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余数数学
余数数学
引言：
本文所呈现的内容均属于个人研究内容，我们除了在小学学习过余数和大学计算机专业学习取余编程以外，余数基本上是一个空白的数学概念，而在小学奥数、公务员考试中出现了关于余数数学的问题，故此在这里做了一些研究。
本文所述的内容为：
余数的定义，余数的性质，余数的计算规则和余数函数的特征。
余数数学可以运用于某个具有循环规律的事件之中，以便于我们找到、掌握它的情况。
本文章的归属权归于编制人所有。
第一章余数的概念
1、什么是余数
最初认识余数是这样描述的：
在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，如7÷3=2···1，1就是7除以3的余数。
2、定义余数
在定义余数之前先将实数（R）进行分类，本文在这里将实数分为两类：
一类是整数，另一类是小数。
其中0是整数。
一个数被另外一个非零的数整除时，不能除尽就产生非零的余数，简单地说，就是一个数M除以N（N≠0）的商是整数，余数是一个实数，即：
M÷N=P···A（N≠0，P∈Z）记作：
A=
*在计算机领域取余的表示为：
mod（M,N）或MmodN，本文均以modNM表示，这样表达能够与其他数学书写形式进行连接，不在是独立体。
例如：
A=modNM·longAB·XY·
3、计算方法
我们知道，M÷N=P···A，A=M-N·P，其中P为整数，即M对N的取整，表达式为[M/N]，这时，我们需要引入一个概念，就是取整计算:
这里取整指向下取整。
如：
[5.15]=5；[-5.15]=-6
那么余数A的计算公式如下：
A=
=M-N·[
]（N≠0）
练习：
1.求余数。
1）mod158962）mod-126547
3）mod1.2（-5.6）4）mod-1.6（-823）
解：
1）mod15896=896-15×[896/15]=11
2）mod-126547=6547-（-12）×[6547/（-12）]
=6547+12×[-545.58（3）^……]=6547+12×（-546）=-5
注：
-545.58（3）^……表示-545.583，3循环。
3）mod1.2（-5.6）=-5.6-1.2×[5.6/（-1.2）]=0.4
4）mod-1.6（-823）=-823-（-1.6）×[-823/（-1.6）]=-0.6
2.如果今天是星期三，那么90天后是星期几？
解：
mod7（3+90）=mod793=93-7×[93/7]=2
故90天后是星期二
第二章余数的性质
一、余数的取值
余数在实数（R）内怎样取值的？
由余数的计算式：
A=M-N·[
]（|M|＞|N|）
可知：
余数A的正负符号取决于除数N的符号；
余数A为0，此时的商为k,k∈Z；
余数A等于被除数，此时的商为0。
2、同底余数的运算法则
modN（modNA）=modNA
modN（kN+b）=modNb
**modN（A+B）=modN（modNA+modNB）
modN（A-B）=modN（modNA-modNB）
modN（A*B）=modN（modNA*modNB）
modNam=modN（（modNa）m）=modN（（modN（kN+b））m）=modN（（modNb）m）
modNam=modN[（Nk±1）T×C]=modN[|±1|T×C]=modNC
T=
，T,k∈N*C为变形后的分离数，目前研究于正数范畴
取整性质：
[A±B]=[A]+[±B]
练习：
1.运用法则计算：
mod7（20032+22003）的值
解：
mod7（20032+22003）
=mod7（mod720032+mod722003）
=mod7（mod7（（mod72003）2）+mod7（8667×4））
=mod7（mod7（12）+mod7（（7+1）667×4））
=mod7（1+mod74）
=mod7（1+4）
=5
2.甲、乙、丙三人于星期一同去图书馆看书，其中甲每15天去一次，乙每16天去一次，丙每17天去一次，那么他们三人下一次相遇时是星期几？
解：
mod7（1+15×16×17）
=mod74081
=0
因为余数为0，也就是说他是7的倍数，而星期中，只有星期日为7的倍数，故此，他们三人下一次相遇时是星期日。
三、求除数
除数代表着某个循环事件的循环长度，即周期。
如果已知A，M，A=M-N·[
]那么N·[
]=M-A，又∵[
]∈Z所以M-A是一个整数与另外一个数的乘积。
若再给一个N的限定条件，那么如何求出除数N呢？
这里我们需要对M-A进行质因分解，表达式如下：
M-A=hi1j1hi2j2···=i1·i2·i3···in·jn=
A的正负符号与N一致且A小于N，即A·N＞0，N＞A
例如：
15056=h27528h23764h21882h2941=2×2×2×2×941
例题：
1.一个数15122除以一个三位正整数的余数是66，那么这个正整数是多少？
解：
设这个三位正整数为N
N·[
]=15122-66=2×2×2×2×941=16×941
故这个三位数是941.
