】

活动二

中心对称与轴对称进行类比

轴对称

中心对称

有一条对称轴——直线

有一个对称中心——点

图形沿对称轴对折（翻转180度）后重合

图形绕对称中心旋转180度后重合

对称点的连线被对称轴垂直平分

对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分

【设计说明：

中心对称与轴对称都是指两个图形按某种规则运动能互相重合的特殊位置关系，教学中，将他们进行类比，进一步加深对中心对称的理解】

练一练课本98页练习1

【设计说明：

学习概念后，把概念直接运用到题目中，这是一个从一般到特殊的过程，也是数学学习的一大特点。

本题是中心对称性质的直接运用。

】

活动三

利用中心对称基本性质作图

操作1作点关于点的对称点

【设计说明：

学生通过自己阅读，获取作图方法，陪养了学生自学能力】

操作2作线段关于点成中心对称的图形

操作3作三角形关于点成中心对称的图形

【设计说明：

这2个操作活动，是在第1个操作活动基础上的逐步加深。

培养学生对问题的分析能力，和对知识的迁移能力。

】

活动四课本98页练习2

【设计说明：

在学生看过与简单做过的基础上，加深对作图技能的掌握】

试试看把课本98页练习2稍改一下：

其他条件不变，把点D放到ΔABC内部

【设计说明：

拓展与提高，使学有余力的学生得到更高的发展】

三、课堂小结

⒈经历观察、操作等数学活动,通过具体实例认识中心对称,探索中心对称的性质；

⒉经历利用中心对称基本性质作图的过程，掌握作图的技能。

【设计说明：

小结新知，加深记忆。

最好让学生自己总结所学内容。

】

四、作业布置

习题3.2第3题

五预习

1.中心对称图形与轴对称图形的区别是什么？

3.2中心对称与中心对称图形

（2）

【教学目标】

1.知识与技能目标

比照轴对称与轴对称图形的关系，认识中心对称图形，知道中心对称图形的性质

2.过程与方法目标

理解中心对称图形与轴对称图形之间的区别,通过对中心对称图形的说理,进一步加深对中心对称图形的理解。

3.情感与态度目标

通过具体的中心对称图形实例,让学生经历观察、比较、分析等数学活动，引导学生用数学的眼光看待问题。

【教学重点】

中心对称图形的定义及其性质

【教学难点】

⒈中心对称图形与轴对称图形的区别；

⒉利用中心对称图形的有关概念和基本性质解决问题。

【课前准备】

手工制作一个“风车”

