浙江大学 1998 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目 量子力学第一题.docx

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浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题

浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：

（10分）

（1）写出玻尔-索末菲量子化条件的形式。

（2）求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

（利用玻尔-索末菲量子化条件r求，设外磁场强度为B）第二题：

（20分）

（1）若一质量为?

的粒子在一维势场V（x）=?

级。

（2）若某一时刻加上了形如esin为一已知常数）。

?

0,0≤x≤a中运动，求粒子的可能能?

∞,x>a,x<0ωxa，e

（1）的势场，求其基态能级至二级修正（ω?

122?

?

ωx,x>0，求粒子（质量为?

）的可能的能级。

（3）若势能V（x）变成V（x）=?

2?

∞,x<0?

第三题：

（20分）氢原子处于基态，其波函数形如ψ=ce?

ra，a为玻尔半径，c为归一化系数。

（1）利用归一化条件，求出c的形式。

（2）设几率密度为P（r），试求出P（r）的形式，并求出最可几半径r。

（3）求出势能及动能在基态时的平均值。

?

?

（4）用何种定理可把及联系起来？

第四题：

（15分）?

2?

2?

2?

=Lx+Ly+Lz，转子的轨道角动量量子数是1，一转子，其哈密顿量H2Ix2Iy2Iz?

?

?

（1）试在角动量表象中求出角动量分量Lx，Ly，Lz的形式；?

（2）求出H的本征值。

第五题：

（20分）若基态氢原子处于平行板电场中，电场是按下列形式变化E=?

r?

0,?

?

ε0e?

?

tt≤0τ,t>0，τ为大于零?

的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P态的几率。

设H′为微扰哈密顿，（（）?

H′100,210=28aε0e?

τt?

?

5?

e；t>0）H′（当32（）100,21±1=0）。

第六题：

（15分）

（1）用玻恩近似法，求粒子处于势场V（x）=?

V0e（设粒子的约化质量为?

）。

（2）从该问题中，讨论玻恩近似成立的条件。

?

ra，a>0）中散射的微分散射截面。

（浙江大学1999年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：

（10分）

（1）试求出100ev的自由电子及能量为0.1ev、质量为1克的质点的德布罗意波长。

（1ev=1.6×10?

19J,h=6.6×10?

34J?

s）

（2）证明一个自由运动的微观粒子对应的德布罗意群速度vg，即为其运动速度v。

第二题：

（10分）

（1）证明定态中几率流密度与时间无关。

（2）求一维无限深势阱中运动的粒子在第n个能级时的几率流密度。

第三题：

（15分）x<0?

∞,?

（粒子处于一维势阱V（x）=?

?

U0,0≤x≤a（取的恒定常量）中运动，?

0,x>a?

（1）画出势能V（x）的示意图，设粒子质量为?

，

（2）求解运动粒子的能级E。

?

U0

（10分）一维谐振子，其势能为V（x）=12kx，k为常量）（。

若该谐振子又受一恒力F作用，试求2其本证能量及能量本证函数。

该振子的质量为?

。

第五题：

（20分）

（1）写出线性、厄米算符的定义。

（2）判断下列算符中，哪一个是线性厄米算符？

?

a.F1=?

h?

?

?

?

b.F2=apx+bx,（a,b为恒定实常数）?

x?

iA?

?

c.F3=e，A为线性厄米算符，i为虚宗量。

（3）证明厄米算符对应有实得本证值。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

（4）若算符B、C为厄米算符，[B,C]+=BC?

CB=0,若在b,c分别为B、C的本证值，?

证明：

①bc=0,②若C=1，则c必取c=±1。

2第六题：

（20分）?

E1（0）?

?

设哈密顿算符在能量表象中形如H=?

0?

a?

或b为实数，试0Eb（0）2a?

?

（0）（0）（0）其中E1、E2、E3远大于ab?

，?

E3（0）?

?

?