2.一个数是5122除以一个整数的余数是66，那么这个正整数是多少？
解：
设这个整数为N
∵66N＞0，∴N＞0N·[
]=5122-66=5056=h22528h21264h2632h2316h2158h279=64×79
又∵N＞66，∴N=79
故这个数是79
3.一个数7.8除以一个数的余数是1.8，求这个除数
解：
N·[
]=7.8-1.8=6=2×3
2，3＞1.8
故所求的数为2或3。
四、求被除数
被除数代表着某个循环事件的总长度
modN（kN+b）=modNb
如果已知N,A求M，则M=kN+A，k∈Z
[k可以理解为循环次数]
例题：
1.一个数除以7的余数是3，求所求数组中的一个最小正整数。
解：
M=7k+3且M为最小正整数
所以k=0
则M=7×0+3=3
故这个数是3。
2.一个数除以-2.8的余数是-1.2求这个数
解：
M=-2.8k-1.2
即为所求。
五、特别性质
若我们将求被除数的方法与一元一次方程联系起来就等到这样的一个结论：
y=kx+b
其中y表示循环总长，k表示循环次数，x表示周期，b表示余数。
我们将上式变形得到：
b=-kx+y
如果我们将b视为y，y用m表示，那么就有如下形式：
y=kx+m
这时，y表示余数，k表示循环次数的相反数，x表示周期，m表示循环总长。
通过上面两个式子，我们知道，对于一元一次方程y=kx+b中，y可以表示循环长度也可以表示余数，不同的是前后两者的循环次数为一对相反数。
第三章余数函数
1、余数函数的基本形式
余数函数的基本形式为：
f（x）=modnx=x-n[
]（N≠0）
在学习余数函数前我们先学习取整函数。
取整的定义：
不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]或INT（x）。
f（x）=[x]
其函数图像如右：
由图像得知，取整函数f（x）的定义域为：
R
值域为：
Z
不具有对称性：
既不是轴对称也不是中心对称。
不是周期函数
**这里的取整与计算机软件的取整是不一样的，计算机软件的向下取整，与这里的取整不一样。
计算机软件的取整是指绝对值的取整在取符号。
如Excel的取整的计算：
Rounddown（-3.55），其返回的结果是-[|-3.55|]=-3，而我们这里的计算是[-3.55]=-4。
二、余数函数的性质
那么f（x）=modnx=x-n[
]（N≠0）的特性有：
余函数f（x）的定义域为：
R
值域为：
（-n，n）
既不是奇函数也不是偶函数
它是周期函数，T=n；则：
f（kn）=0（k∈Z）
它的函数图像如下：
现在我们争对某一个周期进行剖析：
函数f（x）=modnx=x-n[
]（N≠0）在[0，n）上的函数性质：
i）.当n＞0时，f（x）为单调递增函数
f（x）为的斜率=1
f（x）为值域：
[0，n）
Ii）.当n＜0时，f（x）为单调递减函数
f（x）为的斜率=-1
f（x）为值域：
（n，0]
3、余数函数的反函数
如果我们将y=modnx=x-n[
]（N≠0）在某一周期内，中的y换成x，x换成y就得到，余数函数的反函数：
y=x+n[
],[
]∈Z
现在我们将它换成另外一个形式就得到以下余数函数的反函数：
F（X）=X+kN（N≠0，k∈Z）
x表示余数
其中的的定义域为：
[0，N）；值域为：
[kN，N+kN）
它为单调递增函数，斜率为1。
如果余数函数的反函数定义在实数R上时，那么它具有不确定性。
例题：
有一堆苹果，如果按5个5个地分剩下3个，如果按7个7个地分剩2个，那么这堆苹果最少有多少个？