【教学过程】

一、情境引入

1、欣赏图片：

问题：

这些图形有什么共同的特征？

演示“风车”（课前制作）旋转过程，复习旋转

【设计说明：

漂亮的图片、转动的风车，一静一动激发学生的兴趣与好奇心，促动学生主动学习的欲望。

】

2、共同回顾轴对称图形，某图形沿某条轴对折能重合，那么有没有什么图形绕着某点旋转也能重合呢？

今天我们就来研究这个问题。

【设计说明：

让学生初步感受新旧之间应该有所联系，从而巧妙的引入课题。

】

3、能将“风车”（或上面给的四幅图形）绕其上的一点旋转180O，使旋转前后的图形完全重合吗？

【设计说明：

引导学生观察、探索，得出中心对称图形的概念，引入新课。

】

二、新课讲授

⒈引出概念：

中心对称图形：

平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

这个点就是它的对称中心。

练一练下面哪个图形是中心对称图形？

【设计说明：

即时巩固是必要的。

】

2究中心对称图形的的性质：

在轴对称中，如等腰梯形ABCD中,OP为对称轴，

则点A与点D是一对对应点，那么A、D两点

连线与对称轴的关系为：

被对称轴垂直且平分

提出问题：

左图是一幅中心对称图形，请你找出点A绕点O旋转180O后的对应点B,点C的对应点D呢？

你是怎么找的？

现在你能很快地找到点E的对应点F吗？

从上面的操作过程，你能发现中心对称图形上的一对对应点与对称中心的关系吗？

即：

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

⒊对比轴对称图形与中心对称图形

轴对称图形

中心对称图形

有一条对称轴——直线

有一个对称中心——点

沿对称轴对折

绕对称中心旋转180O

对折后与原图形重合

旋转后与原图形重合

【设计说明：

列出表格，通过对比，加深印象。

】

试试看

⑴课本99页图3-10中，哪些图形是中心对称图形？

哪些是轴对称图形？

请画出他们的对称中心或对称轴。

⑵认一认：

下列常见图形哪些是轴对称图形？

哪些是中心对称图形？

线段a等边三角形b平行四边形c

长方形d圆形e直角三角形f

【设计说明：

加深对中心对称图形的理解，进一步明确中心对称图形与轴对称图形之间的区别。

】

⑶出生活中的中心对称图形

对学生举出的生活中的中心对称图形，要引导学生充分观察，鼓励学生用自己的语言描述出这些图形的共同特征。

【设计说明：

让学生感受生活中的图形美，培养学生的观察能力和语言表达能力。

】

⒋例题教学

课本99页例题

【设计说明：

本例题注重引导学生根据中心对称图形的定义，用说理的方法确认一个图形是中心对称图形，并指出它的对称中心。

】

练练课本101页习题3.22

5.你用若干根长度相等的火柴棒摆成一个中心对称图形，并说明你所摆出的图案的含义。

三、课时小结

本节课学到了哪些知识？

中心对称图形的定义；

（1）中心对称图形的性质；

（2）我们所学过的多边形中有哪些是中心对称图形；

（3）中心对称图形的应用。

四、课后作业：

课本页习题3.22，5

五预习：

下课内容

1.怎样设计中心对称图案？

3.3设计中心对称图案

教学目标：

1、情感与态度目标

经历对生活中中心对称图案的欣赏、观察、分析等过程，发展空间观念，增强审美意识。

2.知识与技能目标

在观察、欣赏图案的基础上，会用所学知识分析它们的形成过程。

3过程与方法目标

认识中心对称图案在生活中的应用，会设计一些中心对称图案。

教学重点与难点：

教学重点：

1、在观察、欣赏图案的基础上，会用所学知识分析它们的形成过程。

2、设计中心对称图案。

教学难点：

分析图案形成过程，设计中心对称图案。

设计思路：

本节课首先对生活中中心对称图案的欣赏、观察、分析，到自己设计出符合要求的中心对称图案，这是一个由感性到理性的认识过程。

在教学中，要充分利用教学资源，激发学生学习的积极性、主动性、创造性，使学生提高设计中心对称图案的水平，增强审美能力。

教学过程：

（一）情境创设

情境一：

利用课本提供的3幅图案，引导学生观察、探索，它们是否是中心对称图案？

如果是，请找出它们对称中心。

情境二：

生活中，你见到的哪些图案是中心对称图案？

[设计说明：

从学生熟悉的事物开始引入问题情境，让学生在不知不觉中感受新知，符合学生的认知规律。

本设计符合一般学校]

情境三：

利用多媒体展示生活中各种中心对称图案，引导学生观察、探索它们是否是中心对称图案？

如果是，请找出它们对称中心。

[设计说明：

教学一开始，教师即用多媒体展示学生生活中接触的图片，可以造成视觉冲击，提高学生的兴奋点，激发学生的学习欲望，本设计符合配备了多媒体的学校。

]

（二）探索活动：

活动一：

用6个全等的正方形设计中心对称图案

步骤：

1、欣赏用6个全等的正方形组成的中心对称图案；

2、你能用6个全等的正方形设计中心对称图案吗？

3、你能用6个全等的正方形构造出既是中心对称又是轴对称的图案吗？

[设计说明：

在学生观察、欣赏图案的基础上，能找出其对称中心，能用所学知识分析它们的形成过程，通过设计中心对称图案，加深对中心对称图形的理解，感悟教学的价值。

]

活动二：

“数学实验室”的实验活动

步骤：

1、欣赏用圆和线段构造的具有某种含义的中心对称图案。

2、用圆和线段设计一些中心对称图案，并与同学交流设计的含义。

[设计说明：

通过展示现实中的一些优美图案，让学生在欣赏的过程中思考这些图案是怎样形成的，既增强学生的审美意识，又发展了学生的空间观念，感悟数学与现实生活的联系，通过学生动手操作，交流，探索，增强对中心对称图案形成的理解。

