第二十五章 概率初步.docx
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第二十五章概率初步
第二十五章概率初步
1．随即事件
预习归纳
1．在一个条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
例题讲解
【例】指出下列事件中，那些是必然事件，那些是不可能事件，那些是随机事件；
⑴掷一枚硬币，出现正面朝上；⑵买一张彩票中一百万；⑶1＋2＝3；
⑷任意买一张电影票，座位号是双号；⑸向空中抛一枚硬币，硬币从空中不往下掉；
必然事件，不可能事件是，随机事件是；（填序号）
基础题训练
1．从标号分别为1、2、3、4、5的5张卡片中，随即抽取1张，下列事件中，必然事件是（）
A．标号小于6B．标号大于6C．标号是奇数D．标号是3
2．（2014•黔东南）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A．可能有5次正面朝上B．必有5次正面朝上
C．掷2次必有1次正面朝上D．不可能10次正面朝上
3．（2014•黔南州）下列事件是必然事件的是（ ）
A． 抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B． 打开电视频道，正在播放《十二在线》
C． 射击运动员射击一次，命中十环 D． 方程x2﹣2x﹣1＝0必有实数根
4．下列事件是随机事件的是（）
A．在一个标准大气下，加热到100℃，水沸腾；
B．购买一张福利彩票，中奖
C．有一名运动员的奔跑的速度是30米/秒
D．在一个仅装着白球和黑球的袋子中摸球，摸出红球
5．（2014•山东聊城）下列说法中不正确的是（ ）
A． 抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B． 把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件
C． 任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件
D． “明天降雨的可能性是50%”表示明天有半天可能降雨
中档题训练
6．下列事件：
①在标准大气压下，水在8℃时结冰；②任取三条线段，她们恰好能构成直角三角形；③当实数a、b不全为0时，
；④方程
有实数根，其中是不可能事件的是（C）
A．①②B．②③C．①③②D．③④
综合题训练
7．判断下列每个实验中，哪些事件发生的可能性是相同的？
哪些不是？
（1）掷一枚均匀的骰子，出现2点朝上或6点朝上的机会．（）
（2）从装有4个红球，3个白球的袋中任取一球，取到红球或白球的可能性．（）
（3）从一副扑克牌中任取一张，取到小王或方块3的可能性．（）
（4）掷两枚骰子，出现的点数和是“2”与“5”的可能性．（）
2.概率的意义和一步求概率
复习归纳
1.必然事件发生的概率为不可能事件发生的概率为
2.事件发生的可能性越大，则它的概率越接近
事件发生的可能性越小，则它的概率越接近
例题讲解
【例】掷一枚均匀的骰子（六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6）
（1）奇数朝上的概率是
（2）数偶朝上的概率是
（3）质数朝上的概率是（4）大于4的数朝上的概率是
基础题训练
1.质地均匀的正方体的骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是3的概率是
2.（2013.郴州）掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别标有数字1－6，掷得朝上的一面的数字为奇数的概率是
3.（2012.安徽省）给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是（）
A．
B．
C．
D．
4.（2011，贵阳）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2014，广东）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.（2014.贺州）A、B、C、D四名选手参加50米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若A首先抽签，则A抽到1号跑道的概率是（ ）
A.1B.
C.
D.
中档题训练
7.在一个不透明的袋子中有2个白球，n个黄球，它们除颜色外其它均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是
，则n＝
8.某快餐店用米饭加不同炒菜配制了一批盒饭，配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒.每盒盒饭的大小、外形都相同，从中任选一盒，不含辣椒的概率是（）
A.
B.
C.
D.
9.冰箱里有四种饮料，5瓶特种可乐，12瓶普通可乐，9瓶橘子水，6瓶啤酒，其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料．那么随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率为________．
10.（2011.四川凉山）如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm，将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是________．
11.一个均匀的正方体各面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，这个这个正方体的表面展开图如图所示．抛掷这个正方体，则朝上一面所标数字恰好等于朝下一面所标数字的3倍的概率是.
