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自动化车床的管理问题数学建模解析
2017年数学建模论文
第5套
论文题目：
自动化车床管理
专业班级姓名：
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提交日期：
2017.7.19
自动化车床管理
摘要
本文研究了自动化车床的管理问题，将检查间隔和刀具更换策略的确定归结为单个零件期望损失最小的一个优化问题，我们利用原始数据在matlab中进行处理，建立了以期望损失费用为目标函数的数学模型。
首先对于题目中给出的100次刀具故障记录的数据在matlab中画出频率直方图，我们可以看出，数据基本是符合正态分布的，我们借用jbtext函数对这些数据进行处理和正态性校验，可以得出样本符合正态分布的假设，然后我们用求得概率密度函数的期望和标准差，然后得出刀具寿命的正态分布函数。
对于问题
（1），我们首先建立以单个零件分摊的费用的损失函数为目标函数，然后我们用概率论及数理统计来建立出非线性优化模型，每个零件分摊的费用记为L，L包括预防保全费用L1,检查费用L2,和故障造成的不合格品损失和修复费用L3.在matlab中进行求解得出最优检查间隔为23个，最优刀具更新间隔为352个，合格零件的平均损失期望为7.61元
对于问题
（2），根据题目信息,不管工序是否正常都有可能出现正品和次品，我们在问题一上，加入检查间隔中的不合格品带来的损失，同时还有误检带来的损失，然后建立出每个零件的期望损失费用作为目标函数的优化模型，在matlab中用穷举法进行求解得出最优检查间隔为30个，最优刀具更新间隔为308个，合格零件的平均损失期望为10.07元。
对于问题（3），我们将第二题的模型，改变为如果检查为合格品时多检查一次，如果第二次仍然为合格品，我们则判定为工序正常，否则认为故障，改变第二问中的L2和L3，优化模型进行求解得出最优检查间隔为20个，最优刀具更新间隔为375个，合格零件的平均损失期望为9.50元。
对于第三问我们一直是固定检查间隔，我们也可以利用刀具发生故障的函数模型，对检查的间隔也进行调整，检查间隔随函数变换，这一问还没有具体讨论。
关键词：
正态分布非线性优化模型穷举法损失函数自动化车床管理
一、问题重述
一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占95%，其他故障仅占5%。
工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。
工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。
现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附件表。
现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。
已知生产工序的费用参数如下：
故障时产出的零件损失费用f=200元/件；
进行检查的费用t=20元/次；
发现故障进行调节使恢复正常的平均费用d=4000元/次（包括刀具费）；
未发现故障时更换一把新刀具的费用k=1500元/次。
1）假定工序故障是产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。
2）如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品；而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。
工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为2000元/次。
对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。
3）在2）的情况，可否改进检查方式获得更高的效益。
附：
100次刀具故障记录（完成的零件数）
459362624542509584433748815505
612452434982640742565706593680
9266531644877346084281153593844
527552513781474388824538862659
775859755649697515628954771609
402960885610292837473677358638
699634555570844166061062484120
447654564339280246687539790581
621724531512577496468499544645
764558378765666763217715310851
二、问题分析
对于自动化车床的生产过程中，在工序出现故障的时候，生产的零件在第一问中均为不合格品，第二问中大部分为不合格品，在发现故障后再换刀也会耗费更多的费用，但是如果检查太过频繁或者刀具更换太过频繁也会造成资源的浪费以及费用的增加，所以我们要将问题转换为概率模型来求解。
问题一中我们以生产每个零件的平均费用L作为损失函数，每个零件的平均费用＝预防保全费用+检查费用+故障造成的不合格品损失和修复费用,以此作为目标函数.，然后我们确立题目中的约束条件，其中，刀具损坏占95%，其他故障占5%，故工序平均故障间隔由刀具故障的平均间隔与非刀具故障的平均间隔得出.将信息进行整理得到问题一的优化模型.接着运用Matlab软件求出此问题的最优解。
问题二中，我们在正常工序时可能产生1%的不合格品，而工序故障时也会有40%的合格品，因此会造成误检与漏检，误检会在正常工序检测到不合格品而停机产生费用，而漏检是在机器故障时因为有合格品而不换刀，导致不合格品增加，我们将这两种费用考虑，得到问题二的优化模型，利用matlab软件得出此问题的最优解。