]

（三）尝试反馈，领悟新知

例：

为了美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案。

要求设计的图案由圆和等边三角形组成（圆和等边三角形的大小、个数不限），并且使整个圆形场地是一个中心对称图形。

请画出你的设计方案。

[设计说明：

由圆和线段设计中心对称图案过渡到由圆和等边三等形组成的中心对称图案，提高学生设计中心对称图案的水平。

这类图形设计问题在于抓住要求设计的图形的特征，具有中心对称性，由于圆是中心对称图形，因此等边三角形的个数是解决本题的关键]。

练习：

课本P107，练习1、2

课堂小结，内化新知

（1）经历对生活中中心对称图案的欣赏、观察、分析过程，加深对中心对称图形的理解。

（2）认识中心对称图案在生活中的应用，根据要求设计出一些中心对称图案。

[设计说明：

巩固新知识，不断强化对新知识的认识]

思考题：

1、“俄罗期方块”同学们一定玩过吧，下面给出几种基本图形，请你利用它们设计一个中心对称图案，试一试，你一定行！

（除了给出的四种基本图案，你还可以在方框内自主设计其他图案，可以重复使用某种基本图案）

2、如图是我们熟悉的“七巧板”，你能用它拼出具有某种意义的图案吗？

试试看，你一定行！

[设计说明：

对不同档次的学生给予他们不同的要求，体现“人人都学有价值的数学，不同的人在数学上有不同的发展”的教学理念]。

预习：

1.平行四边形又哪些性质？

3.4平行四边形（第1课时）

教学目标：

1知识与技能目标

以中心对称为主线，研究平行四边形的性质

2过程与方法目标

经历探索平行四边形的概念性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和有条理的表达能力

3情感与态度目标

在对平行四边形性质的探索过程中，理解特殊与一般的关系，领会特殊事物的本质属性与其特殊性质的关系

教学重点与难点

1.对中心对称图形的理解；

2.有条理的说理的表达能力，规范书写的格式

设计思路

本节课的设计思路是以中心对称为主线，展开对平行四边形的性质的探索与研究。

使学生理解平行四边形是由三角形绕其一边的中点旋转180°而成的中心对称图形，向学生展示了平行四边形的形成过程，为研究平行四边形性质提供了新的方法。

教学过程

㈠情境创设

以课本的两幅图引入，观察，探索：

图片中有你熟悉的图形吗？

这些图形有什么特征？

㈡探索活动

活动一：

探索平行四边形的概念（中心对称）

1操作BO是的△ABC边AC上的中线，

画出△ABC关于点O的对称的图形。

△CDA可以看成是△ABC绕点O旋转180度得到的，因此四边形ABCD是中心对称图形，点O是它的对称中心。

【设计说明：

这一过程应充分发挥学生的主体地位，让学生在实际操作中，加深对中心对称图形的理解。

】

2讨论：

图中的AB与CD，AD与CB平行吗？

为什么？

这一过程先让学生思考，展开讨论，鼓励学生大胆的说出自己的理由。

概念：

2组对边分别平行的四边形是平行四边形。

及表示的方法

3平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心

【这一概念既是平行四边形的一条性质，又是判别图形的条件。

四边形只要具备“2组对边分别平行”的条件，它就是平行四边形；反过来，如果四边形是平行四边形，那么它必定有“2组对边分别平行”。

】

活动二：

探索平行四边形的性质（中心对称）

因为平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心，

所以

ABCD绕点O旋转180°后，提问：

①AB旋转到什么位置？

②∠BAD旋转到什么位置？

③猜想：

对角线AC与BD有什么性质？

得到：

AB=CD　　AD=BC　　　　　平行四边形的对边相等

∠ABC=∠CDA∠BCD=∠DAB　平行四边形的对角相等

OA=OC　　OB=OD　　平行四边形的对角线互相平分

【探索平行四边形的性质从“平行四边形是中心对称图形”出发，另外，2组对边平行也是平行四边形的一个性质。

】

㈢例题示范

例1，A＇B＇∥AB，B＇C＇∥BC，C＇A＇∥CA

图中有几个平行四边形？

将它们表示出来，并说明理由。

提问：

AB与B＇C；

∠ABC与∠B＇相等吗？

为什么？

还有其他类似的结论吗？

例题1具有开放性，共分为2个层次

第一层次，要求学生运用学过的知识，探索图中的哪些四边形是平行四边形，并说明理由。