12.在一个盒子中有红球、黑球和黄球共20个，在一个盒子中有红球、黑球和黄球共20个，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一球，得到红球的概率为
，得到黑球的概率为
，试求在这20个球中黄球共有多少个？
13.（2013.株州）如图第
（1）个图有1个有1个黑球；第
（2）个图为3个同样大小球叠成的图形，最下一层的2个球为黑色，其余为白色；第（3）个图为6个同样大小球叠成的图形，最下一层的3个球为黑色，其余为白色；…；则从第（n）个图中随机取出一个球，是黑球的概率是．
3.用列举法求概率
（一）——两步概率
预习归纳
1．在一次实验中，如果可能出现的结果只有，且各种结果出现的可能性，那么我们可以通过的方法，求出随机事件发生的概率．
例题讲解
2．（2012·武汉中考）一个口袋中有4个相同的小球，分别写有字母A，B，C，D，随机地抽出一个小球后放回，再随机地抽出一个小球．
（1）使用列表法或树形法中的一种，列举出两次抽出的球上字母的所有可能结果；
（2）求两次抽出的球上字母相同的概率．
基础题训练
1．（2014·玉林）一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）．
A．
B．
C．
D．
2．（2014·新疆）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为
，
，
，
，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（）．
A．
B．
C．
D．
3．两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1，2，3，4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数只和等于5的概率为（）．
A．
B．
C．
D．
4．（2013·绵阳）“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男两女）成立了“交通秩序维护”小分队，求从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，恰好是一男一女的概率．
5．（2011·江西）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，
（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．
中档题训练
6．小刚与小亮一起玩一种转盘游戏，如图所示是两个完全相同的转盘，每个转盘分成面积相等的三个区域，分别用“1”、“2”、“3”表示，固定指针，
同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针的数字和为
奇数，则小刚获胜；否则小亮获胜，则在该游戏中小刚获胜
的概率是（）．
A．
B．
C．
D．
7．（2014·山西）甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两个人先打，规则如下：
三个人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两个人手势相同（都是手心或都是手背），则这两人先打，若三人手势相同，则重新决定．求一次通过“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率．
8．（2013·武汉）有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁．
（1）请用列表或树状图的方法表示出上述试验所有可能结果；
（2）求一次打开锁的概率．
综合题训练
9．（2013·菏泽）某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C．
（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用树状图的方法求垃圾投放正确的概率；
（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：
吨）
A
B
C
a
400
100
100
b
30
240
30
c
20
20
60
试估计“厨余垃圾”投放正确的概率．
4.用列举法求概率
（二）——三步概率
预习归纳
1．在一次实验中，如果可能出现的结果只有，且各种结果出现的可能性，
那么我们可以通过的方法，求出随机事件发生的概率．
例题讲解
【例】先后抛掷3枚相同的硬币．
（1）一共肯能出现多少种不同的结果？
（2）求出现“2枚正面向上，1枚反面向上”的概率．
基础题训练
1．甲、乙、丙三个同学排成一排拍照，则甲排在中间的概率是（）．
A．
B．
C．
D．
2．为了防控输入性甲型H1N1流感，某市医院成立隔离治疗发热流涕病人防控小组，决定从内科5位骨干医师中（含有甲）抽调3人组成，则甲一定抽到防控小组的概率是（）．
A．
B．
C．
D．
3．甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100米接力赛，甲必须为第一接力棒或第四接力棒的运动员，那么这四名在比赛过程中的接力顺序有（）．
A．3种B．4种C．6种D．12种
4．分别标有数字1、2、3的三个球放在一个盒子里，将一个球从盒子里取出，记下它的号码，再将它放回，这个过程重复三次，每个球在每次过程中被取出的机会是相等的，那么标有2的球三次全被抽中的概率为．
5．一家医院某天出生了3个婴儿，假设男生女生的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？
6．有三组牌，每组三张，牌面数字分别为1，2，3，从每组中任意抽出一张牌．
（1）求抽出三张牌点数相同的概率；
（2）求抽出的三张牌的点数和为5的概率．
中档题题训练
7．将三个均匀的六面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体同时掷出，出现的数字分别为a、b、c，则a、b、c正好是直角三角形边长的概率是（）．
A．
B．
C．
D．
8．如图所示，一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，