（1）写出未微挠哈密顿量H0与微挠哈密顿量H′的合理形式。

?

（2）证明H为厄米算符（E1、E2、E3全为厄米算符本证值）。

（0）（0）（0）（3）若E1（4）若E1（0）（0）（（

（

第七题：

（15分）用玻恩近似计算粒子（质量为?

）被形如V（r）=Bδ（r）的势场散射时的微分散射截面，并说明其特点。

B为常数）（rr年攻读硕士学位研究生入学考试试题浙江大学2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：

（20分）

（1）下列说法哪个是正确的？

对不正确的说法给予修正。

a.量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系。

b.电子是粒子，又是波。

c.电子是粒子，不是波。

d.电子是波，还是粒子。

（2）a.厄米算符的定义是什么？

算符xb.等式e?

e=e?

gf?

?

g+f?

d是否厄米？

dx是否成立？

何时成立？

（3）若太阳为一黑体，人所能感受的太阳光能量的最大的波长为λm=0.48?

m，太阳半径R=7.0×108m，太阳质量m=2×1030kg，试估算太阳质量由于热辐射而损耗1%所需要的时间。

（斯特藩常数σ=5.67×1012W/（cm2k4））第二题：

（20分）若有一粒子，质量m，在有限深势阱V（x）=?

（1）试推出其能量本征值所满足的方程。

（2）如何求能量本征值？

试作出求解本征值的草图。

（3）若粒子不作一维运动，而是三维运动，V（r）=?

个本征能的条件。

?

0,?

?

V0,?

x≤a中运动，V0为某一正常数。

x>a?

0,0

V0,第三题：

（20分）?

?

（1）量子力学中，H不显含时间，若?

则力学量A为守恒量的定义是什么？

守恒量A的本征态有何特点？

（2）本征值简并的概念是如何表述的？

一维运动的粒子（势场为V（x）），其能级是否简并？

?

（3）在一维势场V（x）中运动的粒子，其动量Px是否守恒？

（4）试说出氢原子问题中的量子跃迁的选择定则的内容。

第四题：

（25分）若一二维谐振子哈密顿量为：

?

?

?

H=H0+H′11?

?

2?

yH0=（px+p2）+?

ω2（x2+y2）2?

2?

H′=2λxy，λ为一小量）（

（1）用微扰论，求其基态的能量修正（至λ项）及第一激发态的能量修正（至λ项）2

（2）如何求出非微扰论的本征能量？

试求之，并同微扰论的结果比较。

（3）相干态的定义为：

α=e?

α22∑n=0∞αnn!

?

?

n，H0为一维线性谐振子的哈密顿量，H0n=Enn，1En=（n+）hω，试证明，相干态是测不准关系取最小值时的状态。

2第五题：

（15分）质量为m的粒子受到势能为V（r）=a的场的散射（a为某一正常数），在入射能量极低的r2l?

?

sin?

x?

π?

2?

?

条件下，计算其微分散射截面。

（球贝塞尔函数jl→，x→∞）。

x浙江大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：

（15分）

（1）试确定，在3K温度下，空腔辐射的最大能量密度所对应的光子的波长λm是多少？

（2）此时，光子的对应能量为多少？

（3）光电效应中，如何测定某金属板的脱出功A？

第二题：

（20分）设氢原子处于状态：

ψ（r,θ,?

）=13R21（r）Y10（θ,?

）?

R31（r）Y11（θ,?

）22

（1）问测量氢原子的能量，所得的可能值及相应的几率为多少？

?

（2）问测量氢原子的角动量平方L2，所得的可能值及相应的几率为多少？

?

（3）问测量氢原子的角动量分量Lz的可能值及相应的几率为多少？

第三题：

（20分）x<0?

∞,?

（1）一质量为m的粒子于势场V（x）中运动，V（x）=?

0,0≤x≤a?

∞,x>a?

