新课标全国卷3高考理科数学试题及答案.docx
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新课标全国卷3高考理科数学试题及答案
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A=
22
（x,y│）xy1，B=（x,y│）yx，则AB中元素的个数为
A．3B．2C．1D．0
2．设复数z满足（1+i）z=2i，则∣z∣=
A．
1
2
B．
2
2
C．2D．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至
2016年12月期间月接待游客量（单位：
万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
5的展开式中x3y3的系数为
4．（x+y）（2x-y）
A．-80B．-40C．40D．80
5．已知双曲线C：
22
xy
221
ab
（a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为
5
yx,且与椭圆
2
22
xy
123
1
有公共焦点，则C的方程为
A．
22
xy
810
1
B．
22
xy
45
1
C．
22
xy
54
1
D．
22
xy
43
1
6．设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是
3
A．f（x）的一个周期为-2πB．y=f（x）的图像关于直线x=
8
3
对称
C．f（x+π的）一个零点为x=D．f（x）在（,π单）调递减
62
7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为
A．5B．4C．3D．2
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的
体积为
A．πB．
3π
4
C．
π
2
D．
π
4
9．等差数列an的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和
为
A．-24B．-3C．3D．8
10．已知椭圆C：
22
xy
221，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为
ab
直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为
A．
6
3
B．
3
3
C．
2
3
D．
1
3
11．已知函数
2x1x1
f（x）x2xa（ee）有唯一零点，则a=
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
2
D．1
12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=
AB+AD，则+的最大值为
A．3B．22C．5D．2
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
xy0
，则z3x4y的最小值为__________．
13．若x，y满足约束条件xy20
y0
14．设等比数列an满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________．
15．设函数
f（x）
x1x0
，，
则满足
x
2，x0，
1
f（x）f（x）1的x的取值范围是_________。
2
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，
b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是________。
（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27,b=2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积．
18．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，
未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求
量与当天最高气温（单位：
℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最
高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为
了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）
天数216362574
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：
瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元），当六月份这种酸奶一天的
进货量n（单位：
瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，
AB=BD．
（1）证明：
平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，
求二面角D–AE–C的余弦值．
20．（12分）
2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直
已知抛物线C：
y
径的圆．
（1）证明：
坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．
21．（12分）
已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．
（1）若f（x）0，求a的值；
111
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，1++1+）
（）
（1）（﹤m，求m的最小
2n
222
值．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为
x2+t,
ykt,
（t为参数），直线l2的参数方程
x2m,
为
y
m
k
（为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
m
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：
ρ（cosθ+sinθ）-2=0，
M为l3与C的交点，求M的极径．
23．[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
2
（2）若不等式f（x）≥x
–x+m的解集非空，求m的取值范围．
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题正式答案
一、选择题
1.B2.C3.A4.C5.B6.D
7.D8.B9.A10.A11.C12.A
二、填空题
13.-114.-815.
1
（-，+）
4
16.②③
三、解答题
17.解：
2
（1）由已知得tanA=3，所以A=
3
在△ABC中，由余弦定理得
222
284c4ccos，即c+2c-24=0
3
解得（舍去），=4
c6c
（2）有题设可得=，所以
CADBADBACCAD
26
1
ABADsin
261
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
1
ACAD
2
1
又△ABC的面积为
2
42sinBAC23，所以ABD的面积为3.
2.解：
（1）由题意知，X所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知
PX
216
2000.2
90
PX
36
3000.4
90
2574
PX5000.4.
