华师大下全等三角形.docx

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华师大下全等三角形

§19全等三角形2

§19.1命题与定理2

1．命题2

2．公理、定理3

§19.2三角形全等的判定4

1．全等三角形的判定条件4

2．边角边6

3．角边角8

4．边边边10

5．斜边直角边12

阅读材料15

§19.3尺规作图16

1．作一条线段等于已知线段16

2．作一个角等于已知角16

3．作已知角的平分线17

4．经过一已知点作已知直线的垂线17

5．作已知线段的垂直平分线19

阅读材料20

§19.4逆命题与逆定理21

1．互逆命题与互逆定理21

2．等腰三角形的判定22

3．角平分线24

4．线段垂直平分线25

小结28

复习题29

课题学习30

§19全等三角形

你玩过拼图游戏吗？

那是用许多各种颜色的小拼板拼成一幅幅美丽的图画.

那些拼板有不少是形状相同、大小一样的.它们相互之间有什么关系？

发挥你的智慧，想想看！

§19.1命题与定理

1.命题

思考

我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180°”、“等腰三角形的两个底角相等”等．根据我们学过的图形特性，试判断下列句子是否正确．

（1）　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；

（2）　两直线平行，同位角相等；

（3）　同旁内角相等，两直线平行；

（4）　平行四边形的对角线相等；

（5）　直角都相等．

根据已有的知识可以判断出句子

（1）、

（2）、（5）是正确的，句子（3）、（4）是错误的．像这样可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题（proposition）．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．

在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的．题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项．这样的命题常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论．例如，在命题

（1）中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论．有的命题的题设与结论不十分明显，将它写成“如果……，那么……”的形式，也可分清它的题设与结论．例如，命题（5）可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等”．

例1把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论．

解这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”．这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”．

要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”．例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举出一个反例“某一锐角与某一钝角的和不是180°”即可．

练习

1　把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并指出它的题设和结论．

（1）　全等三角形的对应边相等；

（2）　平行四边形的对边相等．

2　指出下列命题中的真命题和假命题．

（1）　同位角相等，两直线平行；

（2）　多边形的内角和等于180°．

2公理、定理

数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理（axioms）．

我们已经知道下列命题是真命题：

一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

全等三角形的对应边、对应角分别相等．

在本书中我们将这些真命题均作为公理．

数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理（theorem）．

例如，有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题：

直角三角形的两个锐角互余．

已知：

　如图19.1.1，在Rt△ABC中，∠C＝90°.

求证：

　∠A＋∠B＝90°．

证明∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的内角和等于180°），又∠C＝90°，

∴∠A＋∠B＝90°．

此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理．

定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据．

练习

1　把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它的题设和结论，并用逻辑推理的方法证明题

（1）：

（1）　同旁内角互补，两直线平行；

（2）　三角形的外角和等于360°．

2　判断命题“内错角相等”是真命题还是假命题，并说明理由．

习题19.1

1　判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以证明．

（1）　两个锐角的和等于直角；

（2）　两条直线被第三条直线所截，同位角相等．

（第3题）

2　把下列命题改成“如果……，那么……”的形式．

（1）　全等三角形的对应边相等；

（2）　菱形的对角线相互垂直；

（3）　有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

3　试证明“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．”即，已知：

　如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为E、　F．求证：

　AB∥CD．

（第3题）

§19.2三角形全等的判定

1.全等三角形的判定条件

我们知道：

　若两个三角形的三条边、三个角分别对应相等，则这两个三角形全等.那么能否减少一些条件，找到更为简便的判定三角形全等的方法？

显然由于三角形的内角和等于180°，如果两个角分别对应相等，那么另一个角必然也相等．这样，若两个三角形的三条边、两个角分别对应相等，则这两个三角形仍然全等．

能否再减少一些条件？

对两个三角形来说，六个元素（三条边、三个角）中至少要有几个元素分别对应相等，两个三角形才会全等呢？

1.我们从最简单的开始，如果只知道两个三角形有一组对应相等的元素（边或角），这两个三角形一定全等吗？

（1）　如果只知道两个三角形有一个角对应相等，那么这两个三角形全等吗？

（2）　如果只知道两个三角形有一条边对应相等，那么这两个三角形全等吗？

2.如果两个三角形有两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形一定全等吗？

想一想，会有几种可能的情况？

分别按照下面的条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和周围的同学比较一下，所画的图形是否全等．

（1）　三角形的两个内角分别为30°和70°；

（2）　三角形的两条边分别为3cm和5cm；

（3）　三角形的一个内角为60°，一条边为3cm；

（i）　这条长3cm的边是60°角的邻边；

（ii）　这条长3cm的边是60°角的对边．

你一定会发现，如果只知道两个三角形有一组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形不一定全等（甚至形状都不相同）．

思考

如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），那么会有哪几种可能的情况？

这时，这两个三角形一定会全等吗？

练习

1.如图，点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB绕O旋转180º，可以与△___________重合，这说明△AOB≌△___________.这两个三角形的对应边是AO与__________，OB与__________，BA与__________；对应角是∠AOB与________，∠OBA与_________,∠BAO与___________.