求该粒子的能级及对应的本征波函数？

（2）若一质量为m的粒子与势场满足的方程。

?

V>0,?

V（x）=?

0?

0,?

x≥ax

?

?

V0,0≤r≤ar>a?

0,V0>0，则若欲得二个束缚能态，其势能值V0至少应为多少？

第四题：

（15分）?

（1）何谓厄米算符，试写出其定义，及判断算符A=?

?

?

（2）计算对易子[X,Pn]的值？

（3）证明厄米算符有实的本证值？

（4）试说明为何要力学量对应为厄米算符？

下面二组题（五、六题与七、八题）任选一组解答。

?

是否厄米？

?

x第五题：

（15分）?

证明对任何束缚态，粒子动量px的平均值为零。

第六题：

（15分）如果氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0表面分布着均匀电荷的小球，计算这种效应对氢原子基态能量的一级修正。

（已知r0a，a为玻尔半径）第七题：

（15分）一质量为m的高能粒子被势场V（r）=波矢。

（1）用哪种方法计算其散射截面较为合理？

（2）试指出在哪些方向上，散射粒子最少？

?

V0?

e?

re?

2r×?

?

1.125×r?

aa?

?

散射，V0较小，k为入射?

第八题:

（15分）试写出定态微挠论中对非简并态微扰的能级修正（至二级）浙江大学2002年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：

从下面四题中任选三题（15分）

（1）试说明光电效应实验中的“红限”现象，为何光电效应实验中有所谓截止频率的概念？

（2）如何从黑体辐射实验的Planck公式中推出Stefan公式？

（只要求给出思路）。

根据该公式，能否做出什么测温仪器？

（3）你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？

有哪些不成功的地方？

试举一例说明。

（4）你能从固体与分子的比热问题中得出哪些量子力学的概念？

第二题（20分）：

设氢原子处于状态：

Ψ（r,θ,?

）=171R21（r）Y11（θ,?

）?

R21（r）Y10（θ,?

）+R31（r）Y1?

1（θ,?

）442

（1）测量该原子的能量，测得的可能值为多少？

相应的几率为多少？

?

（2）测量该原子的角动量平方Lz，测得的可能值为多少？

相应的几率又为多少？

2（3）测得的角动量分量Lz的可能值和相应几率为多少？

第三题：

（20分）一质量为m的粒子处于势场V（x）中运动，若

（1）V（x）=?

?

∞?

?

0?

x>a则该粒子的本征能量为多少？

x≤a

（2）V（x）=aδ（x），a<0为已知常数，则该粒子的本征能量为多少？

特征长度为多少？

（3）V（x）=?

?

V0δ（x）,?

?

∞,?

x0，是一个给定的常数，则该粒子满足的方程为何？

x≥a（4）能量为E的平行粒子束，以入射角θ射向平面x=0，在区域x<0，V=0，在区域x>0，V=?

V0。

试从量子力学的角度，分析粒子束的反射及折射规律。

用θ及（?

V?

2n=?

1+0?

表示反射几率R及折射几率D。

E?

?

1第四题：

（15分）?

（1）如何证明一个算符为厄米算符？

算符A=ihxd是否为厄米算符？

dx?

?

（2）若[x,px]=ih，计算对易子?

x3,px3?

。

?

?

?

?

（3）证明厄米算符对应不同本征值的本征函数相互正交。

（4）为何物理量要用厄米算符来表示？

下面二组试题（五题、六题与七题、八题），任选一组解答第五题：

（15分）在一维谐振子问题中，若谐振子的质量为m相互作用势用V（x）=1m（ω12x2+ω2x+e）来表2?

?

示，其中ω1，ω2，e为一常数。

若t=0=0，

t=0=0，问其位移x的平均值与时间的关系为何？

第六题：

（15分）如果有一二能级系统1，2，其相应的能级的能量分别为E1，E2，哈密顿算符的有关矩阵元为?

