东莞市届第一学期高三期末教学质量检测文数.docx
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东莞市届第一学期高三期末教学质量检测文数
东莞市2020届第一学期高三期末教学质量检测
数学（文科）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1.若，则
A.B.C.D.
2.已知集合，，则等于
A.B.C.D.
3.已知向量满足且与的夹角为，则
A.B.C.D.
4.已知数列为等差数列，为其前项和，，则=
A．B．C．D．
5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10％
6.已知在双曲线的渐近线上,则该双曲线的离心率为
A.B.2C.D.
7.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为
8.为了纪念中华人民共和国成立70周年，某单位计划印制纪念图案.为了测算纪念图案的面积，如图1，作一个面积约为的正六边形将其包含在内，并向正六边形内随机投掷个点，已知有124个点落在纪念图案部分，据此可以估计纪念图案的面积约为
A.B.C.D.
9.已知函数，把函数的图象上每个点向右平移个单位得到函数的图象，则函数的一条对称轴方程为
A.B.C.D.
10.设是给定的平面，是不在内的任意两点.有下列四个命题：
①在内存在直线与直线异面；②在内存在直线与直线相交；
③存在过直线的平面与垂直；④存在过直线的平面与平行.
其中，一定正确的是
A.①②③B.①③C.①④D.③④
11.已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于两点，且,则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
12.已知函数满足，函数，若方程有2019个解，记为，则
A.2019B.4038C.2020D.4040
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．
13.已知函数，满足，则的值为______.
14.已知，则.
15.已知的内角的对边分别为，满足，，则外接圆的面积为______.
16.如图2，六氟化硫的分子是一个正八面体结构，其中6
个氟原子恰好在正八面体的顶点上，而硫原子恰好是
正八面体的中心.若把该分子放入一个球内，则这个球的体积
与六氟化硫分子体积之比的最小值为______.
三、解答题:
本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
本大题共5小题，每小题12分，共60分.
17.（本小题满分12分）
已知各项均为正数的等比数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为，公差为2的等差数列，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图3），以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况（如图4），得到如下资料：
图3图4
（1）请画出发芽数与温差的散点图；
（2）若建立发芽数与温差之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性；
（3）①求出发芽数与温差之间的回归方程（系数精确到0.01）；
②若12月7日的昼夜温差为8℃，通过建立的关于的回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数.
参考数据：
.
参考公式：
相关系数：
（当时，具有较强的相关关系）.
回归方程中斜率和截距计算公式：
.
19.（本小题满分12分）
如图5，是等腰梯形的两条高，，点是线段的中点，将该等腰梯形沿着两条高折叠成如图6所示的四棱锥（重合，记为点）．
（1）求证：
；
（2）求点到平面距离.
图5图6
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若的极值为0，求实数的值；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围．
21.（本小题满分12分）
已知抛物线，在轴正半轴上任意选定一点,过点作与轴垂直的直线交于两点.
（1）设，证明：
抛物线在点处的切线方程的交点与点关于原点对称；
（2）通过解答
（1），猜想求过抛物线上一点（不为原点）的切线方程的一种做法，并加以证明.
（二）选考题：
共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的普通方程为．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
（1）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时点的直角坐标.
23.（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最大值为，若，证明：
.
数学（文科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
B
B
D
D
C
C
B
D
A
二、填空题
13.201814.15.16.
三、解答题
17.解：
（1）因为是正数等比数列，且，，
所以，即…………2分
分解得，又因为，所以，…………5分
所以数列的通项公式为；…………6分
（2）因为是首项为，公差为2的等差数列，
所以，…………7分
所以，…………8分
所以
…………9分
…………10分
…………11分
…………12分
18.解：
（1）散点图如图所示
……4分
（2），……6分
因为与的相关系数近似为，说明与的线性相关程度较强，从而建立发芽数与温差之间的线性回归模型是合理的；…………7分
（3）由最小二乘估计公式，得
…………9分
…………10分
所以…………11分
当时，（颗）
所以，估计该实验室12月7日当天种子的发芽数为20颗.……12分
说明：
系数在，在范围内均给满分.（注意：
学生有可能直接用原始数据计算）
19.解：
（1）因为，所以，
又，
所以…………2分
因为，所以；…………3分
由已知得，，所以是等边三角形，
又因为点是的中点，所以；…………4分
因为，
所以…………5分
因为，所以.…………6分
（2）取中点，连结，
因为，，
所以，所以
所以，在中，，…………7分
所以，…………8分
因为，所以，…………9分
因为，所以，…………10分
又，…………11分
所以，即点到平面的距离为.…………12分
20.解：
（1）由题得…………1分
①当时，恒成立
∴在上单调递增，没有极值.…………2分
②当时，由，得…………3分
当时，，在上单调递减
当时，，在上单调递增…………4分
∴在时取到极小值，∵的极值为0∴…………5分
∴即∴…………6分
（2）由题得对于恒成立
∴对于恒成立…………7分
令，原问题转化为，…………8分
又，令，则在上恒成立
∴在上单调递增…………9分
∴
∴∴在上单调递增…………10分
∴…………11分
∴…………12分
21.
（1）解法一：
证明：
当时，点，，，…………1分
设在点处的切线的斜率为（），
联立得，…………2分
由，得…………3分
故在点处的切线方程为，…………4分
同理，求得在点的切线方程为，…………5分
由得交点，所以交点与点关于原点对称…………6分
解法二：
时，点，，，…………1分
由得，故或…………3分
所以在点处的切线方程为即…………4分
在点处的切线方程为即…………5分
由得交点，所以交点与关于原点对称…………6分
（2）解法一：
过点作与轴垂直的直线交轴于点，作点关于原点对称的点，猜想切线方程为直线：
，即，其中…8分
联立得…………10分
…………11分
所以与抛物线相切.…………12分
解法二：
过点作与轴垂直的直线交轴于点，作点关于原点对称的点，猜想切线方程为直线：
，即，其中…8分
由得，或…………9分
所以在点处的切线斜率为或
故点处的切线方程为或…10分
由得或
所以在点处切线方程为…………11分
整理得，即.…………12分
22.解：
（1）圆的方程可化为，圆心为,半径为
圆的参数方程为（为参数）…………3分
直线的极坐标方程可化为
直线的直角坐标方程为…………5分
（2）法一：
设曲线上的点，…………6分
点到直线：
的距离：
…8分
当时，，…………9分
此时点的坐标为，
所以，此时点的坐标为.…………10分
法二：
曲线是以为圆心，半径为的圆，…………6分
圆心到直线：
的距离，…………7分
所以，…………8分
此时直线经过圆心，且与直线：
垂直，
，所以，所在直线方程为，…………9分
联立直线和圆的方程解得或
当取得最小值时，点的坐标为
所以，此时点的坐标为.…………10分
23.解：
（1），………2分
①当时，恒成立，所以；………3分
②当时，即，所以；………4分
③当时，显然不成立，所以不合题意；
综上所述，不等式的解集为.………5分
（2）由
（1）知，于是………6分
由基本不等式可得………9分
当且仅当时取等，所以………10分
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