对于问题三，我们可以在问题二的模型上进行改进，因为机器故障时的合格品率为40%，所以我们不能凭借一次的判断就断定机器的故障，因为检查费用一次仅20元，所以我们可以在二的模型中，如果遇到合格品我们就在此进行检验，如果认为合格品则认为工序正常，否则认为故障，这样我们利用第二题的模型，调整下两种误判的式子，就可以得到模型三，然后我们利用matlab来得到优化模型的解。
三、问题假设
假设1：
所给的100次抽样具有代表性，这些分布就是刀具故障记录的分布；
假设2：
假设在生产任一零件时出现故障的机会均相等；
假设3：
假设生产刚启动时使用的刀具都是新的；
假设4：
对于问题
（1），故障时产出的产品都为不合格品；
假设5：
假设提供的刀具故障记录数据是独立同分布的；
假设5：
假设无论刀具损坏故障还是其它故障,发生故障并使恢复正常的平均费用均为4000元每次；
假设7：
对于问题
（2），工序故障时可能产出合格品；
假设8：
假设检查时不停止生产,在检查出不合格零件时才停止再进行维修；
假设9：
工序故障中有0.95是刀具故障；
四、符号说明
符号
符号说明
首次产生刀具故障时已加工的零件数即刀具故障间隔
刀具故障的概率密度函数
累计刀具故障的概率密度函数
刀具平均寿命
样本方差
较大的常数
故障时产生的零件损失费用200元/次
进行一次检查的费用20元/次
发现故障进行调节使恢复正常的平均费用4000元/次
未发现故障时更换一把刀具的费用1500元/次
每个零件的预防保全费用
每个零件的检查费用
故障造成的不合格品损失和修复费用
生产每个零件的平均费用
更换刀具的零件数间隔
进行检查的零件数间隔
工序的平均故障间隔
平均故障率
相邻两次检查的后一次检查发现故障时,件零件中不合格品的平均数
检查发现故障至停止生产的过程中产生的零件数
刀具故障的平均间隔
非刀具故障的平均间隔
工序正常时的不合格品率2%
工序正常而误认为有故障停机的损失费2000元/次
工序故障时的合格品率40%
五、数据处理与分析
5.1刀具正常工作的时间长的概率密度函数频率分布
题目中给出了100次刀具故障的记录，我们利用matlab函数画出这些数据的频率直方图（见附录1）。
5.2正态分布拟合度检验
从频率直方图我们可以看出，这100此数据基本符合正态分布，于是利用matlab中的jbtext函数对数据进行正态检验（见附录2）。
normplot（X）%用概率纸检验数据是否服从正态分布
H=jbtest（X）h为测试结果，如果h=0，则认为x是服从正态分布的；如果h=1，则可以否定x服从正态分布；
H=jbtest（X,alpha）
[h,p,JBSTAT,CV]=jbtest（x,alpha）p为接受假设的概率，p越接近于0，则可以是拒绝正态分布的原假设。
JBSTAT为测试统计量的值；
CV为是否拒绝原假设的临界值，主要是用JBSTAT与CV比较，超过临界值就认为不服从正态分布。
我们运行后可以得到返回值：
H=0
P=0.5000
JBSTAT=0.5427
CV=5.4314
h=0表示接受正态分布的假设；p=0.5000表示服从正态分布的概率很大，通过以上4个指标，可以得出结论：
样本中所给的数据与正态分布函数拟合得很好，我们接受这一假设。
我们通过检测可得出，数据属于正态分布。
然后我们用matlab可计算出这100此数据的期望为600，标准差为196.6292（见附录3）
六、问题一模型建立与求解
6.1模型一的建立
6.1.1模型的准备
损失函数可考虑为生产每个零件的平均费用L.L包括预防保全费用L1,检
查费用L2,和故障造成的不合格品损失和修复费用L3.
由题中信息我们可以得出:
一刀具的平均故障率为:
;
二每个零件的预防保全费用为:
三每个零件的检查费用为:
四相邻两次检查的后一次发现故障的总不合格品数为m,则故障造成的每个不合格品的损失和修复费用为:
五m的计算,在相邻两次检查的后一次发现故障的条件下,出现i件不合格品的概率为,件零件中不合格品的平均数为;
将上式进行Taylor展开得到下式;
又由于上面的式子中的和很小可以省略,故得到关于的最终式子,即:
六首先根据给出的100个数据算出无预防性更换时,刀具故障平均间隔为a=600件由题设刀具故障占95%,非刀具故障占5%,故非刀具平均故障间隔为b=a·95/5=
11400件.其次由100个数据确定刀具寿命的经验分布或拟合分布F（x）.
七当进行预防保全定期更换刀具时,刀具故障的平均间隔:
八工序的平均故障间隔由和决定,即:
则得到是的函数:
6.1.2确定目标函数
以生产的每一个合格零件的平均费用L作为损失函数，那么每个零件的平均费用就等于预防保全的费用加检查的费用和故障造成的不合格零件费用以及修复费用，然后我们就把损失函数L作为问题一的目标函数：
6.1.3问题一的模型
6.2.1模型一的求解
根据建立的模型用Matlab软件将约束式子代入目标函数,利用穷举法得到目标函数的最小值点,然后我们可以得到结果Tc=23T=352m=7.6057，因此我们可以得到每隔23个零件就该检查一次，每隔352个零件换一次刀具，每一个合格零件的损失期望是7.61。
6.2.2结果分析
表1:
模型一结果的局部检验
350
351
352
353
354
355
356
20
7.6224
7.6215
7.6208
7.6201
7.6196
7.6192
7.6189
21
7.6129
7.6122
7.6116
7.6112
7.6109
7.6106
7.6105
22
7.6077
7.6072
7.6068
7.6066
7.6064
7.6064
7.6065
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