90
因此X的分布列为
X200300500
P0.20.40.4
⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500
当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间20，,25，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;
因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+（800-2n）×0.2=640-0.4n
当200≤n300时，
若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;
因此EY=2n×（0.4+0.4）+（800-2n）×0.2=160+1.2n
所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。
3.解：
（1）由题设可得，ABDCBD,从而ADDC
又ACD是直角三角形，所以
ACD
0
=90
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO
又由于ABC是正三角形，故BOAC
所以DOB为二面角DACB的平面角
222
在中，
RtAOBBOAOAB
又ABBD所以
2222220BODOBOAOABBD，故DOB=90
所以平面平面
ACDABC
（2）
由题设及
（1）知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，OA
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则
A（1，0，0）,B（0，3，0）,C（1，0，0）,D（0，0，1）
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的
1
2
，从而E到平面ABC的距离
为D到平面ABC的距离的
1
2
，即E为DB的中点，得E
31
0，，
22
.故
31
1，0，1，2，0，0，1，，ADACAE
22
设n=x,y,z是平面DAE的法向量，则
n
n
AD
AE
xz0
0，
即31
0，xyz
22
0
可取
n
3
11
=,,
3
设m是平面AEC的法向量，则
m
m
AC
AE
0，
同理可得m0,1,3
0，
则
cosn,m
nm
nm
7
7
所以二面角D-AE-C的余弦值为
7
7
4.解
（1）设
Ax1,y1,Bx2,y2,l:
xmy2
由
xmy
2
y2x
2
可得
2
y2my40,则yy4
12
又
2
22
yy
yy
12
12
x1=,x2=,故x1x2==4
224
因此OA的斜率与OB的斜率之积为
yy
12
xx
12
-4
==-1
4
所以OA⊥OB
故坐标原点O在圆M上.
（2）由
（1）可得
2
y1+y2=2m,x1+x2=my1+y2+4=2m4
故圆心M的坐标为
mm，圆M的半径2+2，
2+2，
2
222
rmm
由于圆M过点P（4，-2），因此APBP0,故
x14x24y12y220
即
x1x24x1+x2y1y22y1y2200
由
（1）可得y1y2=-4，x1x2=4，
所以
2
2mm10，解得
1
m1或m.
2
当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为（3,1），圆M的半径为10，圆M
的方程为
22
x3y110
当
1
m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为
2
91
，-
42
，圆M的半径为
85
4
，圆M的方程为
22
9185
++
xy
4216
5.解：
（1）fx的定义域为0，+.
①若a0，因为
11
=-+2＜0
faln，所以不满足题意；
22
②若a＞0，由1
f'x
axa
xx
知，当x0,a时，f'x＜0；当xa，+时，
f'x＞0，所以fx在0,a单调递减，在a，+单调递增，故x=a是fx在
x0，+的唯一最小值点.
由于f10，所以当且仅当a=1时，fx0.
故a=1
（2）由
（1）知当x1，+时，x1lnx＞0
令
1
x=1+得
n
2
11
1+＜
ln，从而
2n2n
1111111
1++1+++1+＜+++=1-＜1lnlnln
222n222n2n
22
故
111
1+1+1+＜
222n
2
e
而
111
1+1+1+＞2
23
222
，所以m的最小值为3.
6.解：
（1）消去参数t得l1的普通方程l1:
ykx2；消去参数m得l2的普通方程
1
l:
yx
2
k
2
ykx2
设P（x,y）,由题设得
1
yx
k
2
，消去k得
2240
xyy.
所以C的普通方程为
2240
xyy
（2）C的极坐标方程为
rqqqpqp2cos2sin240＜＜2,
2cos2sin240＜＜2,
联立
2224
rcosqsinq
rcosq+sinq-2=0
得cosqsinq=2cosq+sinq.
故
1
tanq，从而
3
2921
cosq=，sinq=
1010
代入
rqq得r，所以交点M的极径为5.2cos2-sin2=42=5
2cos2-sin2=42=5
7.解：
3＜1
x
2112
（1）
fxx,x
3＞2
x
当x＜1时，fx1无解；
当1x2时，由fx1得，2x11，解得1x2
当x＞2时，由fx1解得x＞2.
所以fx1的解集为xx1.
（2）由
2
fxxxm得
2
mx1x2xx，而
2212+1+2
xxxxxxxx
2
35
=--+
x
24
5
4
且当
3
x时，
2
25
x1x2xx=.
4
故m的取值范围为
5
-，
4
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