B、C、D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐
的概率为．
9．（2012·聊城）我市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中“立定跳远”“1000米跑”“肺活量测试”为必测项目，另一项“引力向上”或“推铅球”中选一项测试．求小亮和大刚从“引力向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的概率．
10．“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时比赛各方每次做“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，同种手势或三种手势循环不分胜负继续比赛，假定甲、乙、丙三人每次都是等可能地做这三种手势，那么：
（1）一次比赛中三人不分胜负的概率是多少？
（2）比赛中一人胜，二人负的概率是多少？
综合题训练
11．（2013荆门）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时：
（1）求三辆车全部同向而行的概率；
（2）求至少有两辆车向左转的概率；
（3）由于十字路口右拐弯处是通往新经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口右转的频率为
，向左转和直行的频率均为
．目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
5.利用频率估计概率
预习归纳
1．对一般的随机事件，在做大量重复实验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复的试验，用一个随机事件发生的去估计出一定的概率．
例题讲解
【例】（2013·资阳）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（）．
A．
个B．16个C．20个D．30个
基础题训练
1．在“抛掷正六面体”的试验中，如果正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是接近．
2．某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共160个，小颖通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率依次是0.35、0.25、0.4，试估计口袋中三种玻璃球的数目分别是、、．
3．在一次统计中，调查英文文献中字母E的使用率，在几段文献，统计字母E的使用数据得到下列表中部分数据：
（1）请你将下表补充完整．
文献字母个数
982
11237
534406
33569792
108274953
2195680075
字母E的个数
121
903
52381
3411079
107192201
220665847
字母E的使用频率
0.123
（2）通过计算表中数据可以发现，字母E的使用频率在左右摆动，并且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，所以估计字母E在文献中使用概率是．
4．从生产的一批螺丝钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个次品概率约为（）．
A．
B．
C．
D．
5．把一袋黑豆放入100粒黄豆，搅匀后取出100粒豆子，其中有黄豆4粒，求该袋中约有黑豆多少粒．
6．小颖妈妈经营的玩具店某次进行了一箱黑白两种颜色的塑料球3000个，为了估计两种颜色的球有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的概率在0.7附近波动，据此可以估计黑球的个数．
中档题题训练
7．一个不透明的布袋中，装有红、黄、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球有8个，黄、白色小球的数目相同．为估计袋中黄色小球的数目，每次将袋中小球搅匀后摸出一个小球记下颜色，放回，再次搅匀……多次试验发现摸到红球的概率是
，则估计黄色小球的数目是（）．
A．
个B．20个C．40个D．48个
8．在围棋盒子中有x颗白色棋子和y个黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是
．如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是
，则原来盒中有白色棋子（）．
A．8颗B．6颗C．4颗D．2颗
9．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为
分米，若在这个圆面上随意抛出一粒豆子，求豆子落在正方形ABCD内的概率．
综合题训练
10．（2011元月调考）商场举办一次迎亚运抽大奖的活动，将五张亚运吉祥物的图片都平均分成上、下两段，制成十幅同样大小的卡片，然后将上、下两段分别混合均匀，放入两只密闭的盒子里，由顾客从两个盒子中各随机抽取一张，若两张卡片刚好拼成一个吉祥物图案，即可获得奖品．
（1）请用树形图或列表法求出顾客抽取一次获得奖品的概率；
（2）为增强活动的趣味性，商场在两个盒子中分别放入同样多的空白卡片若干张．小明对顾客抽取的结果中出现“至少一张空白卡片”的次数做了大量的统计，统计数据如下表：
抽取卡片次数
30
50
80
100
150
180
240
300
400
出现“至少一张空
白卡片”的次数
23
38
59
74
113
135
181
224
300
出现“至少一张空
白卡片”的频率
0.77
0.76
0.75
0.74
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“至少一张空白卡片”的频率将稳定在的概率附近，试估计抽取一次出现“至少一张空白卡片”的概率（精确到0.01）；
专题概率与放回、不放回问题
1．（2013·鄂州）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“灵”、“秀”、“鄂”、“州”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“鄂州”的概率P1；