1H1=E1+b，?

2H2=E2+b，?

?

1H2=2H1=a其中E1，E2，a，b为已知常数，满足一切近似条件。

问：

（1）若以1，2为零级近似波函数，至一级近似，本征能量为何？

（2）至二级近似，本征能量为何？

第七题：

（15分）若有一质量为m的低能粒子被一强势场散射，若散射时的有效质量为?

，势场形式为?

?

V,r

0，V0>0，a为一已知常数。

问：

?

0,r≥a

（1）使用玻恩近似还是用分波法比较合适？

（2）试问相移δL的正弦与散射势能及散射波函数的关系为何？

（3）求出零级近似下的微分散射截面。

（4）若不知道势场V（r）的具体形式，能否利用散射实验来确定V（r）？

第八题：

（15分）试证固体物理中常用的Thomas-Reiche-Kuhn求和规则：

?

∑（En?

Ea）nxan2=h2，其中n，a为系统的二个任意的能态，En，Ea为任意2m两个能级的能量，m为粒子的质量。

浙江大学2003年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题（35分）：

1.如果ψ1和ψ2是某一体系含时薛定谔方程的两个解1）它们的线性迭加ψ=aψ1+bψ2，a，b是常数）（，是否满足同样的含时薛定谔方程？

2）若令ψ′=ψ1ψ2，你认为ψ′是否满足同样的含时薛定谔方程？

2.质量相同的两个粒子分别在宽度不同的两个一维无限深势阱中，试问窄势阱中粒子的基态能量低，还是宽势阱中的基态能量低？

3.1）你是否认识这三个矩阵?

01?

?

?

?

10?

?

0?

i?

?

?

?

i0?

?

10?

?

?

?

0?

1?

在量子力学中他们称为什么？

?

?

?

?

2）大家知道，[x,p]=ih为量子力学中最基本的对易关系（这里x和p分别是位置算符?

?

?

和动量算符）你是否记得角动量Lx，Ly，Lz之间的对易关系？

请写出来！

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3）请算一下?

?

Lx,Ly?

Lz?

+?

?

Ly,Lz?

Lx?

+?

?

Lz,Lx?

Ly?

=?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

第二题（20分）：

有一个双势阱（与量子前沿问题有关）?

∞?

?

V?

0?

0V（x）=?

?

?

V0?

1?

V0?

2x<000，第三题（25分）：

处在均匀电场中的二维带电谐振子的哈密顿量为1?

H=（px2+py2）+1mω2（x2+y2）+eEx（其中电场强度E为常数）2m2

（1）求出其能级。

（2）电场E的大小会产生什么影响？

第四题（20分）如果把原子实看作由一个点核和价电子均匀分布在半径为a0的球内所组成，：

?

ze2r?

?

那么其散射势可表示为V（r）=?

rR?

0?

ra0其中R=2a0，试用玻恩近似求微分截面。

ze2浙江大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题（35分）：

?

?

（1）由正则对易关系[x,p]=ih导出角动量的三个分量Lx=y?

?

?

z?

z?

yLy=z?

?

?

x?

x?

zLz=x?

?

?

y?

y?

x的对易关系。

（2）证明厄米算符的本征值为实数。

（3）什么是量子力学中的守恒量，它们有什么性质。

（4）写出测不准关系，并简要说明其物理含义。

（5）写出泡利矩阵σx=?

?

?

10?

?

01?

σy=?

?

i?

0?

i?

?

0?

σz=?

?

?

0?

1?

?

10?

满足的对易关系。

第二题（30分）：

二维谐振子的哈密顿量为H=

（1）求出其能级。

11?

x?

y（p2+p2）+m（ω1x2+ω2y2）2m2

（2）给出基态波函数。

（3）如果ω1=ω2，试求能级的简并度。

第三题（30分）：

有一个质量为m的粒子处在如下势阱中?

∞?

?