2　如图，AE是平行四边形ABCD的高，将△ABE沿AD方向平移，使点A与点D重合，点E与点F重合，则△ABE≌_________，　∠F＝_________°．

3　如图，点D是等腰直角三角形ABC内一点，AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，点D与点E重合，则△ABD≌_________，　AD＝_________，　BD＝_________．

2　边角边

如果两个三角形有3组对应相等的元素，那么含有以下的四种情况：

两边一角、两角一边、三角、三边．

我们将对这四种情况分别进行讨论．

如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？

如图19.2.1所示，此时应该有两种情况：

一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一种情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角．

如图19.2.2，已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为这两条边的夹角，画一个三角形．

把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？

换两条线段和一个角试试，是否有同样的结论．

步骤：

1　画一线段AB，　使它等于4cm；

2　画∠MAB＝45°；

3　在射线AM上截取AC＝3cm；

4　连结BC．

△ABC即为所求．

如图19.2.3，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，　∠B＝∠B′，　BC＝B′C′．

由于AB＝A′B′，我们移动其中的△ABC，使点A与点A′、点B与点B′重合；因为∠B＝∠B′，因此可以使∠B与∠B′的另一边BC与B′C′重叠在一起，而BC＝B′C′，因此点C与点C′重合．于是△ABC与△A′B′C′重合，这就说明这两个三角形全等．由此可得判定三角形全等的一种简便方法：

如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为S.A.S.（或边角边）．

例1如图19.2.4，在△ABC中，AB＝AC，　AD平分∠BAC，求证：

　△ABD≌△ACD．

证明　∵　AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD．

在△ABD与△ACD中，

∵　AB＝AC，

∠BAD＝∠CAD，

AD＝AD，

∴△ABD≌△ACD（S.A.S.）．

由△ABD与△ACD全等，还能证得∠B＝∠C，即证得等腰三角形的两个底角相等这条定理．你还能证得哪些结论？

如图19.2.5，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．

把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，那么所有的三角形都全等吗？

此时符合条件的三角形的形状能有多少种呢？

练习

1　根据题目条件，判断下面的三角形是否全等．

（1）　AC＝DF，　∠C＝∠F，　BC＝EF；

（2）　BC＝BD，　∠ABC＝∠ABD．

2　点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点，求证△AMD≌△BMC．

3．角边角

前面，我们已经知道，当两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等时，两个三角形一定全等．而当两个三角形的两条边及其中一边的对角分别对应相等时，两个三角形未必一定全等．

现在，讨论相对的情况：

　如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形能全等吗？

这时同样应有两种不同的情况：

　如图19.2.6所示，一种情况是两个角及这两角的夹边；另一种情况是两个角及其中一角的对边．

如图19.2.7，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形．

把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？

换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论．

步骤：

1　画一线段AB，使它等于4cm；

2　画∠MAB＝60°、　∠NBA＝40°，　MA与NB交于点C．

△ABC即为所求．

如图19.2.8，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，　∠A＝∠A′，　∠B＝∠B′．

由于AB＝A′B′，我们移动其中的△ABC，使点A与点A′、点B与点B′重合，且使点C与点C′分别位于线段AB的同侧．因为∠A＝∠A′，因此可以使∠A与∠A′的另一边AC与A′C′重叠在一起；同样因为∠B＝∠B′，可以使∠B与∠B′的另一边BC与B′C′重叠在一起．由于两条直线只有一个交点，因此点C与点C′重合．于是△ABC与△A′B′C′重合，这就说明这两个三角形全等．由此可得判定三角形全等的又一种简便方法：

如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.S.A.（或角边角）．

例2如图19.2.9，已知∠ABC＝∠DCB，　∠ACB＝∠DBC，求证：

　△ABC≌△DCB．

证明在△ABC和△DCB中，

∵∠ABC＝∠DCB，

BC＝CB，

∠ACB＝∠DBC，

∴△ABC≌△DCB（A.S.A.）．

思考

如图19.2.10，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？

分析因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角分别对应相等，那么第三个角必对应相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等．