（2）乙从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记乙取出的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“鄂州”的概率为P2，指出P1、P2的大小关系（请直接写出结论，不比证明）．
2．（2013·遵义）一个不透明布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为
．
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
（3）现规定：
摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得2分（每次摸后放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次次又随机摸到一个蓝球，若随机再摸一次，求乙同学摸球所得分数之和不低于10分的概率．
3．在一个口袋中有n个小球，其中两个是白球，其余为红球，这些球的形状、大小、质地完全相同，在看不到球的条件下，从袋中随机地取出一个球．
（1）若取出的是红球的概率是
，求n的值；
（2）在
（1）的条件下，把这n个球中的两个标号为1，其余分别标号为2，3，…，n—1，随机地取出一个小球后不放回，再随机取出一个小球，请用列表法或树形图求第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的概率．
专题概率与方程、不等式
1．（2011·蒙古改编）在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，洗匀后，小明从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y，组成一对数（x，y）．
（1）用列表法或树形图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x＋y＝5的解的概率；
（3）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是不等式x－y≥0的概率．
2．（2012·湖北黄石）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字
，
，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b．
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能出现的结果．
（2）现制定这样一个游戏规则：
若所选出的a，b能使得ax2＋bx＋1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏公平吗？
请你用概率知识解释．
3．（2011·云南宝山）小华和小丽两人玩数字游戏，先由小丽心中任意想一个数记为x，再由小华猜小丽刚才想的数字，把小华猜的数字记为y，且他们想和猜的数字只能在1、2、3、4这四个数字中．
（1）请用树状图或列表法表示出他们想和猜的所有情况；
（2）如果他们想和猜的数字相同，则称他们“心灵相通”．求他们“心灵相通”的概率；
（3）如果他们想和猜的数字满足︳x－y︱≤1，则称他们“心有灵犀”．求他们“心有灵犀’’的概率．
专题概率与函数
一、概率与坐标系
1．（2012·四川德阳）有A、B两个不透明的布袋，A袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字0和1；B袋中有三个完全相同的小球，分别标有－1、0和1．小明从A袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为x，再从B袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为y，这样确定了点Q的坐标（x，y）．
（1）写出Q所有可能的坐标；
（2）求点Q在x轴上的概率．
二、概率与一次函数
2．（2012·广西贵港）从2、－1、－2三个数中任意选取一个作为直线y＝kx＋1中的k值，求所得的直线不经过第三象限的概率．
3．（2013·恩施州）一个不透明的袋子里装有编号为分别为1、2、3的球（除编号以外，其余都相同），其中1号球1个，3号球3个，从中随机摸出一个球是2号球的概率为
．
（1）求袋子中2号球的个数．
（2）甲、乙两人分别从袋中摸出一个球（不放回），甲摸出球的编号记为x，乙摸出的球的标号记为y，用列表法球点A（x，y）在直线y＝x下方的概率．
三、概率与二次函数
4．（2012·四川成都）有七张正面分别标有数字－3，－2，－1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，求使关于x的一元二次方程x2－2（a－1）x＋a（a－3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2－（a2＋1）x－a＋2的图像不经过点（1，0）的概率．
专题概率与统计
1．（2013·衡阳）目前我市“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，我市某中学九年级数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）这次调查的家长总数为，家长表示“不赞同”的人数为；
（2）从这次接受调查的家长中随机抽查一个，恰好是“赞同”的家长的概率是；
（3）求图②中表示家长“无所谓”的
扇形圆心角的度数．
2．（2013·十堰）某中学九
（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据
图中提供的信息解答下列问题：
（1）九
（1）班的学生人数为，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m＝，n＝，表示“足球”的扇形的圆心角是度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画
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