V?

V（x）?

0?

V0?

0?

x<000）

（1）试求其能级与波函数。

（2）问通过调节势阱宽度a，能否让势阱中的粒子有一定的几率穿透出来。

（3）如果你认为可以，试确定参数a的取值范围。

第四题（20分）：

原子序数较大的原子的最外层电子感受到的原子核和内层电子的总位势可以表示为V（r）=?

e2e2?

λ2，λrr1试求其基态能量。

第五题（20分）：

求哈密顿量为H=σ1σ2+σ1σ2+λσ1σ2的本征值和本征矢量，试分析xxxyzzα=1时有何特点。

（提示：

泡利矩阵中的下标1，2表示第一个粒子和第二个粒子，因此可用矩阵的直乘理解，即为σ1σ2=σ1?

σ2等等）xxxx第六题（15分）：

有一个量子体系，假如你已经知道基态和激发态的波函数分别是ψ0，ψ1，ψ2，3··对应于E0

（1）对于自旋为零的粒子，写出基态与第一激发态的波函数。

（2）对于自旋为12的粒子，写出基态波函数。

浙江大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：

简答题（28分）

（1）写出测不准关系；

（2）写出泡利矩阵；?

（3）对于H=?

p2?

（+αLy，α为常数），下列力学量中哪些是守恒量？

2m?

?

?

?

?

?

?

?

H，px，py，pz，Lx，Ly，Lz，L2（4）能级的简并度指的是什么？

第二题：

（21分）

（1）电子在二维均匀磁场中运动，B=（0,0,B），试写出描写该系统的哈密顿量；

（2）现有三种能级En∝Ir1II2III，En∝n，En∝n，请分别指出他们对应的是哪些系2n统。

（3）放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？

第三题：

只需选做（A）（B）中一题（20分）（只需选做（、）中一题）只需选做（A（B已知氢原子的基态波函数为ψ（r,θ,?

）=1πa03e?

ra0，求e2（A）势能的平均值V（r）=?

；r（B）动能的平均值。

第四题：

（21分）考虑一维阶梯势V（x）=?

?

U0?

0x>0，若能量E的粒子（E>U0）从左边入射，试求该阶x<0梯势的反射系数和透射系数。

第五题：

（20分）?

e?

R?

将质子看作是半径为R的带电球壳，V（r）=?

?

e?

r?

尔半径，RrRa0）计算由于质子，（即氢原子核）的非点性引起氢原子基态能级的一级修正。

第六题：

选做（A）（B）其中一题即可（20分）（选做（、（B）其中一题即可选做（A、（B）其中一题即可）（A）求一粒子被半径为R的不可穿透硬球散射的s波相移。

（B）试求屏蔽库伦场V（r）=Q?

rae的微分散射截面。

r（提示：

可直接用中心势散射的玻恩近似公式的化简形式）σ（θ）=4m2h4∫∞0θrsin（Kr）V（r）dr，其中K=2ksin。

2K2第七题：

（20分）一个量子点中的单电子能级有两个本征值ε1和ε2，并且都是非简并的。

其中ε1<ε2，它们相应的单电子空间波函数分别为f（r）和g（r）。

试求该量子点中有两个电子时（电子的自旋为12），基态和第一激发态的波函数和能级简并度（假定电子间无相互作用）。

rr浙江大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题（50分）简答题：

?

?

（1）从坐标与动量算符的对易关系（[x,p]=ih等）推出角动量算符与动量算符的对易关系。

（2）请用泡利矩阵σ=?

x?

01?

?

0?

i?

?

10?

yz?

，σ=?

?

，σ=?

?

定义电子的自旋算符，?

10?

?

i0?

?

0?

1?

并验证它们满足角动量对易关系。

（3）量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？

（4）你知道量子力学中的哪些效应在经典物理中没有对应。

?

?

?

?

其中H′?

（5）Ψn为H0的非简并