解：
设这堆苹果有x个，由题意得如下方程组：
3=mod5x
2=mod7x
由余数函数的反函数可得：
X=5k1+3=7k2+2
5k1=7k2-1（k1，k2∈Z）
这时我们可以得到一个关于k1，k2的最小正整数数组（4,3），
于是x的最小正整数为：
5×4+3=23。
即这堆苹果最少23个。
4、求某数组的最小公倍数
关于质数合数的问题这里不做讨论，只强调在自然数内0,1既不是质数也不是合数。
例题：
篮子里装有不多于500个苹果，如果每次两个、每次三个、每次四个、每次五个、每次六个地取出，篮子中都剩下一个苹果，而如果每次取出七个，那么没有苹果剩下，问篮子中共有多少个苹果？
解：
设篮子中装有x（x＜500）个苹果，由题意得：
1=mod2x=mod3x=mod4x=mod5x=mod6x
0=mod7x
由余数的反函数得：
2k2+1=3k3+1=4k4+1=5k5+1=6k6+1=7k7
因2、3、4、5、6的最小公倍数是60，所以60k+1=7k7；
又有x＜500，所以k=1,2,3,4,5,6,7,8
依次将k的值带入60k+1=7k7中使k7为整数，则k=5满足要求。
故60×5+1=301为所求。
答：
篮子中共有301个苹果。
在这里，我们引入一个求数组的最大公约数与最小公倍数的方法：
如果给定一个数组：
A1，A2，A3，A4，A5···，那么如何求最小公倍数呢？
一般地是用草稿纸行进计算，未使用书面形式化进行展示，这里，我给出一个方法：
A1，A2，A3，A4，A5···
T（A1，A2，A3，A4，A5···）=t（A1，A2，A3，A4，A5···）k1
···
=t（1,1,1···）kn
=k1·k2···kn
这个方法取名为遗留计算法。
最小公倍数为t（A1,A2,A3···）kn中k值的乘积。
最大公约数为：
不具有遗留性质的k的乘积。
最小公倍数与最大公约数分别以T,D来表示。
例如：
求1）36,122）9,18,243）2,3,4,5,6的最大公约数，最小公倍数。
解：
1）T（36，12）=t（36,12）2=t（18,6）3=t（6,2）2
=t（3,1）3=t（1,1）=2×3×2×3=36
D（36,12）=2×3×2=12
36是最小公倍数，12是最大公约数。
2）T（9,18,24）=t（9，18，24）3=t（3，6，8）3
=t（1,2,8）2=t（1,1,4）2×2=t（1,1,1）
=3×3×2×2×2=72
D（9,18,24）=3
72是最小公倍数，3是最大公约。
3）T（2,3,4,5,6）=t（2,3,4,5,6）2=t（1,3,2,5,3）3
=t（1,1,2,5,1）2=t（1,1,1,5,1）5=t（1,1,1,1,1）
=2×3×5×2=60
D（2,3,4,5,6）=1
60是最小公倍数，1是最大公约数。
5、余数函数在周期内的特点
由f（x）=modnx=x-n[
]（N≠0）的图像可知，当x在某个区间时，函数的图形为一次函数。
那么它的函数表达式也可以改变为：
f（x）=x-kn
其中n≠0，k=[
]∈Z
因此在某些情况下，可以根据f（x）的定义域范围内将余数函数化为一次函数进行分析。
结束语
关于余数数学的内容到此结束，文章中有关于余数的部分性质、余数函数的部分阐述的尚不清楚，希望广大学者共同研究，倘若文中有误的地方还望指点。
编制人：
太公钓鱼
QQ：
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