要注重板书的过程，培养学生板书的能力。

第二层次，以问题来引导，探索图形的其他性质。

让学生自主探索，丰富学生独立进行数学活动的经验，养成良好的思维习惯。

㈣课堂练习

练习1

练习2

3在

ABCD中，如果∠A=60°，那么∠B=°，∠C=°，∠D=°

4如果

ABCD的周长为32cm，且AB=5cm，那么BC=cm，

CD=cm，DA=cm

5已知平行四边形相邻两角的度数比为2：

3，则较大的角为（）

A.72°B.90°C.108°D.126°

6在平行四边形中，对角线ACBD相交于O，则AD长度x的取值范围是（）

A.2＜＜6B.3＜x＜9C.1＜x＜9D.2＜x＜8

7如图，

ABCD中，BE平分∠ABC且交边AD于点E，如果AB=6cm，BC=10cm，

试求：

⑴

ABCD的周长；

⑵线段DE的长。

㈤小结：

1探索了平行四边形的概念，性质。

2以中心对称为主线。

㈥作业：

113页习题1，4

（七）预习

1.四边形具有什么条件事就是平行四边形？

3.4平行四边形（第2课时）

教学目标：

1.情感与态度目标

经历探索四边形是平行四边形的条件的过程。

2.知识与技能目标

理解并掌握四边形是平行四边形的条件。

3.过程与方法目标

在活动中发展学生的探究意识和有条理的表达能力。

教学重点与难点

探索四边形是平行四边形的条件，分两个层次：

通过操作和合情推理发现结论；说明理由。

运用中心对称的性质得三角形全等。

设计思路

本节课的设计思路以学生的动手操作引入，探索四边形是平行四边形的条件，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由于是首次探索四边形是平行四边形的条件，其说理依据只能是平行四边形的概念，；对于下面几条的探索就可以利用第一个条件。

教学过程

㈠情境创设

回忆：

平行四边形的概念

平行四边形有哪些性质？

㈡探索活动

活动一操作在方格纸上画2条互相平行并且相等的线段AD，BC，连接AB，DC。

检验线段AB与DC是否互相平行？

思考所画的四边形ABCD是平行四边形吗？

说明：

1学生会想到连接BD，证明△ABD≌△CDB，得到∠ABD＝∠CDB，从而得到AB∥DC

2课本是运用平移的性质说明线段AB∥DC

在教学中应先复习平移的概念和性质。

【无论用哪种方法，都是依据平行四边形的概念：

2组对边平行的四边形是平行四边形。

】

通过活动一，得探索四边形是平行四边形的条件：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

活动分为2个层次：

一引导学生通过操作和合情推理发现结论；二利用平移的性质说理，发展学生有条理地表达能力。

活动二

操作1画2条相交直线a，b，设交点为O

2在直线a上截取OA=OC，在直线b上截取OB=OD，连接AB，BC，CD，DA。

思考所画的四边形ABCD是平行四边形吗？

说明1学生会想到用三角形全等的判定定理来证明两个三角形全等

2课本是运用中心对称的性质得三角形全等

2条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

【对于探索活动一：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由于是首次探索四边形是平行四边形的条件，其说理依据只能是平行四边形的概念，；对于探索活动二，其说理依据除了平行四边形的概念外，还应有：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

】

111页练习2113页练习1

㈢例题示范

例1如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB。

四边形ABCD是否是平行四边形？

为什么？

解：

连接BD

得：

2组对边分别相等的四边形是平行四边形

【在例题教学中应引导学生独立思考，自主探究，并通过合作交流，完善说理，学会有条理的表达。

】

例2如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D。

四边形ABCD是否是平行四边形？

为什么？

得：

2个对角分别相等的四边形是平行四边形

㈤小结：

1学习了四边形是平行四边形的条件，会运用判别四边形是平行四边形的条件解决问题；

2经历了探索四边