下面我们证明这个定理：

　如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.A.S.（或角角边）．

已知：

　如图19.2.10，∠A＝∠A′，　∠B＝∠B′，　AC＝A′C′．

求证：

　△ABC≌△A′B′C′．

证明∵∠A＝∠A′，　∠B＝∠B′，

又∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的内角和等于180°），

同理∠A′＋∠B′＋∠C′＝180°，

∴∠C＝∠C′．

在△ABC和△A′B′C′中，

∵∠A＝∠A′，

AC＝A′C′，

∠C＝∠C′，

∴△ABC≌△A′B′C′（A.S.A.）．

练习

1　如图，已知∠ABC＝∠D，　∠ACB＝∠CBD，判断图中的两个三角形是否全等，并说明理由．

2　如图，△ABC是等腰三角形，AD、　BE分别是∠BAC、　∠ABC的角平分线，△ABD和△BAE全等吗？

试说明理由．

4．边边边

我们已经讨论了两个三角形有两边一角，以及两角一边分别对应相等，这两个三角形能否全等的情况．

我们很容易发现，如果两个三角形有三个角分别对应相等，那么这两个三角形未必全等（如图19．2．11）．

最后，如果两个三角形有三条边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等呢？

如图19．2．12，已知三条线段，以这三条线段为边，画一个三角形．

把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？

换三条线段，试试看，是否有同样的结论？

步骤：

1．画一线段AB，使它等于线段c（4．5cm）；

2．以点A为圆心、线段b（3cm）的长为半径画圆弧，以点B为圆心、线段a（4cm）的长为半径画圆弧，两弧交于点C；

3．连结AC、BC．

△ABC即为所求．

如图19．2．13，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′．

不妨假设三角形最长的边为AB边，由于AB＝A′B′，我们移动其中的△ABC，使点A与点A′、点B与点B′重合，且使点C与点C′分别位于线段AB的两侧，连结CC′（如图19．2．14）．因为AC＝A′C′，即AC＝AC′，所以∠ACC′＝∠AC′C．同理可知∠BCC′＝∠BC′C．因此∠ACB＝∠AC′B．又因为AC＝AC′，BC＝BC′，由“边角边”，便可知这两个三角形全等．于是可得判定三角形全等的第3种简便方法：

如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为S．S．S．（或边边边）.

例3如图19．2．15，在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，求证：

△ABC≌△CDA．

证明在△ABC和△CDA中，

∵CB＝AD，AB＝CD（已知），

又AC＝CA（公共边），

∴△ABC≌△CDA（S．S．S．）．

至此，我们已经知道，若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，则这两个三角形全等．在本书中我们也将这些真命题作为公理．

我们可以将前面探索得到的结论归纳成下表：

对应相等的元素

两边一角

两角一边

三角

三边

两边及其夹角

两边及其中一边的对角

两角及其夹边

两角及其中一角的对边

三角形是否全等

一定（S.A.S）

不一定

一定（A.S.A）

一定（A.A.S）

不一定

一定（S.S.S）

以前我们通过探索得出的结论，如等腰三角形的性质、平行四边形的性质等，均可从所有的公理出发，经过逻辑推理证得，作为定理.

练习

1．根据条件分别判定下面的三角形是否全等．

（1）线段AD与BC相交于点O，AO＝DO，BO＝CO.△ABO与△BCO；

（2）AC＝AD，BC＝BD.△ABC与△ABD；

（3）∠A＝∠C，∠B＝∠D.△ABO与△CDO；

（4）线段AD与BC相交于点E，AE＝BE，CE＝DE，AC＝BD.△ABC与△BAD？

2．如图，四边形ABCD是平行四边形，△ABC和△CDA是否全等？

若四边形是菱形、矩形、梯形，是否还有相同的结论？

5斜边直角边

我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相等，那么这两个三角形一定全等．如果有“角角角”分别对应相等，那么不能判定这两个三角形全等，这两个三角形可以有不同的大小．如果有“边边角”分别对应相等，那么也不能保证这两个三角形全等．

那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形能否全等呢？

如图19．2．16，已知两条线段（这两条线段长不相等），以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边，画一个直角三角形．

把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较，所有的直角三角形都全等吗？

换两条线段，试试看，是否有同样的结论？

步骤：

1．画一线段AB，使它等于4cm；

2．画∠MAB＝90°；

3．以点B为圆心，以5cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C；

4．连结BC．

△ABC即为所求．

如图19．2．17，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．

由于直角边AC＝A′C′，我们移动其中的Rt△ABC，使点A与点A′、点C与点C′重合，且使点B与点B′分别位于线段A′C′的两侧．因为∠ACB＝∠A′C′B＝∠A′C′B′＝90°，故∠B′C′B＝∠A′C′B′＋∠A′C′B＝180°，因此点B、C′、B′在同一条直线上．于是在△A′B′B中，由AB＝A′B＝A′B′（已知），得∠B＝∠B′．由“角角边”，便可知这两个三角形全等．于是可得

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为H．L．（或斜边直角边）．

例4如图19．2．18，已知AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，求证Rt△ABC≌Rt△BAD．

证明∵∠C＝∠D＝90°，

∴△ABC与△BAD都是直角三角形．

在Rt△ABC与Rt△BAD中，

∵AB＝BA，

AC＝BD，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（H．L．）.

练习

1．如图，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，DE＝DF，求证：

△BED≌△CFD．

2．如图，AC＝AD，∠C＝∠D＝90°，求证：

BC＝BD．

习题19．2

1．如图，已知AB＝DC，AC＝DB，求证：

△ABC≌△DCB．

2．如图，已知∠1＝∠2，AO＝BO，求证：

△AOP≌△BOP．

3．要使下列各对三角形全等，还需要增加什么条件？

（1）∠A＝∠D，∠B＝∠F；

（2）∠A＝∠D，AB＝DE．

4．如图，已知AB＝AC，BD＝CE，求证：

△ABD≌△ACE．

5．如图，已知AB与CD相交于O，∠A＝∠D，CO＝BO，求证：

△AOC≌△DOB．

6．如图，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，你能找出一对全等的三角形吗？

阅读材料

图形中的“裂缝”

几何图形的割补问题，有时会使人不知所措．下面的图形问题是出现在萨姆·劳埃得（SamLoyd）的《趣题大全》（CyclopediaofPuzzles）中的一个趣题：

将图1按所画粗线条剪开，再按图2拼合，方格线的面积增加了一个平方单位．

为什么面积会增加了？

这是视觉上的错觉欺骗了我们．实际上，当图1剪成四块拼成图2时，中间有一个如图3所示的平行四边形ABCD的缝隙，它的面积正好为1．也就是说A、B、C三点及A、D、C三点都不在一条直线上，图形中出现了“裂缝”，而图2中误以为它们都在同一条直线上.这就说明了证明的重要性．

后来，有人将图4中的三角形区域按所画的粗线条剪开，再按图5重新拼合，结果在三角形的内部出现了一个“黑洞”．

你能对图4和图5中的现象作出解释吗？

§19.3尺规作图

我们已经会使用刻度尺、三角尺、量角器和圆规等工具方便地画出各种几何图形．如果限定只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形，你还能作出符合条件的图形吗？

我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图．自古希腊时代起，人们就对尺规作图产生了极大的兴趣，吸引着许多人去探索．对仅用直尺（以下我们所说的直尺均指没有刻度的直尺）和圆规能作出哪些图形以及不可能作出哪些图形的思考和研究，竟推动了整个数学的发展．

以下我们将研究仅用尺规过一已知点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线、作已知角的平分线的方法．为完整起见，我们把曾在七年级第一学期第4章中已经学过的作线段和作角的内容重新以示意图列出，以便对于尺规作图有一个较为完整的学习．这5种作图称为基本作图，几何作图问题一般都是由若干个基本作图组合而成的．

1．作一条线段等于已知线段

2．作一个角等于已知角

练习

1．任意画出两条线段AB和CD，再作一条线段，使它等于AB＋2CD．

2．任意画出两个角∠1和∠2，使∠1>∠2，再作一个角，使它等于∠1－∠2．

3．作已知角的平分线

如图19．3．4，∠AOB为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线．

第一步：

在射线OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；

第二步：

分别以点D、E为圆心，以适当长（大于线段DE长的一半）为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；

第三步：

作射线OC．

射线OC就是所要作的∠AOB的平分线．

我们可以证明这样作出来的射线是符合要求的，即证明∠AOC＝∠BOC．

如图19．3．5，连结EC、DC，

∵OD＝OE，DC＝EC，

OC＝OC，

∴△OCD≌△OCE（S．S．S．），

∴∠AOC＝∠BOC（全等三角形的对应角相等）．

练习

1．如图，已知∠A，试作∠B＝1〖〗2∠A（不写作法，保留作图痕迹）．

2．作出图中三角形三个内角的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）．

4．经过一已知点作已知直线的垂线

已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系：

点在直线上，点不在直线上．因此要分别按这两种情况作图．

（1）经过已知直线上一点作已知直线的垂线．

已知直线AB和AB上一点C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线．

如图19．3．6，由于点C在直线AB上，因此所求作的垂线正好是平角ACB的平分线所在的直线．

第一步：

作平角ACB的平分线CD；

第二步：

反向延长射线CD．

直线CD就是所要作的垂线．

（2）经过已知直线外一点作已知直线的垂线．

动手试一试，现在你知道具体作法了吧，你能说说其中的道理吗？